Цикл Карно

Теоретический термодинамический цикл, предложенный Николасом Леонардом Сади Карно в 1824 году

Цикл Карно - это теоретический идеальный термодинамический цикл, предложенный французским физиком Сади Карно в 1824 году и расширенный другими в 1830-х и 1840-х годах. Он обеспечивает верхний предел эффективности, которого может достичь любой классический термодинамический двигатель при преобразовании тепла в работу, или, наоборот, эффективность холодильной системы. в создании разницы температур путем приложения работы к системе. Это не реальный термодинамический цикл, а теоретическая конструкция.

Каждая термодинамическая система существует в определенном состоянии. Когда система проходит через серию различных состояний и, наконец, возвращается в исходное состояние, считается, что произошел термодинамический цикл. В процессе прохождения этого цикла система может выполнять работу со своим окружением, например, перемещая поршень, тем самым действуя как тепловой двигатель. Система, претерпевающая цикл Карно, называется тепловой машиной Карно, хотя такой «идеальный» двигатель является только теоретической конструкцией и не может быть построен на практике. Однако был разработан и запущен микроскопический тепловой двигатель Карно.

По сути, есть два «тепловых резервуара», составляющих часть теплового двигателя при температурах T h и T c (горячий и холодный соответственно). Они обладают такой большой теплоемкостью, что на их температуру практически не влияет один цикл. Поскольку цикл теоретически обратим, в течение цикла не происходит генерации энтропии ; энтропия сохраняется. Во время цикла произвольное количество энтропии ΔS извлекается из горячего резервуара и откладывается в холодном резервуаре. Поскольку в обоих резервуарах нет изменения объема, они не работают, и во время цикла некоторое количество энергии T h ΔS извлекается из горячего резервуара и меньшее количество энергии T c ΔS откладывается в холодном резервуаре. Разница двух энергий (T h-Tc) ΔS равна работе, совершаемой двигателем.

Содержание

• 1 Этапы
  • 1.1 График давление – объем
• 2 Свойства и значение
  • 2.1 Диаграмма температура – ​​энтропия
  • 2.2 Цикл Карно
  • 2.3 Обратный цикл Карно
  • 2.4 Теорема Карно
  • 2.5 КПД реальных тепловых машин
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Этапы

Цикл Карно при работе в качестве тепловой машины состоит из из следующих шагов:

1. 

   Изотермическое Расширение. Тепло передается обратимо от высокотемпературного резервуара при постоянной температуре T H (изотермическое добавление или поглощение тепла). На этом этапе (1-2 на Рисунок 1, от A до B на рис. 2 ) газу позволяют расширяться, воздействуя на окружающую среду, толкая вверх поршень (ступень 1, рисунок справа). Хотя давление падает от точек 1 до 2 (рис. 1), температура газа не изменяется во время процесса, поскольку он находится в тепловом контакте с горячим резервуаром при T h, и, таким образом, расширение является изотермическим.. Тепловая энергия Q 1 поглощается из высокотемпературного резервуара, что приводит к увеличению энтропии газа на величину $\Delta \; S\; 1\; =\; Q\; 1\; /\; T\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; S\_\; \{1\; \}\; =\; Q\_\; \{1\}\; /\; T\_\; \{h\}\}$.

2. 

   Изэнтропическое (обратимое адиабатическое ) расширение газа (выход изэнтропической работы). Для этого этапа (от 2 до 3 на Рисунок 1, от B до C на Рисунок 2 ) газ в двигателе теплоизолирован как от горячего, так и от холодного резервуара. Таким образом, они не набирают и не теряют тепло - процесс «адиабатический ». Газ продолжает расширяться за счет снижения давления, совершая работу с окружающей средой (поднимая поршень; фигура 2, справа) и теряя количество внутренней энергии, равное проделанной работе. Расширение газа без подвода тепла вызывает его охлаждение до «холодной» температуры, T c. Энтропия остается неизменной.

3. 

   Изотермическое сжатие. Тепло передается обратимо низкотемпературному резервуару при постоянной температуре T C. (отвод изотермического тепла) (от 3 до 4 на Рис. 1, от C до D на Рис. 2 ) Теперь газ в двигателе находится в тепловом контакте с холодным резервуаром при температуре T c. Окружающая среда воздействует на газ, толкая поршень вниз (ступень 3, рисунок справа), в результате чего количество тепловой энергии Q 2 уходит из системы в низкотемпературный резервуар, а энтропия системы - в уменьшиться на величину $\Delta \; S\; 2\; =\; Q\; 2\; /\; T\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; S\_\; \{2\}\; =\; Q\_\; \{2\}\; /\; T\_\; \{c\}\}$. (Это такое же количество энтропии, которое было поглощено на этапе 1, как видно из неравенства Клаузиуса.)

4. 

   Адиабатическое обратимое сжатие. (4: 1 на Рисунок 1, от D до A на Рисунок 2 ) И снова газ в двигателе теплоизолирован от горячего и холодного резервуаров., и предполагается, что двигатель не имеет трения, следовательно, реверсивный. Во время этого этапа окружающая среда воздействует на газ, толкая поршень дальше вниз (рис. 4, справа), увеличивая его внутреннюю энергию, сжимая его и заставляя его температуру снова подниматься до T h из-за только работа добавляется к системе, но энтропия остается неизменной. В этот момент газ находится в том же состоянии, что и в начале шага 1.

Рисунок 1: Цикл Карно, показанный на PV-диаграмме для иллюстрации проделанной работы.

В данном случае

$\Delta \; S\; 1\; знак\; равно\; \Delta \; S\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; S\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; Delta\; S\_\; \{2\}\}$,

или

$Q\; 1\; /\; T\; h\; =\; Q\; 2\; /\; T\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{1\}\; /\; T\_\; \{h\}\; =\; Q\_\; \{2\}\; /\; T\_\; \{c\}\}$.

Это верно, как $Q\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{2\}\}$и $T\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{c\}\}$оба ниже и фактически находятся в том же соотношении, что и $Q\; 1\; /\; T\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{1\}\; /\; T\_\; \{h\}\}$.

График давление – объем

Когда цикл Карно нанесен на диаграмму давление – объем (рис. 1 ), изотермические стадии следуют линиям изотермы для рабочей жидкости, адиабатические стадии перемещаются между изотермами, а область, ограниченная полным циклом, представляет собой общую работу, которая может быть выполнена в течение одного цикла. В точках 1–2 и 3–4 температура постоянна. Теплоотдача от точки 4 к 1 и от точки 2 к 3 равна нулю.

Свойства и значение

Диаграмма температура-энтропия

Рис. 2: Цикл Карно, действующий как тепловой двигатель, проиллюстрированный на диаграмме температура-энтропия. Цикл имеет место между горячим резервуаром с температурой T H и холодным резервуаром с температурой T C. По вертикальной оси отложена температура, по горизонтальной оси - энтропия. Рисунок 3: Обобщенный термодинамический цикл, имеющий место между горячим резервуаром при температуре T H и холодным резервуаром при температуре T C. Согласно второму закону термодинамики цикл не может выходить за пределы температурного диапазона от T C до T H. Область красного цвета Q C - это количество энергии, передаваемой между системой и холодным резервуаром. Область белого цвета W представляет собой количество рабочей энергии, которой система обменивается с окружающей средой. Количество тепла, обмениваемого с горячим резервуаром, складывается из двух. Если система ведет себя как двигатель, процесс движется по циклу по часовой стрелке и движется против часовой стрелки, если он ведет себя как холодильник. Эффективность цикла - это отношение белой области (работы), деленной на сумму белой и красной областей (тепло, поглощаемое из горячего резервуара).

Поведение двигателя Карно или холодильника лучше всего понять, используя диаграмма температура – ​​энтропия (диаграмма T – S), на которой термодинамическое состояние указано точкой на графике с энтропией (S) в качестве горизонтальной оси и температурой (T) как вертикальную ось (Рисунок 2 ). Для простой замкнутой системы (анализ контрольной массы) любая точка на графике будет представлять конкретное состояние системы. Термодинамический процесс будет состоять из кривой, соединяющей начальное состояние (A) и конечное состояние (B). Площадь под кривой будет:

$Q\; =\; \int \; ABT\; d\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{A\}\; ^\; \{B\}\; T\; \backslash ,\; dS\}$

(1)

, что является количеством тепловой энергии, передаваемой в процессе. Если процесс движется к большей энтропии, площадь под кривой будет количеством тепла, поглощенного системой в этом процессе. Если процесс движется в сторону меньшей энтропии, это будет количество отведенного тепла. Для любого циклического процесса будет верхняя часть цикла и нижняя часть. Для цикла по часовой стрелке область под верхней частью будет тепловой энергией, поглощенной во время цикла, а область под нижней частью будет тепловой энергией, удаленной во время цикла. Тогда площадь внутри цикла будет разницей между ними, но поскольку внутренняя энергия системы должна вернуться к своему начальному значению, эта разница должна быть объемом работы, выполненной системой за цикл. Ссылаясь на на рис. 1, математически для обратимого процесса мы можем записать объем работы, выполненной в циклическом процессе, как:

$W\; =\; \oint \; \; P\; d\; V\; =\; \oint \; \oint \; (d\; Q\; -\; d\; U)\; знак\; равно\; \oint \; \; (T\; d\; S\; -\; d\; U)\; знак\; равно\; \oint \; \; T\; d\; S\; -\; \oint \; \; d\; U\; =\; \oint \; \; T\; d\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; \backslash \; oint\; PdV\; =\; \backslash \; oint\; (dQ-dU)\; =\; \backslash \; oint\; (TdS-dU)\; =\; \backslash \; oint\; TdS-\; \backslash \; oint\; dU\; =\; \backslash \; oint\; TdS\}$

(2)

Поскольку dU является точным дифференциалом, его интеграл по любому замкнутому контуру равна нулю, и отсюда следует, что площадь внутри петли на диаграмме T – S равна общей работе, выполненной, если петля проходит по часовой стрелке, и равна общей работе, проделанной в системе, когда петля проходит против часовой стрелки.

Рисунок 4: Цикл Карно, имеющий место между горячим резервуаром при температуре T H и холодным резервуаром при температуре T C.

Цикл Карно

Рисунок 5: Визуализация цикла Карно

Вычисление указанного выше интеграла особенно просто для цикла Карно. Количество энергии, переданной как работа, равно

$W\; =\; \oint \; P\; d\; V\; =\; \oint \; T\; d\; S\; =\; (TH\; -\; TC)\; (SB\; -\; SA)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; \backslash \; oint\; PdV\; =\; \backslash \; oint\; TdS\; =\; (T\_\; \{H\; \}\; -T\_\; \{C\})\; (S\_\; \{B\}\; -S\_\; \{A\})\}$

Общее количество тепловой энергии, переданной из горячего резервуара в систему, будет

$QH\; =\; TH\; (SB\; -\; SA)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{H\}\; =\; T\_\; \{H\}\; (S\_\; \{B\}\; -S\_\; \{A\})\; \backslash ,\}$

, а общее количество тепловой энергии, переданной из системы в холодный резервуар, будет

$QC\; =\; TC\; (SB\; -\; SA)\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{C\}\; =\; T\_\; \{C\}\; (S\_\; \{B\}\; -S\_\; \{A\})\; \backslash ,\}$

Эффективность $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$определяется как:

$\eta \; =\; WQH\; =\; QH\; -\; QCQH\; =\; 1\; -\; TCTH\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{W\}\; \{Q\_\; \{H\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Q\_\; \{H\}\; -Q\_\; \{C\}\}\; \{Q\_\; \{H\}\}\}\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{C\}\}\; \{T\_\; \{H\}\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\}$

(3)

где

W - работа, выполняемая системой (энергия, выходящая из системы как работа),

$QC\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{C\}\}$- тепло взято из системы (тепловая энергия, покидающая систему),

$QH\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{H\}\}$- тепло, поступающее в систему (тепловая энергия, поступающая в систему),

$TC\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{C\}\}$- абсолютная температура холодного резервуара, а

$TH\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{H\}\}$- абсолютная температура горячего резервуара.

$SB\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{B\}\}$- максимальная энтропия системы

$SA\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{A\}\}$- минимальная энтропия системы

Это определение эффективности имеет смысл для теплового двигателя, поскольку это часть тепловой энергии, извлеченной из горячего резервуара и преобразованной в механическую работу. Цикл Ренкина обычно является практическим приближением.

Обратный цикл Карно

Описанный цикл Карно с тепловым двигателем является полностью обратимым циклом. Это все процессы, из которых он состоит, могут быть обращены вспять, и в этом случае он становится циклом охлаждения Карно. На этот раз цикл остается точно таким же, за исключением того, что направления любых тепловых и рабочих взаимодействий меняются местами. Тепло поглощается из низкотемпературного резервуара, тепло отводится в высокотемпературный резервуар, и для всего этого требуется вложенная работа. Диаграмма P – V обратного цикла Карно такая же, как и для цикла Карно, за исключением того, что направления процессов меняются местами.

Теорема Карно

Это видно из приведенной выше диаграммы, что для любого цикла, работающего между температурами $TH\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{H\}\}$и $TC\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{C\}\}$, ни один не может превышать эффективность цикла Карно.

Рис. 6. Реальный двигатель (слева) по сравнению с циклом Карно (справа). Энтропия реального материала изменяется с температурой. Это изменение обозначено кривой на диаграмме T – S. На этом рисунке кривая указывает на парожидкостное равновесие (см. цикл Ренкина ). Необратимые системы и потери энергии (например, работа из-за трения и тепловых потерь) препятствуют достижению идеала на каждом этапе.

Теорема Карно является формальным утверждением этого факта: ни один двигатель не работает в перерыве между двумя нагревами. резервуары могут быть более эффективными, чем двигатель Карно, работающий между теми же резервуарами. Таким образом, уравнение 3дает максимально возможный КПД для любого двигателя, использующего соответствующие температуры. Следствие теоремы Карно гласит, что: Все реверсивные двигатели, работающие между одними и теми же тепловыми резервуарами, одинаково эффективны. Перестановка правой части уравнения дает более понятную форму уравнения, а именно: теоретический максимальный КПД теплового двигателя равен разнице температур между горячим и холодным резервуарами, деленной на абсолютную температуру горячего резервуара.. Глядя на эту формулу, становится очевидным интересный факт: понижение температуры холодного резервуара будет иметь большее влияние на максимальную эффективность теплового двигателя, чем повышение температуры горячего резервуара на ту же величину. В реальном мире этого может быть трудно достичь, поскольку холодный резервуар часто имеет существующую температуру окружающей среды.

Другими словами, максимальная эффективность достигается тогда и только тогда, когда в цикле не создается новая энтропия, что было бы так, например, если трение приводит к рассеиванию работы в тепло. В этом случае цикл необратим, и теорема Клаузиуса становится неравенством, а не равенством. В противном случае, поскольку энтропия является функцией состояния, необходимый сброс тепла в окружающую среду для утилизации избыточной энтропии приводит к (минимальному) снижению эффективности. Таким образом, уравнение 3дает эффективность любого реверсивного теплового двигателя.

. В мезоскопических тепловых двигателях работа за цикл работы обычно колеблется из-за теплового шума. Если цикл выполняется квазистатически, флуктуации исчезают даже на мезоуровне. Однако, если цикл выполняется быстрее, чем время релаксации рабочего тела, колебания работы неизбежны. Тем не менее, когда подсчитываются колебания работы и тепла, существует точное равенство, которое связывает экспоненциальное среднее значение работы, выполняемой любым тепловым двигателем, и теплопередачей от более горячей тепловой ванны.

КПД реальных тепловых двигателей

См. Также: КПД теплового двигателя и другие критерии эффективности

Карно понял, что в реальности невозможно построить термодинамически обратимый двигатель, поэтому настоящие тепловые двигатели даже менее эффективен, чем указано в уравнении 3. Кроме того, настоящие двигатели, которые работают в этом цикле, встречаются редко. Тем не менее, уравнение 3 чрезвычайно полезно для определения максимальной эффективности, которую можно ожидать от данного набора тепловых резервуаров.

Хотя цикл Карно является идеализацией, выражение эффективности Карно по-прежнему полезно. Рассмотрим средние температуры,

$⟨TH⟩\; =\; 1\; \Delta \; S\; \int \; Q\; в\; T\; d\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; T\_\; \{H\}\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; S\}\; \}\; \backslash \; int\; \_\; \{Q\_\; \{in\}\}\; TdS\}$

$⟨TC⟩\; =\; 1\; \Delta \; S\; \int \; Q\; out\; T\; d\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; T\_\; \{C\}\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; S\; \}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{Q\_\; \{out\}\}\; TdS\}$

, при котором тепло вводится и выводится соответственно. Замените T H и T C в уравнении (3) на ⟨T H ⟩ и ⟨T C ⟩ соответственно.

Для цикла Карно или его эквивалента среднее значение ⟨T H ⟩ будет равняться наивысшей доступной температуре, а именно T H и T <61.>C ⟩ наименьшее, а именно T C. Для других менее эффективных циклов T H ⟩ будет ниже, чем T H, а ⟨T C ⟩ будет выше, чем T C. Это может помочь проиллюстрировать, например, почему подогреватель или регенератор может улучшить тепловой КПД паровых электростанций - и почему тепловой КПД электростанций с комбинированным циклом (которые включают газовые турбины, работающие при еще более высоких температурах) превосходит обычные паровые установки. Первый прототип дизельного двигателя был основан на цикле Карно.

См. Также

• Тепловой двигатель Карно
• Обратимый процесс (термодинамика)

Ссылки

Примечания

1. ^Николас Джордано (13 февраля 2009 г.). Физика колледжа: рассуждения и отношения. Cengage Learning. п. 510. ISBN 978-0-534-42471-8.
2. ^Игнасио А. Мартинес; и другие. (6 января 2016 г.). «Броуновский двигатель Карно». Физика природы. С. 67–70.
3. ^Ченгель, Юнус А., Майкл А. Болес. Термодинамика: инженерный подход. 7 изд. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, 2011. стр. 299. Печать.
4. ^Голубец Виктор и Рябов Артем (2018). «Велоспорт сглаживает колебания мощности вблизи оптимальной эффективности». Phys. Rev. Lett. 121 (12): 120601. arXiv : 1805.00848. doi : 10.1103 / PhysRevLett.121.120601. PMID 30296120. S2CID 52943273.
5. ^N. А. Синицын (2011). «Колебательная зависимость для тепловых двигателей». J. Phys. A: Математика. Теор. 44 (40): 405001. arXiv : 1111.7014. Bibcode : 2011JPhA... 44N5001S. DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 44/40/405001. S2CID 119261929.

Источники

• Карно, Сади, Размышления о движущей силе огня
• Юинг, Дж. А. (1910) Пар- Engine and Other Engines издание 3, стр. 62, через Internet Archive
• Feynman, Richard P.; Лейтон, Роберт Б.; Пески, Мэтью (1963). Лекции Фейнмана по физике. Издательство Эддисон-Уэсли. С. Глава 44. ISBN 978-0-201-02116-5.
• Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт (1978). Физика (3-е изд.). Джон Вили и сыновья. стр. 541–548. ISBN 978-0-471-02456-9.
• Киттель, Чарльз ; Кремер, Герберт (1980). Теплофизика (2-е изд.). Компания W.H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1088-2.
• Костич, М. (2011). «Пересмотр второго закона деградации энергии и генерации энтропии: от гениальных рассуждений Сади Карно до целостного обобщения». AIP Conf. Proc. Материалы конференции AIP. 1411 : 327–350. CiteSeerX 10.1.1.405.1945. doi : 10.1063 / 1.3665247.Американский институт физики, 2011. ISBN 978-0-7354-0985-9. Резюме по адресу: [1]. Полная статья (24 страницы [2] ), также на [3].

Внешние ссылки

• Hyperphysics, статья о цикле Карно.
• Интерактивный Java-апплет показывает поведение двигателя Карно.
• S. М. Блиндер Цикл Карно на идеальном газе на основе Wolfram Mathematica