Пример двумерное вейвлет-преобразование, которое используется в
JPEG2000 вейвлетах Коэна – Добеши – Фово, представляет собой семейство биортогональных вейвлетов, которое стало популярным благодаря Ингрид Добеши. Это не то же самое, что ортогональные вейвлеты Добеши, а также не очень похожи по форме и свойствам. Однако идея их строительства такая же.
Стандарт сжатия JPEG 2000 использует биортогональный вейвлет ЛеГалла-Табатабаи (LGT) 5/3 (разработанный Д. Ле Галлом и Али Дж. Табатабаи) для сжатие без потерь и вейвлет CDF 9/7 для сжатия с потерями.
Содержание
- 1 Свойства
- 2 Конструкция
- 3 Таблицы коэффициентов
- 4 Нумерация
- 5 Разложение подъема
- 5.1 Четное число коэффициентов гладкости
- 5.2 Нечетное число коэффициентов гладкости
- 6 Приложения
- 7 Внешние ссылки
- 8 Ссылки
Свойства
- Это B-сплайн, если выбрана простая факторизация (см. Ниже).
- Имеет максимально возможное количество факторов гладкости для своей длины.
- Все генераторы и вейвлеты в этом семействе симметричны.
Конструкция
Для любого положительного целого числа A существует уникальный многочлен степени A - 1, удовлетворяющий тождеству
Это - это тот же полином, который используется при построении вейвлетов Добеши. Но вместо спектральной факторизации здесь мы пытаемся разложить на множители
где множителями являются многочлены с действительными коэффициентами и постоянным коэффициентом 1. Тогда
и
образуют биортогональную пару масштабирующих последовательностей. d - некоторое целое число, используемое для центрирования симметричных последовательностей в нуле или для того, чтобы сделать соответствующие дискретные фильтры причинными.
В зависимости от корней может быть до разные факторизации. Простая факторизация: и , тогда основной функцией масштабирования является B-сплайн порядка A - 1. Для A = 1 получается ортогональный вейвлет Хаара.
Таблицы коэффициентов
вейвлет Коэна – Добеши – Фово 5/3, используемый в стандарте JPEG 2000
Для A = 2 один получает таким образом 5/3-вейвлет LeGall :
A | QA(X) | qprim (X) | qdual (X) | aprim (Z) | aдвойной (Z) |
---|
2 | | 1 | | | |
Для A = 4 получается 9/7-CDF-вейвлет . Получается , этот многочлен имеет ровно один действительный корень, поэтому он является произведением линейного множителя и квадратичный множитель. Коэффициент c, который является обратным корню, имеет приблизительное значение -1,4603482098.
A | QA(X) | qпервичный (X) | qдвойной (X) |
---|
4 | | | |
Для коэффициентов центрированного масштабирования и вейвлет-последовательностей можно получить числовые значения в удобной для реализации форме
k | Анализ фильтра нижних частот (1/2 a двойной) | Анализ фильтр верхних частот (b двойной) | фильтр нижних частот синтеза (a прим) | фильтр верхних частот синтеза (1/2 b прим) |
---|
−4 | 0,026748757411 | 0 | 0 | 0,026748757411 |
-3 | -0,016864118443 | 0,091271763114 | -0,091271763114 | -316864118> | -0,078223266529 | -0,057543526229 | -0,057543526229 | -0,078223266529 |
-1 | 0,266864118443 | -0,591271763114 | 0,591271763114 | -0,266864118443 |
0 | 0.60294901 8236 | 1.11508705 | 1,11508705 | 0.602949018236 |
1 | 0,266864118443 | -0,591271763114 | 0,591271763116 0,5912717631184 | 230>-0,078223266529-0,057543526229 | -0,057543526229 | -0,078223266529 |
3 | -0,016864118443 | 0,091271763117 <173113>0,091271763114173113>> | 0,016864118443 |
4 | 0,026748757411 | 0 | 0 | 0,026748757411 |
Нумерация
Существуют две совпадающие схемы нумерации для вейвлетов семейства CDF:
- количество коэффициентов сглаживания фильтров нижних частот, или эквивалентно количество исчезающих моментов фильтров верхних частот, например «2, 2»;
- размеры фильтров нижних частот или, что эквивалентно, размеры фильтров верхних частот, например «5, 3».
Первая нумерация использовалась в книге Добеши «Десять лекций по вейвлетам». Ни одна из этих нумераций не уникальна. Количество исчезающих моментов не говорит о выбранной факторизации. Банк фильтров с размерами фильтров 7 и 9 может иметь 6 и 2 исчезающих момента при использовании тривиальной факторизации или 4 и 4 исчезающих момента, как в случае вейвлета JPEG 2000. Поэтому один и тот же вейвлет может называться «CDF 9/7» (на основе размеров фильтра) или «биортогональным 4, 4» (на основе исчезающих моментов). Точно так же один и тот же вейвлет может называться «CDF 5/3» (на основании размеров фильтра) или «биортогональным 2, 2» (на основе исчезающих моментов).
Подъемное разложение
Для тривиально факторизованных наборов фильтров можно явно задать подъемное разложение.
Четное количество коэффициентов гладкости
Пусть будет числом коэффициентов плавности в B-сплайновом фильтре нижних частот, который должен быть четным.
Затем рекурсивно определите
Подъемные фильтры:
В итоге, промежуточные результаты подъема:
, что приводит к
Фильтры и составляют набор фильтров CDF-n, 0.
Нечетное количество коэффициентов сглаживания
Теперь пусть будет нечетным.
Затем определим рекурсивно
Подъемные фильтры:
В итоге промежуточные результаты подъема следующие:
, что приводит к
где мы пренебрегаем переводом и постоянным множителем.
Фильтры и составляют набор фильтров CDF-n, 1.
Приложения
Вейвлет Коэна – Добеши – Фово и другие биортогональные вейвлеты использовались для сжатия сканированных отпечатков пальцев для ФБР. Стандарт сжатия отпечатков пальцев таким способом был разработан Томом Хоппером (ФБР), Джонатаном Брэдли (Национальная лаборатория Лос-Аламоса ) и Крисом Брислоном (Национальная лаборатория Лос-Аламоса). Используя вейвлеты, можно достичь степени сжатия примерно 20: 1, что означает, что изображение размером 10 МБ может быть уменьшено до 500 КБ при прохождении тестов распознавания.
Внешние ссылки
Ссылки
- ^Cohen, A.; Добеши, I.; Feauveau, J.-C. (1992). «Биортогональные основы всплесков с компактным носителем». Сообщения по чистой и прикладной математике. 45 (5): 485–560. doi : 10.1002 / cpa.3160450502.
- ^Добеши, Ингрид (1992). Десять лекций по вейвлетам. СИАМ. doi : 10.1137 / 1.9781611970104. ISBN 978-0-89871-274-2.
- ^Салливан, Гэри (8–12 декабря 2003 г.). «Общие характеристики и конструктивные соображения для кодирования видео временного поддиапазона». МСЭ-Т. Группа экспертов по кодированию видео. Проверено 13 сентября 2019 г. CS1 maint: date format (ссылка )
- ^Bovik, Alan C. (2009). The Essential Guide to Video Processing. Academic Press. p. 355. ISBN 9780080922508.
- ^Галл, Д. Ле; Табатабай, Али Дж. (1988). «Подполосное кодирование цифровых изображений с использованием симметричных коротких ядерных фильтров и арифметики. методы кодирования ». ICASSP-88., Международная конференция по акустике, речи и обработке сигналов: 761–764, том 2. doi : 10.1109 / ICASSP.1988.196696.
- ^Тилеманн, Хеннинг ( 2006). "Раздел 3.2.4". Оптимально согласованные вейвлеты (докторская диссертация).
- ^ Ципра, Барри Артур (1994). Что происходит в математических науках (том 2) Парлез -вус вейвлеты ?. Американское математическое общество. ISBN 978-0821889985.