Картан – Кэл Теорема Э.

редактировать

В математике теорема Картана – Келера является основным результатом интегрируемости условия для дифференциальных систем, в случае аналитических функций, для дифференциальных идеалов $I {\ displaystyle I}$ $I$ . Он назван в честь Эли Картана и Эриха Келера.

Содержание

1 Значение
2 Утверждение
3 Доказательства и предположения
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Значение

Неверно, что просто наличие $d I {\ displaystyle dI}$ $dI$ , содержащегося в $I {\ displaystyle I}$ $I$ достаточно для интегрируемости. Возникла проблема, вызванная отдельными решениями. Теорема вычисляет определенные константы, которые должны удовлетворять неравенству, чтобы было решение.

Утверждение

Пусть $(M, I) {\ displaystyle (M, I)}$ ${\ displaystyle (M, I)}$ будет реальным аналитическим EDS. Предположим, что $P ⊆ M {\ displaystyle P \ substeq M}$ ${\ displaystyle P \ substeq M}$ является связным, $k {\ displaystyle k}$ $k$ -мерным, вещественно-аналитическим, регулярным интегральный коллектор из $I {\ displaystyle I}$ $I$ с $r (P) ≥ 0 {\ displaystyle r (P) \ geq 0}$ ${\ displaystyle r (P) \ geq 0}$ ( т.е. касательные пространства $T p P {\ displaystyle T_ {p} P}$ ${\ displaystyle T_ {p} P}$ «расширяются» до целых элементов более высокой размерности).

Кроме того, предположим, что существует вещественное аналитическое подмногообразие $R ⊆ M {\ displaystyle R \ substeq M}$ ${\ displaystyle R \ substeq M}$ коразмерности $r (P) {\ displaystyle r (P)}$ ${\ displaystyle r (P)}$ содержащие $P {\ displaystyle P}$ $P$ и такие, что $T p R ∩ H (T p P) {\ displaystyle T_ {p} R \ cap H (T_ {p} P)}$ ${\ displaystyle T_ {p} R \ колпачок H (T_ {p} P)}$ имеет размерность $k + 1 {\ displaystyle k + 1}$ $k + 1$ для всех $p ∈ P {\ displaystyle p \ in P}$ $p \ in P$ .

Тогда существует (локально) единственное связное, $(k + 1) {\ displaystyle (k + 1)}$ $(k + 1)$ -мерное вещественно-аналитическое интегральное многообразие $X ⊆ M {\ displaystyle X \ substeq M}$ ${\ displaystyle X \ substeq M}$ из $I {\ displaystyle I}$ $I$ , который удовлетворяет $P ⊆ X ⊆ R {\ displaystyle P \ substeq X \ substeq R}$ ${\ displaystyle P \ substeq X \ substeq R}$ .

Доказательство и предположения

В доказательстве используется теорема Коши-Ковалевской, поэтому аналитичность необходима.

Источники

Жан Дьедонне, Анализируемые элементы, т. 4, (1977) гл. XVIII.13
Р. Брайант, С. С. Черн, Р. Гарднер, Х. Гольдшмидт, П. Гриффитс, Внешние дифференциальные системы, Springer Verlag, New York, 1991.

Внешние ссылки