Матрица коэффициентов

редактировать

В линейной алгебре, матрица коэффициентов - это матрица, состоящая из коэффициентов переменных в наборе линейных уравнений. Матрица используется при решении систем линейных уравнений.

Содержание

1 Матрица коэффициентов
2 Связь ее свойств со свойствами системы уравнений
3 Динамические уравнения
4 Ссылки

Матрица коэффициентов

В общем, система с m линейными уравнениями и n неизвестными может быть записана как

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 nxn = b 1 {\ displaystyle a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + \ cdots + a_ {1n} x_ {n} = b_ {1} \,}

a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + \ cdots + a_ {1n} x_n = b_1 \,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 nxn = b 2 {\ displaystyle a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + \ cdots + a_ {2n} x_ {n} = b_ {2} \,}

a_ {21} x_1 + a_ {22} x_2 + \ cdots + a_ {2n} x_n = b_2 \,

⋮ {\ displaystyle \ vdots \,}

\ vdots \,

am 1 x 1 + am 2 x 2 + ⋯ + amnxn = bm {\ displaystyle a_ {m1} x_ {1} + a_ {m2} x_ {2} + \ cdots + a_ {mn} x_ {n} = b_ {m} \,}

a_ {m1} x_1 + a_ {m2} x_2 + \ cdots + a_ {mn} x_n = b_m \,

где $x 1, x 2,..., x n {\ displaystyle x_ {1}, \ x_ {2},..., x_ {n}}$ $x_ {1}, \ x_ {2},..., x_ {n}$ - неизвестные, а числа $a 11, a 12,..., a m n {\ displaystyle a_ {11}, \ a_ {12},..., \ a_ {mn}}$ $a _ {{11}}, \ a _ {{12}},..., \ a _ {{mn}}$ - это коэффициенты системы. Матрица коэффициентов - это матрица mxn с коэффициентом $aij {\ displaystyle a_ {ij}}$ $a_ {ij}$ в качестве (i, j) -й записи:

[a 11 a 12 ⋯ a 1 na 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ am 1 am 2 ⋯ amn] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} a_ {12} \ cdots a_ {1n} \\ a_ {21} a_ {22} \ cdots a_ {2n} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ a_ {m1} a_ {m2} \ cdots a_ {mn} \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} a_ {11} a_ {12 } \ cdots a_ {1n} \\ a_ {21} a_ {22} \ cdots a_ {2n} \\ \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ a_ {m1} a_ { m2} \ cdots a_ {mn} \ end {bmatrix}

Тогда приведенный выше набор уравнений можно выразить более кратко как

A x = b {\ displaystyle Ax = b}

{\ displaystyle Ax = b}

, где A - матрица коэффициентов, а b - вектор-столбец постоянных членов.

Связь ее свойств со свойствами системы уравнений

Согласно теореме Руше – Капелли система уравнений несовместима, то есть не имеет решений, если rank расширенной матрицы (матрица коэффициентов, дополненная дополнительным столбцом, состоящим из вектора b) больше, чем ранг матрицы коэффициентов. Если же, с другой стороны, ранги этих двух матриц равны, система должна иметь хотя бы одно решение. Решение уникально тогда и только тогда, когда ранг r равен количеству n переменных. В противном случае общее решение имеет n - r свободных параметров; следовательно, в таком случае существует бесконечное количество решений, которые могут быть найдены путем наложения произвольных значений на n - r переменных и решения полученной системы для ее единственного решения; различный выбор фиксируемых переменных и разные фиксированные их значения дают разные системные решения.

Динамические уравнения

Уравнение разности матриц первого порядка с постоянным членом можно записать как

yt + 1 = A yt + c, {\ displaystyle y_ {t + 1} = Ay_ {t} + c,}

{\ displaystyle y_ {t + 1} = Ay_ {t} + c,}

где A равно n × n, а y и c равны n × 1. Эта система сходится к своему установившемуся уровню y тогда и только тогда, когда абсолютные значения всех n собственных значений A меньше 1.

Матричное дифференциальное уравнение первого порядка с константой член можно записать как

dydt = A y (t) + c. {\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = Ay (t) + c.}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = Ay (t) + c.}

Эта система устойчива тогда и только тогда, когда все n собственных значений A имеют отрицательные действительные части.

Матрица коэффициентов

Содержание

Матрица коэффициентов

Связь ее свойств со свойствами системы уравнений

Динамические уравнения

Ссылки