Хиральная аномалия

редактировать
Несохранение кирального тока в физике

В теоретической физике, a хиральная аномалия - это аномальное несохранение хирального тока. В повседневных терминах это эквивалентно запечатанной коробке, содержащей равное количество положительно и отрицательно заряженных частиц, но при открытии оказалось, что положительных частиц больше, чем отрицательных, или наоборот.

Ожидается, что такие события будут запрещены в соответствии с классическими законами сохранения, но мы знаем, что должны быть способы их нарушения, поскольку у нас есть доказательства отсутствия зарядовой четности. сохранение («нарушение CP»). Возможно, что другие дисбалансы были вызваны нарушением такого закона хиральности. Многие физики подозревают, что тот факт, что наблюдаемая Вселенная содержит больше вещества, чем антиматерии, вызван киральной аномалией, хотя само это наблюдение не доказывает строго, что киральная аномалия должна существовать. Исследование законов нарушения киральности в настоящее время является одним из основных направлений исследований физики элементарных частиц.

Содержание

  • 1 Описание
  • 2 Расчет
  • 3 Пример: несохранение барионного числа
    • 3.1 Геометрическая форма
  • 4 См. Также
  • 5 Ссылки
  • 6 Дополнительная литература
    • 6.1 Опубликованные статьи
    • 6.2 Учебники
    • 6.3 Препринты

Описание

В некоторых теориях фермионов с киральной симметрией, квантование может привести к нарушению этой (глобальной) киральной симметрии. В этом случае заряд, связанный с киральной симметрией, не сохраняется. Несохранение происходит в процессе туннелирования из одного вакуума в другой. Такой процесс называется инстантоном.

. В случае симметрии, связанной с сохранением числа фермионных частиц, создание таких частиц можно понять следующим образом. Определение частицы различается в двух состояниях вакуума, между которыми происходит туннелирование; поэтому состояние отсутствия частиц в одном вакууме соответствует состоянию с некоторыми частицами в другом вакууме.

В частности, существует море Дирака фермионов, и когда происходит такое туннелирование, оно вызывает постепенное смещение уровней энергии морских фермионов вверх для частицы и вниз для античастиц, или наоборот. Это означает, что частицы, которые когда-то принадлежали морю Дирака, становятся реальными частицами (положительной энергии), и происходит их создание.

Технически аномальная симметрия - это симметрия action A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}{\ mathcal {A}} , но не меры μ и, следовательно, не производящего функционала Z = ∫ exp ⁡ (i A / ℏ) d μ {\ displaystyle {\ mathcal {Z }} = \ int \! {\ exp (i {\ mathcal {A}} / \ hbar) ~ \ mathrm {d} \ mu \,}}{\ displaystyle {\ ma thcal {Z}} = \ int \! {\ exp (i {\ mathcal {A}} / \ hbar) ~ \ mathrm {d} \ mu \,}} квантованной теории (ℏ - действие Планка -квант, деленный на 2π).

Мера состоит из части, зависящей от поля фермионов [d ψ] {\ displaystyle [\ mathrm {d} \ psi]}{\ displaystyle [\ mathrm {d} \ psi]} , и части, зависящей от ее комплекса конъюгат [d ψ ¯] {\ displaystyle [\ mathrm {d} {\ bar {\ psi}}]}{\ displaystyle [\ mathrm {d} {\ bar {\ psi}}]} . Преобразования обеих частей при киральной симметрии в общем случае не сокращаются. Обратите внимание, что если ψ {\ displaystyle \ psi}\ psi является фермионом Дирака, то киральная симметрия может быть записана как ψ → ei α γ 5 ψ {\ displaystyle \ psi \ rightarrow e ^ {i \ alpha \ gamma ^ {5}} \ psi}\ psi \ rightarrow e ^ {{i \ alpha \ gamma ^ {5}}} \ psi где γ 5 {\ displaystyle \ gamma ^ {5}}\ gamma ^ {5} - некоторая матрица, действующая на ψ {\ displaystyle \ psi}\ psi .

Из формулы для Z {\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}{\ mathcal Z} также явно видно, что в классический предел, ℏ → 0, аномалии не действуют, так как в этом пределе остаются только экстремумы A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}{\ mathcal {A}} соответствующие.

Аномалия пропорциональна инстантонному числу калибровочного поля, с которым связаны фермионы. (Обратите внимание, что калибровочная симметрия всегда не аномальна и точно соблюдается, что требуется для согласованности теории.)

Расчет

Распад нейтрального пиона, вызванный аномалией.

Киральная аномалия можно точно рассчитать по однопетлевой диаграмме Фейнмана, например «Треугольная диаграмма» Штейнбергера, вносящая вклад в распады пиона , π 0 → γ γ {\ displaystyle \ pi ^ {0} \ to \ gamma \ gamma}\ pi ^ {0} \ to \ gamma \ gamma и π 0 → e + e - γ {\ displaystyle \ pi ^ {0} \ to e ^ {+} e ^ {-} \ gamma}\ pi ^ {0} \ to e ^ {+} e ^ {-} \ gamma .

Амплитуда этого процесса может быть вычислена непосредственно по изменению мера фермионных полей при киральном преобразовании.

Весс и Зумино разработали набор условий того, как статистическая сумма должна вести себя при калибровочных преобразованиях, названных условием согласованности Весса – Зумино .

Фудзикава вывел эту аномалию, используя соответствие между функциональными детерминантами и статистической суммой, используя теорему об индексе Атьи – Сингера. См. метод Фудзикавы.

Пример: несохранение барионного числа

Стандартная модель электрослабых взаимодействий содержит все необходимые ингредиенты для успешного бариогенеза, хотя эти взаимодействия никогда не наблюдались и могут быть недостаточными для объяснения полного барионного числа наблюдаемой Вселенной, если начальное барионное число Вселенной во время Большого взрыва равно нулю. Помимо нарушения зарядового сопряжения C {\ displaystyle C}C и нарушения CP CP {\ displaystyle CP}CP (заряд + четность), нарушение барионного заряда проявляется в аномалии Адлера – Белла – Джекива группы U (1) {\ displaystyle U (1)}U (1) .

Барионы не сохраняются при обычных электрослабых взаимодействиях из-за квантовой киральной аномалии. Классический электрослабый лагранжиан сохраняет барионный заряд. Кварки всегда входят в билинейные комбинации q q ¯ {\ displaystyle q {\ bar {q}}}q {\ bar q} , так что кварк может исчезнуть только при столкновении с антикварком. Другими словами, классический барионный ток J μ B {\ displaystyle J _ {\ mu} ^ {B}}J _ {\ mu} ^ {B} сохраняется:

∂ μ J μ B = ∑ j ∂ μ ( q ¯ J γ μ qj) = 0. {\ Displaystyle \ partial ^ {\ mu} J _ {\ mu} ^ {B} = \ sum _ {j} \ partial ^ {\ mu} ({\ bar {q} } _ {j} \ gamma _ {\ mu} q_ {j}) = 0.}\ partial ^ {\ mu} J _ {\ mu} ^ {B} = \ sum _ {j} \ partial ^ {\ mu} ({\ bar q} _ {j} \ gamma _ {\ mu} q_ {j}) = 0.

Однако квантовые поправки, известные как сфалерон, разрушают этот закон сохранения : вместо этого нуля в правой части этого уравнения, есть ненулевой квантовый член,

∂ μ J μ B = g 2 C 16 π 2 G μ ν a G ~ μ ν a, {\ displaystyle \ partial ^ {\ mu} J _ {\ mu} ^ {B} = {\ frac {g ^ {2} C} {16 \ pi ^ {2}}} G ^ {\ mu \ nu a} {\ tilde {G }} _ {\ mu \ nu} ^ {a},}\ partial ^ {\ mu} J _ {\ mu} ^ {B} = {\ frac {g ^ {2} C} {16 \ pi ^ {2}}} G ^ {{\ mu \ nu a}} {\ tilde {G}} _ {{\ mu \ nu}} ^ {a},

где C - числовая константа, исчезающая при ℏ = 0,

G ~ μ ν a = 1 2 ϵ μ ν α β G α β a, {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {\ mu \ nu} ^ {a} = {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {\ mu \ nu \ alpha \ beta} G ^ {\ альфа \ бета a},}{\ tilde {G}} _ {{\ mu \ nu}} ^ {a} = {\ frac {1} {2} } \ epsilon _ {{\ mu \ nu \ alpha \ beta}} G ^ {{\ alpha \ beta a}},

, а измеренная напряженность поля G μ ν a {\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} ^ {a}}G _ {{\ mu \ nu}} ^ {a} задается выражением

G μ ν a = ∂ μ A ν a - ∂ ν A μ a + g f b c a A μ b A ν c. {\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} ^ {a} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} ^ {a} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} ^ {a} + gf_ {bc} ^ {a} A _ {\ mu} ^ {b} A _ {\ nu} ^ {c} ~.}{\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} ^ {a} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu } ^ {a} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} ^ {a} + gf_ {bc} ^ {a} A _ {\ mu} ^ {b} A _ {\ nu} ^ {c} ~.}

Электрослабые сфалероны могут изменять барионное и / или лептонное число только на 3 или кратные 3 ( столкновение трех барионов на три лептона / антилептона и наоборот).

Важным фактом является то, что аномальное несохранение тока пропорционально полной производной векторного оператора, G μ ν a G ~ μ ν a = ∂ μ K μ {\ displaystyle G ^ {\ mu \ nu a} {\ tilde {G}} _ {\ mu \ nu} ^ {a} = \ partial ^ {\ mu} K _ {\ mu}}G ^ {{\ mu \ nu a}} {\ tilde {G }} _ {{\ mu \ nu}} ^ {a} = \ partial ^ {\ mu} K _ {\ mu} (это не- исчезает из-за инстантонных конфигураций калибровочного поля, которые являются чистой калибровкой на бесконечности), где аномальный ток K μ {\ displaystyle K _ {\ mu}}K_ \ mu равно

К μ = 2 ϵ μ ν α β (A ν a ∂ α A β a + 1 3 fabc A ν a A α b A β c), {\ displaystyle K _ {\ mu} = 2 \ epsilon _ {\ mu \ nu \ alpha \ beta} \ left (A ^ {\ nu a} \ partial ^ {\ alpha} A ^ {\ beta a} + {\ frac {1} {3}} f ^ {abc} A ^ {\ nu a} A ^ {\ alpha b} A ^ {\ beta c} \ right),}K _ {\ mu} = 2 \ epsilon _ {{\ mu \ nu \ alpha \ beta}} \ left (A ^ {{\ nu a}} \ partial ^ {\ alpha} A ^ {{\ beta a}} + {\ frac {1} {3}} f ^ {{abc}} A ^ {{\ nu a}} A ^ {{\ alpha b}} A ^ {{\ beta c}} \ right),

который является двойственным по Ходжу к Черна – Саймонса 3-форма.

Геометрическая форма

На языке дифференциальных форм для любой формы самодвойственной кривизны FA {\ displaystyle F_ {A}}F_ {A} мы можем присвоить абелеву 4-форму ⟨FA ∧ FA⟩: = tr ⁡ (FA ∧ FA) {\ displaystyle \ langle F_ {A} \ wedge F_ {A} \ rangle: = \ operatorname {tr } \ left (F_ {A} \ wedge F_ {A} \ right)}{\ displaystyle \ langle F_ {A} \ wedge F_ {A} \ rangle: = \ operatorname {tr} \ left (F_ {A} \ wedge F_ {A} \ right) } . Теория Черна-Вейля показывает, что эта 4-форма является локально, но не глобально точной, с потенциалом, задаваемым 3-формой Черна-Саймонса локально:

d CS (A) = ⟨FA ∧ FA⟩ {\ displaystyle d \ mathrm {CS} (A) = \ langle F_ {A} \ wedge F_ {A} \ rangle}{\ displaystyle d \ mathrm {CS} (A) = \ langle F_ {A} \ wedge F_ {A} \ rangle} .

Опять же, это верно только для одной диаграммы и неверно для глобальной формы ⟨F ∇ ∧ F ∇⟩ {\ displaystyle \ langle F _ {\ nabla} \ wedge F _ {\ nabla} \ rangle}{\ displaystyle \ langle F _ {\ nabla} \ wedge F _ {\ nabla} \ rangle} , если только инстантонное число не обращается в нуль.

Чтобы продолжить, мы прикрепляем «бесконечно удаленную точку» k к R 4 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}\ mathbb {R} ^ {4} , чтобы получить S 4 {\ displaystyle S ^ {4}}S ^ 4 , и используйте конструкцию сцепления, чтобы нанести на карту основные A-связки, причем одна диаграмма находится в окрестности k, а вторая - в S 4 - k {\ стиль отображения S ^ {4} -k}{\ displaystyle S ^ {4} -k} . Утолщение вокруг k, где эти диаграммы пересекаются, тривиально, поэтому их пересечение по существу S 3 {\ displaystyle S ^ {3}}S ^ {3} . Таким образом, инстантоны классифицируются по третьей гомотопической группе π 3 (A) {\ displaystyle \ pi _ {3} (A)}{\ displaystyle \ pi _ {3} (A)} , что для A = SU (2) ≅ S 3 {\ displaystyle A = \ mathrm {SU (2)} \ cong S ^ {3}}{\ displaystyle A = \ mathrm {SU (2)} \ cong S ^ {3}} - это просто третья 3-сферная группа π 3 (S 3) = N {\ displaystyle \ pi _ {3} (S ^ {3}) = \ mathbb {N}}{\ displaystyle \ pi _ {3} (S ^ {3}) = \ mathbb {N}} .

Дивергенция тока барионного числа (без учета числовых констант)

d ⋆ jb = ⟨F ∇ ∧ F ∇⟩ {\ displaystyle \ mathbf {d} \ star j_ {b} = \ langle F _ {\ nabla} \ wedge F _ {\ nabla} \ rangle}{\ displaystyle \ mathbf {d} \ star j_ {b} = \ langle F _ {\ nabla} \ wedge F_ { \ nabla} \ rangle} ,

и инстантон число равно

∫ S 4 ⟨F ∇ ∧ F ∇⟩ ∈ N {\ displaystyle \ int _ {S ^ {4}} \ langle F _ {\ nabla} \ wedge F _ {\ nabla} \ rangle \ in \ mathbb {N}}{\ displaystyle \ int _ {S ^ {4}} \ langle F _ {\ nabla} \ wedge F _ {\ nabla} \ rangle \ in \ mathbb {N}} .

См. Также

Ссылки

  1. ^S. Eidelman et al. (Группа данных по частицам), Phys. Lett. B592 (2004) 1 («Процессы, нарушающие барионное число, еще не наблюдались.»)

Дополнительная литература

Опубликованные статьи

Учебники

Препринты

  • Ян, Ж.-Ф. (2003). «Следы и хиральные аномалии в КЭД и лежащая в их основе интерпретация теории». arXiv :hep-ph/0309311.
Последняя правка сделана 2021-05-14 12:55:32
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте