Сцепляющая конструкция

В топологии, разделе математики, сжимающая конструкция - это способ построение расслоений, в частности векторных расслоений на сферах.

• 1 Определение
  • 1.1 Обобщение
  • 1.2 Классификация построения карты
  • 1.3 Контраст со скрученными сферами
• 2 Ссылки

Рассмотрим сферу $S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n\}\}$как объединение верхнего и нижнего полушарий $D\; +\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{+\}\; ^\; \{n\}\}$и $D\; -\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{-\}\; ^\; \{n\}\}$вдоль их пересечения, экватора, $S\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n-1\}\; \}$.

Даны упрощенные пучки волокон с волокном $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$и структурной группой $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$над два полушария, затем дана карта $f:\; S\; n\; -\; 1\; \to \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; S\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; to\; G\}$(так называемая карта сцепления), приклейте два тривиальных расслоения вместе через f.

Формально это коувалайзер включений $S\; n\; -\; 1\; \times \; F\; \to \; D\; +\; n\; \times \; F\; \coprod \; D\; -\; n\; \times \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n-\; 1\}\; \backslash \; times\; F\; \backslash \; to\; D\; \_\; \{+\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; times\; F\; \backslash \; coprod\; D\; \_\; \{-\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; times\; F\}$via $(x,\; v)\; \mapsto \; (x,\; v)\; \in \; D\; +\; N\; \times \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; v)\; \backslash \; mapsto\; (x,\; v)\; \backslash \; in\; D\; \_\; \{+\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; times\; F\}$и $(x,\; v)\; \mapsto \; (Икс,\; е\; (Икс)\; (v))\; \in \; D\; -\; N\; \times \; F\; \{\backslash \; Displaystyle\; (х,\; v)\; \backslash \; mapsto\; (х,\; f\; (х)\; (v))\; \backslash \; в\; D\; \_\; \{-\}\; ^\; \{\; n\}\; \backslash \; times\; F\}$: склейте две связки вместе на границе с поворотом.

Таким образом, у нас есть карта $\pi \; n\; -\; 1\; G\; \to \; Fib\; F\; (S\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{n-1\}\; G\; \backslash \; to\; \{\backslash \; text\; \{Fib\}\}\; \_\; \{F\; \}\; (S\; ^\; \{n\})\}$: сжатие информации на экваторе дает пучок волокон на всем пространстве.

В случае векторных расслоений это дает $\pi \; n\; -\; 1\; O\; (k)\; \to \; Vect\; k\; (S\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{n-1\}\; O\; (k)\; \backslash \; to\; \{\backslash \; text\; \{Vect\}\}\; \_\; \{k\}\; (S\; ^\; \{n\})\}$, и действительно, это отображение является изоморфизмом (при соединении суммы сфер справа).

Обобщение

Сказанное выше можно обобщить, заменив $D\; \pm \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; ^\; \{n\}\}$и $S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n\}\}$с любой замкнутой триадой $(X;\; A,\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X;\; A,\; B)\}$, то есть, пространство X вместе с двумя замкнутыми подмножествами A и B, объединение которых есть X. Тогда сцепляющая карта на $A\; \cap \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; cap\; B\}$дает векторное расслоение на X.

Построение карты классификации

Пусть $p:\; M\; \to \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; двоеточие\; M\; \backslash \; to\; N\}$будет пучком волокон с волокном $F\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\}$. Пусть $U\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{U\}\}\}$будет набором пар $(U\; i,\; qi)\; \{\backslash \; displaystyle\; (U\_\; \{i\},\; q\_\; \{i\})\; \}$такая, что $qi:\; p\; -\; 1\; (U\; i)\; \to \; N\; \times \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{i\}\; \backslash \; двоеточие\; p\; ^\; \{-\; 1\}\; (U\_\; \{i\})\; \backslash \; to\; N\; \backslash \; раз\; F\}$является локальной тривиализацией $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$над $U\; i\; \subset \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\}\; \backslash \; subset\; N\}$. Кроме того, мы требуем, чтобы объединение всех наборов $U\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\}\}$было $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$(т.е. представляет собой атлас упрощений $\coprod \; я\; U\; я\; =\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; coprod\; \_\; \{i\}\; U\_\; \{i\}\; =\; N\}$).

Рассмотрим пространство $\coprod \; i\; U\; i\; \times \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; coprod\; \_\; \{i\}\; U\_\; \{i\}\; \backslash \; times\; F\}$по модулю отношения эквивалентности $(ui,\; fi)\; \in \; U\; я\; \times \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; (u\_\; \{i\},\; f\_\; \{i\})\; \backslash \; in\; U\_\; \{i\}\; \backslash \; times\; F\}$эквивалентно $(uj,\; fj)\; \in \; U\; j\; \times \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; (u\_\; \{j\},\; f\_\; \{j\})\; \backslash \; in\; U\_\; \{j\}\; \backslash \; times\; F\}$тогда и только тогда, когда $U\; i\; \cap \; U\; j\; \ne \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\}\; \backslash \; neq\; \backslash \; phi\}$и $qi\; \circ \; qj\; -\; 1\; (uj,\; fj)\; =\; (ui,\; fi)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{i\}\; \backslash \; круг\; q\_\; \{j\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (u\_\; \{j\},\; f\_\; \{j\})\; =\; (u\_\; \{i\},\; f\_\; \{i\})\}$. По замыслу, локальные тривиализации $qi\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{i\}\}$дают послойную эквивалентность между этим факторным пространством и пучком волокон $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$.

Рассмотрим пробел $\coprod \; я\; U\; i\; \times \; Homeo\; \; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; coprod\; \_\; \{i\}\; U\_\; \{i\}\; \backslash \; times\; \backslash \; operatorname\; \{Homeo\}\; (F)\}$по модулю отношения эквивалентности $(ui,\; привет)\; \in \; U\; я\; \times \; Homeo\; \; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; (u\_\; \{i\},\; h\_\; \{i\})\; \backslash \; in\; U\_\; \{i\}\; \backslash \; times\; \backslash \; operatorname\; \{Homeo\}\; (F)\}$эквивалентно $(uj,\; hj)\; \in \; U\; j\; \times \; Homeo\; \; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; (u\_\; \{j\},\; h\_\; \{j\})\; \backslash \; in\; U\_\; \{j\}\; \backslash \; times\; \backslash \; operatorname\; \{Homeo\}\; (\; F)\}$тогда и только тогда, когда $U\; i\; \cap \; U\; j\; \ne \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\}\; \backslash \; neq\; \backslash \; phi\}$и рассмотрим $qi\; \circ \; qj\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{i\}\; \backslash \; circ\; q\_\; \{j\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$быть картой $qi\; \circ \; qj\; -\; 1:\; U\; i\; \cap \; U\; j\; \to \; Homeo\; \; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{i\}\; \backslash \; circ\; q\_\; \{j\}\; ^\; \{-\; 1\}:\; U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\}\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Homeo\}\; (F)\}$, тогда мы требуем, чтобы $qi\; \circ \; qj\; -\; 1\; (uj)\; (hj)\; =\; hi\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{i\}\; \backslash \; ci\; rc\; q\_\; \{j\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (u\_\; \{j\})\; (h\_\; \{j\})\; =\; h\_\; \{i\}\}$. То есть, в нашей реконструкции $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$мы заменяем слой $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$топологической группой гомеоморфизмов волокна, $Homeo\; \; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Homeo\}\; (F)\}$. Если известно, что структурная группа пакета сокращается, вы можете заменить $Homeo\; \; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Homeo\}\; (F)\}$на сокращенную структурную группу. Это связка над $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$с волокном $Homeo\; \; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Homeo\}\; (F)\}$и основной пакет. Обозначьте его $p:\; M\; p\; \to \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; двоеточие\; M\_\; \{p\}\; \backslash \; to\; N\}$. Связь с предыдущим набором индуцируется из основного набора: $(M\; p\; \times \; F)\; /\; Homeo\; \; (F)\; =\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; (M\_\; \{p\}\; \backslash \; times\; F)\; /\; \backslash \; operatorname\; \{Homeo\}\; (F)\; =\; M\}$.

Итак, у нас есть главный набор $Homeo\; \; (F)\; \to \; M\; p\; \to \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Homeo\}\; (F)\; \backslash \; to\; M\_\; \{p\}\; \backslash \; to\; N\}$. Теория классификации пространств дает нам индуцированное продвижение вперед расслоение $M\; p\; \to \; N\; \to \; B\; (Homeo\; \; (F))\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{p\}\; \backslash \; to\; N\; \backslash \; to\; B\; (\backslash \; operatorname\; \{Homeo\}\; (F))\}$где $B\; (H\; omeo\; (F))\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (Homeo\; (F))\}$- классифицирующее пространство $Гомео\; \; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Homeo\}\; (F)\}$. Вот схема:

Для $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$-principal bundle $G\; \to \; M\; p\; \to \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; to\; M\_\; \{p\}\; \backslash \; to\; N\}$, рассмотрим пространство $M\; p\; \times \; GEG\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{p\}\; \backslash \; times\; \_\; \{G\}\; EG\}$. Это пространство является расслоением двумя разными способами:

1) Проецирование на первый фактор: $M\; p\; \times \; GEG\; \to \; M\; p\; /\; G\; =\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{p\}\; \backslash \; times\; \_\; \{G\; \}\; EG\; \backslash \; к\; M\_\; \{p\}\; /\; G\; =\; N\}$. В данном случае волокно - это $E\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; EG\}$, которое является стягиваемым пространством по определению классифицирующего пространства.

2) Спроецировать на второй фактор: $M\; p\; \times \; GEG\; \to \; EG\; /\; G\; =\; BG\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{p\}\; \backslash \; times\; \_\; \{G\}\; EG\; \backslash \; to\; EG\; /\; G\; =\; BG\}$. Волокно в этом случае имеет вид $M\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{p\}\}$.

Таким образом, мы имеем расслоение $M\; p\; \to \; N\; \simeq \; M\; p\; \times \; GEG\; \to \; BG\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{p\}\; \backslash \; to\; N\; \backslash \; simeq\; M\_\; \{p\}\; \backslash \; times\; \_\; \{G\}\; EG\; \backslash \; to\; BG\}$. Эта карта называется классифицирующей картой пучка волокон $p:\; M\; \to \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; двоеточие\; M\; \backslash \; to\; N\}$, поскольку 1) главный пучок $G\; \to \; M\; p\; \to \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; to\; M\_\; \{p\}\; \backslash \; to\; N\}$- возврат связки $G\; \to \; EG\; \to \; BG\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; to\; EG\; \backslash \; to\; BG\}$вдоль классифицирующей карты и 2) связка $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$индуцируется из основного пакета, как указано выше.

Контраст со скрученными сферами

Скрученные сферы иногда называют конструкцией «сцепляющего типа», но это вводит в заблуждение: конструкция сцепления правильно относится к пучкам волокон.

• В скрученных сферах вы склеиваете две половинки по их границе. Половинки отождествляются априори (со стандартным шаром ), а точки на граничной сфере, как правило, не переходят в соответствующие им точки на другой граничной сфере. Это карта $S\; n\; -\; 1\; \to \; S\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; to\; S\; ^\; \{n-1\}\}$: склейка нетривиальна в основание.
• В конструкции сцепления вы склеиваете два пучка вместе по границе их базовых полусфер. Граничные сферы склеиваются посредством стандартной идентификации: каждая точка переходит в соответствующую, но каждое волокно имеет изгиб. Это карта $S\; n\; -\; 1\; \to \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; to\; G\}$: склейка в основе тривиальна, но не в волокнах.

• Незавершенная книга Аллена Хэтчера Vector Bundles K-Theory версия 2.0, стр. 22.