C₀-полугруппа

редактировать

обобщение экспоненциальной функции

В математике C0-полугруппа, также известная как сильно непрерывная однопараметрическая полугруппа, является обобщением экспоненциальной функции. Так же, как экспоненциальные функции обеспечивают решения скалярных линейных постоянных коэффициентов обыкновенных дифференциальных уравнений, сильно непрерывные полугруппы обеспечивают решения линейных постоянных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Такие дифференциальные уравнения в банаховых пространствах возникают, например, из дифференциальные уравнения с запаздыванием и уравнения в частных производных.

Формально, сильно непрерывная полугруппа является представлением полугруппы (R+, +) на некотором банаховом пространстве X, которое непрерывна в сильной операторной топологии. Таким образом, строго говоря, сильно непрерывная полугруппа - это не полугруппа, а, скорее, непрерывное представление очень конкретной полугруппы.

Содержание

1 Формальное определение
2 Инфинитезимальный генератор
3 Равномерно непрерывная полугруппа
4 Абстрактные задачи Коши
5 Теоремы о порождении
6 Специальные классы полугрупп
- 6.1 Равномерно непрерывные полугруппы
- 6.2 Аналитические полугруппы
- 6.3 Стягивающие полугруппы
- 6.4 Дифференцируемые полугруппы
- 6.5 Компактные полугруппы
- 6.6 Нормальные непрерывные полугруппы
7 Стабильность
- 7.1 Экспоненциальная устойчивость
- 7.2 Сильная устойчивость
8 См. Также
9 Примечания
10 Ссылки

Формальное определение

A строго непрерывная полугруппа в банаховом пространстве $X {\ displaystyle X}$ $X$ - это карта $T: R + → L (X) {\ displaystyle T: \ mathbb {R} _ {+} \ to L (X)}$ $T: {\ mathbb {R}} _ {+} \ к L (X)$ такая, что

$T (0) = I {\ displaystyle T (0) = I}$ $T (0) = I$ , (оператор идентичности на $X {\ displaystyle X}$ $X$ )
$∀ t, s ≥ 0: T (T + s) знак равно T (T) T (s) {\ Displaystyle \ forall t, s \ geq 0: \ T (t + s) = T (t) T (s)}$ $\ forall t, s \ geq 0: \ T (t + s) = T (t) T (s)$
$∀ Икс 0 ∈ Икс: ‖ T (T) Икс 0 - Икс 0 ‖ → 0 {\ Displaystyle \ forall x_ {0} \ in X: \ \ | T (t) x_ {0} -x_ {0} \ | \ to 0}$ $\ forall x_ {0} \ in X: \ \ | T (t) x_ {0} -x_ {0} \ | \ до 0$ , как $t ↓ 0 {\ displaystyle t \ downarrow 0}$ $t \ стрелка вниз 0$ .

Первые две аксиомы являются алгебраическими и утверждают, что $T {\ displaystyle T}$ $T$ является представлением полугруппы $(R +, +) {\ displaystyle {( \ mathbb {R} _ {+}, +)}}$ ${\ displaystyle {(\ mathbb {R} _ { +}, +)}}$ ; последний является топологическим и утверждает, что отображение $T {\ displaystyle T}$ $T$ является непрерывным в сильной операторной топологии.

Генератор бесконечно малых

инфинитезимальный генератор A сильно непрерывной полугруппы T определяется как

A x = lim t ↓ 0 1 t (T (t) - I) x {\ displaystyle A \, x = \ lim _ {t \ downarrow 0} {\ frac {1} {t}} \, (T (t) -I) \, x}

A \, x = \ lim _ {{t \ downarrow 0}} {\ frac 1t} \, (T (t) -I) \, x

всякий раз, когда существует ограничение. Область определения A, D (A), - это множество x∈X, для которого существует этот предел; D (A) - линейное подпространство, и A линейно в этой области. Оператор A является замкнутым, хотя и не обязательно ограниченным, и область его определения плотна в X.

Сильно непрерывная полугруппа T с генератором A часто обозначается символ е. Это обозначение совместимо с обозначением для матричных экспонент и для функций оператора, определенных с помощью функционального исчисления (например, с помощью спектральной теоремы ).

Равномерно непрерывная полугруппа

Равномерно непрерывная полугруппа - это сильно непрерывная полугруппа T такая, что

lim t → 0 + ‖ T (t) - I ‖ = 0 {\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0 ^ {+}} \ | T (t) -I \ | = 0}

\ lim _ {{t \ to 0 ^ {+}}} \ | T (t) -I \ | = 0

выполняется. В этом случае инфинитезимальный генератор A оператора T ограничен, и мы имеем

D (A) = X {\ displaystyle {\ mathcal {D}} (A) = X}

{ \ mathcal {D}} (A) = X

T (t) = e A t: = ∑ k = 0 ∞ A kk! т к. {\ displaystyle T (t) = e ^ {At}: = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {k}} {k!}} t ^ {k}.}

T (t) = e ^ {{At}}: = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {k}} {k!}} t ^ {k}.

И наоборот, любой ограниченный оператор

A: X → X {\ displaystyle A \ двоеточие X \ to X}

A \ двоеточие X \ to X

является инфинитезимальным генератором равномерно непрерывной полугруппы, задаваемой

T (t): = e A t {\ displaystyle T (t): = e ^ {At}}

T(t):=e^{{At}}

Таким образом, линейный оператор A является бесконечно малым генератором равномерно непрерывной полугруппы тогда и только тогда, когда A - ограниченный линейный оператор. Если X - конечномерное банахово пространство, то любая сильно непрерывная полугруппа является равномерно непрерывной полугруппой. Для сильно непрерывной полугруппы, не являющейся равномерно непрерывной полугруппой, инфинитезимальный генератор A не ограничен. В этом случае $e A t {\ displaystyle e ^ {At}}$ $e ^ {{At}}$ не нужно сходиться.

Абстрактные задачи Коши

Рассмотрим абстрактную задачу Коши :

u ′ (t) = A u (t), u (0) = x, {\ displaystyle u ' (t) = Au (t), ~~~ u (0) = x,}

u'(t)=Au(t),~~~u(0)=x,

, где A - замкнутый оператор на банаховом пространстве X и x∈X. Существуют две концепции решения этой задачи:

непрерывно дифференцируемая функция u: [0, ∞) → X называется классическим решением задачи Коши, если u (t) ∈ D (A) для всех t>0 и удовлетворяет задаче начального значения,
непрерывная функция u: [0, ∞) → X называется мягким решением задачи Коши, если

∫ 0 tu (s) ds ∈ D (A) и A ∫ 0 tu (s) ds = u (t) - x. {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} u (s) \, ds \ in D (A) {\ text {and}} A \ int _ {0} ^ {t} u (s) \, ds = u (t) -x.}

\ int _ {0} ^ {t} u (s) \, ds \ in D (A) {\ text {and}} A \ int _ {0} ^ {t} u (s) \, ds = u (t) -x.

Любое классическое решение - это мягкое решение. Мягкое решение является классическим тогда и только тогда, когда оно непрерывно дифференцируемо.

Следующая теорема связывает абстрактные задачи Коши и сильно непрерывные полугруппы.

Теорема Пусть A - замкнутый оператор в банаховом пространстве X. Следующие утверждения эквивалентны:

для всех x∈X существует единственное мягкое решение абстрактной задачи Коши,
оператор A порождает сильно непрерывную полугруппу,
резольвентное множество оператора A непусто и для всех x ∈ D (A) существует единственное классическое решение задачи Коши.

Когда эти утверждения верны, решение задачи Коши дается формулой u (t) = T (t) x с T сильно непрерывной полугруппой, порожденной A.

Теоремы о порождении

В связи с задачами Коши обычно задается линейный оператор A, и вопрос заключается в том, является ли он генератором сильно непрерывной полугруппы. Теоремы, отвечающие на этот вопрос, называются теоремами порождения . Полную характеристику операторов, порождающих сильно непрерывные полугруппы, дает теорема Хилле – Иосиды. Однако более практическое значение имеют гораздо более легкие для проверки условия, указанные в теореме Люмера – Филлипса.

Специальные классы полугрупп

Равномерно непрерывные полугруппы

Сильно непрерывная полугруппа T является называется равномерно непрерывным, если отображение t → T (t) непрерывно из [0, ∞) в L (X).

Генератором равномерно непрерывной полугруппы является ограниченный оператор.

Аналитические полугруппы

Стягивающие полугруппы

Дифференцируемые полугруппы

Сильно непрерывная полугруппа T называется окончательно дифференцируемой, если существует в 0>0 такая, что T (t 0) X⊂D (A) (эквивалентно: T (t) X ⊂ D (A) для всех t ≥ t 0) и T сразу дифференцируемо, если T (t) X ⊂ D (A) для всех t>0.

Всякая аналитическая полугруппа немедленно дифференцируема.

Эквивалентная характеризация в терминах задач Коши следующая: сильно непрерывная полугруппа, порожденная A, в конечном итоге дифференцируема тогда и только тогда, когда существует 1 ≥ 0 такое, что для всех x ∈ X решение u абстрактной задачи Коши дифференцируемо на (t 1, ∞). Полугруппа сразу дифференцируема, если t 1 можно выбрать равным нулю.

Компактные полугруппы

Сильно непрерывная полугруппа T называется в конечном итоге компактной, если существует в 0>0 такая, что T (t 0) является компактным оператором (эквивалентно, если T (t) является компактным оператором для всех t ≥ t 0). Полугруппа называется непосредственно компактной, если T (t) - компактный оператор для всех t>0.

Нормально-непрерывные полугруппы

Сильно непрерывная полугруппа называется в конечном итоге непрерывной по норме, если существует в 0 ≥ 0 такое, что отображение t → T (t) непрерывно от (t 0, ∞) до L (X). Полугруппа называется непрерывной по норме, если t 0 может быть выбрано равным нулю.

Обратите внимание, что для полугруппы, непрерывной непосредственно по норме, отображение t → T (t) может не быть непрерывным в t = 0 (что сделало бы полугруппу равномерно непрерывной).

Аналитические полугруппы, (в конечном итоге) дифференцируемые полугруппы и (в конечном итоге) компактные полугруппы - все в конечном итоге непрерывны по норме.

Стабильность

Экспоненциальная устойчивость

границей роста полугруппы T является константа

ω 0 = inf t>0 1 t log ⁡ ‖ T (t) ‖. {\ displaystyle \ omega _ {0} = \ inf _ {t>0} {\ frac {1} {t}} \ log \ | T (t) \ |.}

\omega _{0}=\inf _{{t>0}} { \ frac 1t} \ log \ | T (t) \ |.

Это так называется, так как это число также является точной нижней гранью всех действительных чисел ω, таких что существует постоянная M (≥ 1) с

‖ T (t) ‖ ≤ M e ω t {\ displaystyle \ | T (t) \ | \ leq Me ^ {\ omega t}}

\ | T (t) \ | \ leq Me ^ {{\ omega t}}

для всех t ≥ 0.

Следующие утверждения эквивалентны:

Существуют M, ω>0 такое, что для всех t ≥ 0: $‖ T (t) ‖ ≤ M e - ω t, {\ displaystyle \ | T (t) \ | \ leq M {\ rm {e}} ^ {- \ omega t},}$ $\ | T (t) \ | \ leq M {{\ rm {e}}} ^ {{- \ omega t}},$
Оценка роста отрицательна: ω 0< 0,
Полугруппа сходится к нулю в равномерной операторной топологии : $lim t → ∞ ‖ T (t) ‖ = 0 {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} \ | T (t) \ | = 0}$ $\ lim _ {{t \ to \ infty}} \ | T (t) \ | = 0$ ,
Существует в 0>0 такое, что $‖ T (t 0) ‖ < 1 {\displaystyle \|T(t_{0})\|<1}$ $\ | T (t_ {0}) \ | <1$ ,
Существует в 1>0 такое, что спектральный радиус T (t 1) строго мал больше 1,
Существует ap ∈ [1, ∞) такое, что для всех x∈X: $∫ 0 ∞ ‖ T (t) x ‖ pdt < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty }$ $\ int _ {0} ^ {\ infty} \ | T (t) x \ | ^ {p} \, dt <\ infty$ ,
Для всех p ∈ [1, ∞) и всех x ∈ X: $∫ 0 ∞ ‖ T (t) x ‖ pdt < ∞. {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty.}$ $\ int _ {0} ^ {\ infty} \ | T (t) x \ | ^ {p} \, dt <\ infty.$

Полугруппа, удовлетворяющая этим эквивалентным условиям, называется экспоненциально устойчивой или равномерно устойчивой (любое из первых трех из приведенных выше утверждений используется в качестве определения в определенных частях литературы). Эквивалентность условий L экспоненциальной устойчивости называется теоремой Датко-Пази .

. В случае, если X является гильбертовым пространством, существует другое условие, эквивалентное экспоненциальной устойчивости в терминах резольвентный оператор генератора: все λ с положительной действительной частью принадлежат резольвентному множеству A, а резольвентный оператор равномерно ограничен в правой полуплоскости, т.е. (λI - A) принадлежит Hardy пробел $ЧАС ∞ (C +; L (X)) {\ displaystyle H ^ {\ infty} (\ mathbb {C} _ {+}; L (X))}$ $H ^ {\ infty} ({\ mathbb { C}} _ {+}; L (X))$ . Это называется теоремой Герхарта-Прусса .

Спектральной границей оператора A является константа

s (A): = sup {R e λ: λ ∈ σ (A)} {\ displaystyle s (A): = \ sup \ {{\ rm {Re}} \, \ lambda: \ lambda \ in \ sigma (A) \}}

{\ displaystyle s (A): = \ sup \ {{\ rm {Re}} \, \ lambda: \ lambda \ in \ sigma (A) \}}

с условием, что s (A) = −∞, если спектр оператора A пуст.

Граница роста полугруппы и спектральная граница ее генератора связаны соотношением: s (A) ≤ω 0 (T). Есть примеры, когда s (A) < ω0(T). Если s (A) = ω 0 (T), то говорят, что T удовлетворяет спектрально определенному условию роста. В конце концов, непрерывные по норме полугруппы удовлетворяют условию спектрально детерминированного роста. Это дает другую эквивалентную характеристику экспоненциальной устойчивости для этих полугрупп:

Конечная непрерывная по норме полугруппа экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда s (A) < 0.

Обратите внимание, что в конечном итоге компактные, в конечном итоге дифференцируемые, аналитические и равномерно непрерывные полугруппы в конечном итоге становятся непрерывна по норме, так что условие спектрально детерминированного роста выполняется, в частности, для этих полугрупп.

Сильная устойчивость

Сильно непрерывная полугруппа T называется сильно устойчивой или асимптотически устойчивой, если для всех x ∈ X: $lim t → ∞ ‖ T (t) x ‖ знак равно 0 {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} \ | T (t) x \ | = 0}$ $\ lim _ {{t \ to \ infty}} \ | T (t) x \ | = 0$ .

Экспоненциальная стабильность подразумевает сильную стабильность, но обратное - не в общем случае верно, если X бесконечномерно (это верно для X конечномерно).

Следующее достаточное условие сильной устойчивости называется теоремой Арендта – Бэтти – Любича – Фонга : Предположим, что

T ограничено: существует M ≥ 1 такое, что $‖ T (t) ‖ ≤ M {\ displaystyle \ | T (t) \ | \ leq M}$ $\ | T (t) \ | \ leq M$ ,
A не имеет остаточного спектра на мнимой оси и
Спектр A, расположенный на мнимой оси, счетный.

Тогда T сильно устойчив.

Если X рефлексивно, то условия упрощаются: если T ограничено, A не имеет собственных значений на мнимой оси и спектр A, расположенный на мнимой оси, является счетным, то T сильно устойчив.

См. Также

Примечания

Ссылки

Э. Хилле, Р.С. Филлипс: Функциональный анализ и полугруппы. Американское математическое общество, 1975.
Р. Ф. Занавес, Х. Дж. Цварт: Введение в теорию бесконечномерных линейных систем. Springer Verlag, 1995.
Э.Б. Дэвис : Однопараметрические полугруппы (монографии L.M.S.), Academic Press, 1980, ISBN 0-12-206280-9.
Engel, Klaus-Jochen; Нагель, Райнер (2000), Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений, Springer
Arendt, Wolfgang; Бэтти, Чарльз; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2001), Векторнозначные преобразования Лапласа и задачи Коши, Биркхаузер
Стаффанс, Олоф (2005), Правильные линейные системы, Cambridge University Press
Луо, Чжэн-Хуа; Го, Бао-Чжу; Моргул, Омер (1999), Стабильность и стабилизация бесконечномерных систем с приложениями, Springer
Партингтон, Джонатан Р. (2004), Линейные операторы и линейные системы, Лондонское математическое общество Студенческие тексты, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54619-2