Теорема плотности Чеботарева

редактировать

Теорема плотности Чеботарева в теории алгебраических чисел описывает статистически расщепление простых чисел в заданном расширения Галуа K поля из рациональных чисел. Вообще говоря, простое число фактор будет на несколько идеальных простых чисел в кольце целых алгебраических чисел из K. Может возникнуть лишь конечное число шаблонов расщепления. Хотя полное описание расщепления каждого простого числа p в общем расширении Галуа является основной нерешенной проблемой, теорема плотности Чеботарева утверждает, что частота появления данного шаблона для всех простых чисел p, меньших большого целого числа N, имеет тенденцию до определенного предела, когда N стремится к бесконечности. Это доказал Николай Чеботарев в своей диссертации 1922 года, опубликованной в ( Tschebotareff 1926). Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Частный случай, который легче сформулировать, говорит, что если K - поле алгебраических чисел, которое является расширением Галуа степени n, то простые числа, которые полностью расщепляются в K, имеют плотность Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}

1 / п

среди всех простых чисел. В более общем смысле, поведение расщепления может быть определено путем присвоения (почти) каждому простому числу инварианта, его элемента Фробениуса, который является представителем четко определенного класса сопряженности в группе Галуа.

Гал ( K / Q ).

Тогда теорема утверждает, что асимптотическое распределение этих инвариантов равномерно по группе, так что класс сопряженности с k элементами возникает с частотной асимптотикой к

к / н.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 История и мотивация
  • 2 Связь с теоремой Дирихле
  • 3 Состав
  • 4 Заявление
    • 4.1 Действующая версия
    • 4.2 Бесконечные расширения
  • 5 Важные последствия
  • 6 Примечания
  • 7 ссылки

История и мотивация

Когда Карл Фридрих Гаусс впервые ввел понятие комплексных целых чисел Z [ i ], он заметил, что обычные простые числа могут быть множителями в этом новом наборе целых чисел. Фактически, если простое число p конгруэнтно 1 по модулю 4, то оно разлагается на произведение двух различных простых гауссовских целых чисел или «полностью разделяется»; если p конгруэнтно 3 mod 4, то оно остается простым или «инертным»; и если p равно 2, то оно становится произведением квадрата простого числа (1 + i) и обратимого гауссовского целого числа -i ; мы говорим, что 2 «разветвляется». Например,

5 знак равно ( 1 + 2 я ) ( 1 - 2 я ) {\ Displaystyle 5 = (1 + 2i) (1-2i)} полностью раскалывается;
3 {\ displaystyle 3} инертен;
2 знак равно - я ( 1 + я ) 2 {\ Displaystyle 2 = -i (1 + я) ^ {2}} разветвляется.

Из этого описания следует, что, если рассматривать все большие и большие простые числа, частота разделения на простые числа полностью приближается к 1/2, и то же самое для простых чисел, которые остаются простыми числами в Z [ i ]. Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях показывает, что это действительно так. Несмотря на то, что сами простые числа появляются довольно хаотично, разделение простых чисел в расширении

Z Z [ я ] {\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ подмножество \ mathbb {Z} [я]}

следует простому статистическому закону.

Подобные статистические законы также выполняются для разбиения простых чисел в круговых расширениях, полученных из поля рациональных чисел путем присоединения первообразного корня из единицы заданного порядка. Например, обычные целые простые числа группируются в четыре класса, каждый с вероятностью 1/4, в соответствии с их схемой разбиения в кольце целых чисел, соответствующих корням 8-й степени из единицы. В этом случае расширение поля имеет степень 4 и является абелевым, при этом группа Галуа изоморфна четырехгруппе Клейна. Оказалось, что группа Галуа расширения играет ключевую роль в схеме расщепления простых чисел. Георг Фробениус установил основу для исследования этого паттерна и доказал частный случай теоремы. Общее утверждение было доказано Николаем Григорьевичем Чеботаревым в 1922 году.

Связь с теоремой Дирихле

Теорема плотности Чеботарева может рассматриваться как обобщение теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях. Количественная форма теоремы состояний Дирихля, что если N ≥ 2 представляет собой целое число, и является взаимно простым с N, то доля простых чисел р конгруэнтен в модах N является асимптотической 1 / п, где п = φ ( N) представляет собой Тотиентная функция Эйлера. Это особый случай теоремы плотности Чеботарева для N - й кругового поля К. Действительно, группа Галуа K / Q абелева и может быть канонически отождествляется с группой обратимых классов вычет по модулю N. Инвариант расщепления простого числа p, не делящего N, является просто его классом вычетов, потому что число различных простых чисел, на которые разбивается p, равно φ ( N) / m, где m - порядок мультипликативности p по модулю N; следовательно, по теореме плотности Чеботарева, простые числа асимптотически равномерно распределены среди различных классов вычетов взаимно простое с N.

Формулировка

В своей обзорной статье Ленстра и Стивенхаген (1996) приводят более ранний результат Фробениуса в этой области. Пусть К является расширением Галуа из поля рациональных чисел Q и Р ( т ) унитарный целое число такое, что полином К является полем расщепления из P. Имеет смысл разложить P на множители по простому числу p. Его «тип расщепления» - это список степеней неприводимых множителей P mod p, то есть P некоторым образом факторизуется над простым полем F p. Если n - степень P, то тип расщепления - это разбиение Π числа n. Рассматривая также группу Галуа G группы K над Q, каждый g в G является перестановкой корней P в K ; другими словами, выбирая порядок α и его алгебраических сопряженных элементов, G точно представляется как подгруппа симметрической группы S n. Мы можем написать g с помощью его циклического представления, которое дает «циклический тип» c ( g ), снова разбиение n.

Теорема Фробениуса утверждает, что для любого данного выбора П простых чисел р, для которых типа расщепления Р по модулю р является Π имеет естественную плотность б, с δ, равные долями г в G, которые имеют тип цикла П.

Утверждение более общего Чеботарев теорема в терминах элемента Фробениуса простого числа (идеальный), который фактически связанный с ним классом сопряженным С элементами группы Галуа G. Если мы зафиксируем C, то теорема утверждает, что асимптотически пропорция | C | / | G | простые числа имеют связанную фробениусову элемент как C. Когда G абелева классов Конечно, каждый имеет размер 1. Для случая неабелевой группы порядка 6 они имеют размер 1, 2 и 3, и, соответственно, существуют (например) 50% простых чисел р, которые имеют Закажите 2 элемента как их Фробениуса. Таким образом, эти простые числа имеют вычетную степень 2, поэтому они разделяются ровно на три простых идеала в расширении Q степени 6 с этой группой Галуа.

Заявление

Пусть L -конечное расширение Галуа числового поля К с группой Галуа G. Пусть X - подмножество G, устойчивое относительно сопряжения. Множество простых чисел v из K, неразветвленных в L и ассоциированный с которыми класс сопряженности Фробениуса F v содержится в X, имеет плотность

# Икс # грамм . {\ displaystyle {\ frac {\ #X} {\ # G}}.}

Утверждение справедливо, когда плотность относится либо к естественной плотности, либо к аналитической плотности набора простых чисел.

Действующая версия

Обобщенная гипотеза Римана влечет эффективную версию теоремы Чеботарева о плотности : если L / K - конечное расширение Галуа с группой Галуа G, а C - объединение классов сопряженности группы G, то количество неразветвленных простых чисел K нормы ниже x с Класс сопряженности Фробениуса в C есть

| C | | грамм | ( л я ( Икс ) + О ( Икс ( п бревно Икс + бревно | Δ | ) ) ) , {\ displaystyle {\ frac {| C |} {| G |}} {\ Bigl (} \ mathrm {li} (x) + O {\ bigl (} {\ sqrt {x}} (п \ log x + \ журнал | \ Delta |) {\ bigr)} {\ Bigr)},}

где константа, подразумеваемая в обозначении большого O, является абсолютной, n - степень L над Q, а Δ - его дискриминант.

Эффективная форма теории плотности Чеботарева становится намного слабее без GRH. В качестве L возьмем конечное расширение Галуа группы Q с группой Галуа G и степенью d. Возьмем за нетривиальное неприводимое представление группы G степени n и возьмем за артиновский проводник этого представления. Предположим, что для подпредставление или, целая; то есть гипотеза Артина выполняется для всех. Принять, чтобы быть персонажем, связанным с. Тогда существует абсолютная положительная, что для, ρ {\ displaystyle \ rho} ж ( ρ ) {\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} (\ rho)} ρ 0 {\ displaystyle \ rho _ {0}} ρ ρ {\ Displaystyle \ rho \ otimes \ rho} ρ ρ ¯ {\ displaystyle \ rho \ otimes {\ bar {\ rho}}} L ( ρ 0 , s ) {\ Displaystyle L (\ rho _ {0}, s)} ρ 0 {\ displaystyle \ rho _ {0}} χ ρ {\ displaystyle \ chi _ {\ rho}} ρ {\ displaystyle \ rho} c {\ displaystyle c} Икс 2 {\ Displaystyle х \ geq 2}

п Икс , п ж ( ρ ) χ ρ ( Пт п ) бревно п знак равно р Икс + О ( Икс β β + Икс exp ( - c ( d п ) - 4 бревно Икс 3 бревно ж ( ρ ) + бревно Икс ) ( d п бревно ( Икс ж ( ρ ) ) ) , {\ displaystyle \ sum _ {p \ leq x, p \ not \ mid {\ mathfrak {f}} (\ rho)} \ chi _ {\ rho} ({\ text {Fr}} _ {p}) \ log p = rx + O {\ biggl (} {\ frac {x ^ {\ beta}} {\ beta}} + x \ exp {\ biggl (} {\ frac {-c (dn) ^ {- 4}) \ log x} {3 \ log {\ mathfrak {f}} (\ rho) + {\ sqrt {\ log x}}}} {\ biggr)} (dn \ log (x {\ mathfrak {f}} ( \ rho)) {\ biggr)},}

где равно 1, если тривиально и в противном случае 0, и где это исключительный действительный нуль из ; если такого нуля нет, термин можно игнорировать. Неявная константа этого выражения абсолютна. р {\ displaystyle r} ρ {\ displaystyle \ rho} β {\ displaystyle \ beta} L ( ρ , s ) {\ Displaystyle L (\ rho, s)} Икс β / β {\ Displaystyle х ^ {\ beta} / \ beta}

Бесконечные расширения

Утверждение теоремы Чеботарева о плотности может быть обобщено на случай бесконечного расширения Галуа L / K, неразветвленного вне конечного множества S простых чисел K (т. Е. Если существует конечное множество S простых чисел K такое, что любое простое из K не S неразветвлено в расширении L / K ). В этом случае группа Галуа G группы L / K является проконечной группой, снабженной топологией Крулля. Поскольку G компактна в этой топологии, на G существует единственная мера Хаара µ. Для каждого простого числа v группы K, не лежащего в S, существует ассоциированный класс фробениусовой сопряженности F v. Теорема плотности Чеботарева в этой ситуации может быть сформулирована следующим образом:

Пусть X - устойчивое относительно сопряжения подмножество G, граница которого имеет нулевую меру Хаара. Тогда множество простых чисел v поля K, не лежащих в S, таких, что F v ⊆ X имеет плотность
μ ( Икс ) μ ( грамм ) . {\ displaystyle {\ frac {\ mu (X)} {\ mu (G)}}.}

Это сводится к конечному случаю, когда L / K конечно (тогда мера Хаара является просто считающей мерой).

Следствие этого варианта теоремы является то, что элементы Фробениуса неразветвленных простых чисел L плотны в G.

Важные последствия

Теорема Чеботарева о плотности сводит проблему классификации расширений Галуа числового поля к задаче описания разбиения простых чисел в расширениях. В частности, это означает, что как расширение Галуа K, L однозначно определяется набором простых чисел K, которые полностью в нем распадаются. Связанная следствием является то, что если почти все простые идеалы K распадаются полностью в L, то на самом деле L = K.

Заметки

  1. ^ Этот конкретный пример уже следует из результата Фробениуса, потому что G - симметрическая группа. В общем, сопряжение в G более требовательно, чем цикл одного и того же типа.
  2. ^ a b Раздел I.2.2 Серра
  3. Перейти ↑ Lenstra, Hendrik (2006). "Теорема плотности Чеботарева" (PDF). Проверено 7 июня 2018.
  4. ^ Лагариас, JC; Одлызко А.М. (1977). «Эффективные версии теоремы Чеботарева». Поля алгебраических чисел : 409–464.
  5. ^ Иванец, Хенрик; Ковальски, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 111.
  6. ^ Следствие VII.13.10 Нойкирх
  7. ^ Следствие VII.13.7 из Neukirch

Рекомендации

Последняя правка сделана 2023-08-10 05:06:19
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте