Теорема о замкнутом диапазоне

редактировать

В Mathematical теории банаховых пространств, теорема о замкнутом диапазоне дает необходимые и достаточные условия для замкнутого плотно определенного оператора, чтобы иметь закрытый диапазон.

Содержание

1 История
2 Утверждение
3 Следствия
4 Ссылки

История

Теорема была доказана Стефан Банах в своей Теории операций 1932 года.

Оператор

Пусть $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ будут банаховыми пробелами, $T: D (T) → Y {\ displaystyle T \ двоеточие D (T) \ to Y}$ $T \ двоеточие D (T) \ к Y$ замкнутый линейный оператор, область определения которого $D (T) {\ displaystyle D (T) }$ $D (T)$ плотно в $X {\ displaystyle X}$ $X$ , а $T ′ {\ displaystyle T '}$ $T'$ transpose из $T {\ displaystyle T}$ $T$ . Теорема утверждает, что следующие условия эквивалентны:

$R (T) {\ displaystyle R (T)}$ $R (T)$ , диапазон $T {\ displaystyle T}$ $T$ , закрывается в $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ ,
$R (T ′) {\ displaystyle R (T ')}$ $R(T')$ , в диапазоне $T ′ {\ displaystyle T' }$ $T'$ , закрывается в $X ′ {\ displaystyle X '}$ $X'$ , двойное из $X {\ displaystyle X}$ $X$ ,
$R (T) = N (T ′) ⊥ = {y ∈ Y | ⟨X ∗, y⟩ = 0 для всех x ∗ ∈ N (T ')} {\ displaystyle R (T) = N (T') ^ {\ perp} = \ {y \ in Y | \ langle x ^ { *}, y \ rangle = 0 \ quad {\ text {для всех}} \ quad x ^ {*} \ in N (T ') \}}$ $R(T)=N(T')^{\perp }=\{y\in Y|\langle x^{*},y\rangle =0\quad {{\text{for all}}}\quad x^{*}\in N(T')\}$ ,
$R (T') = N (T) ⊥ = {x ∗ ∈ X ′ | ⟨X ∗, y⟩ = 0 для всех y ∈ N (T)} {\ displaystyle R (T ') = N (T) ^ {\ perp} = \ {x ^ {*} \ in X' | \ langle x ^ {*}, y \ rangle = 0 \ quad {\ text {для всех}} \ quad y \ in N (T) \}}$ $R(T')=N(T)^{\perp }=\{x^{*}\in X'|\langle x^{*},y\rangle =0\quad {{\text{for all}}}\quad y\in N(T)\}$ .

где $N (T) {\ displaystyle N (T)}$ $N (T)$ и $N (T ') {\ displaystyle N (T')}$ $N(T')$ - пустое пространство в $T {\ displaystyle T}$ $T$ и $T ′ {\ displaystyle T '}$ $T'$ соответственно.

Следствия

Некоторые следствия непосредственно из теоремы. Например, плотно определенный закрытый оператор $T {\ displaystyle T}$ $T$ , как указано выше, имеет $R (T) = Y {\ displaystyle R (T) = Y}$ $R (T) = Y$ тогда и только тогда, когда транспонирование $T ′ {\ displaystyle T '}$ $T'$ имеет непрерывную инверсию. Аналогично, $R (T ′) = X ′ {\ displaystyle R (T ') = X'}$ $R(T')=X'$ тогда и только тогда, когда $T {\ displaystyle T}$ $T$ имеет непрерывный обратный.

Ссылки

Банах, Стефан (1932). Теория линейных операций [Теория линейных операций] (PDF). Monografie Matematyczne (на французском языке). 1 . Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Архивировано из оригинального (PDF) 11 января 2014 года. Проверено 11 июля 2020 г.
Йосида, К. (1980), Функциональный анализ, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Фундаментальные принципы математических наук), т. 123 (6-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag.