Лемма Кальдерона – Зигмунда

В математике лемма Кальдерона – Зигмунда является фундаментальным результатом в анализе Фурье, гармоническом анализе и сингулярные интегралы. Он назван в честь математиков Альберто Кальдерона и Антони Зигмунда.

Учитывая интегрируемую функцию f: R→ C, где R означает Евклидово пространство и C обозначают комплексные числа, лемма дает точный способ разбиения Rна два устанавливает : один, где f существенно мало; другой - счетный набор кубов, где f существенно велико, но при этом сохраняется некоторый контроль над функцией.

Это приводит к ассоциированному разложению Кальдерона – Зигмунда функции f, где f записывается как сумма «хороших» и «плохих» функций с использованием вышеуказанных наборов.

Содержание

• 1 Лемма о покрытии
• 2 Разложение Кальдерона – Зигмунда
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Лемма о покрытии

Пусть f: R→ Cинтегрируема, а α положительна постоянный. Тогда существует открытое множество Ω такое, что:

(1) Ω - несвязное объединение открытых кубов, Ω = ∪ kQk, такое, что для каждого Q k,

$\alpha \; \le \; 1\; m\; (Q\; k)\; \int \; Q\; k\; |\; f\; (x)\; |\; d\; x\; \le \; 2\; d\; \alpha .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\; (Q\_\; \{k\})\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{Q\_\; \{k\}\}\; |\; f\; (x)\; |\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; leq\; 2\; ^\; \{d\}\; \backslash \; alpha.\}$

(2) | f (x) | ≤ α почти всюду в дополнении F к Ω.

Разложение Кальдерона – Зигмунда

Учитывая f, как указано выше, мы можем записать f как сумму «хорошей» функции g и «плохой» функции b, f = г + б. Для этого мы определяем

$g\; (x)\; =\; \{f\; (x),\; x\; \in \; F,\; 1\; m\; (Q\; j)\; \int \; Q\; jf\; (t)\; dt,\; x\; \in \; Q\; j,\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; f\; (x),\; x\; \backslash \; in\; F,\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\; (Q\_\; \{j\})\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{Q\_\; \{j\}\}\; f\; (t)\; \backslash ,\; dt,\; x\; \backslash \; в\; Q\_\; \{j\},\; \backslash \; end\; \{case\}\}\}$

и пусть b = f - g. Следовательно, мы имеем, что

$b\; (x)\; =\; 0,\; x\; \in \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; (x)\; =\; 0,\; \backslash \; x\; \backslash \; in\; F\}$

$1\; m\; (Q\; j)\; \int \; Q\; jb\; (x)\; dx\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\; (Q\_\; \{j\})\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{Q\_\; \{j\}\}\; b\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0\}$

для каждого куба Q j.

Таким образом, функция b поддерживается в наборе кубов, где f может быть "большим", но имеет то полезное свойство, что ее среднее значение равно нулю на каждом из этих кубов. Между тем | g (x) | ≤ α для почти каждого x в F, и на каждом кубе в Ω g равно среднему значению f по этому кубу, которое по выбранному покрытию не больше 2α.

См. Также

• Сингулярные интегральные операторы типа свертки, для доказательства и применения леммы в одном измерении.

Ссылки

• Кальдерон А.П., Зигмунд, А. (1952), «О существовании некоторых сингулярных интегралов», Acta Math, 88 : 85–139 CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных, I. Теория распределений и анализ Фурье (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52343-X
• Stein, Элиас (1970). «Главы I – II». Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций. Princeton University Press.