Теорема Бореля – Каратеодори

В математике, теорема Бореля – Каратеодори в комплексе Анализ показывает, что аналитическая функция может быть ограничена своей действительной частью. Это применение принципа максимального модуля. Он назван в честь Эмиля Бореля и Константина Каратеодори.

Пусть функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$будет аналитически на замкнутом диске радиуса R с центром в исходной точке. Предположим, что r < R. Then, we have the following inequality:

$\Vert \; f\; \Vert \; r\; \le \; 2\; r\; R\; -\; r\; sup\; |\; z\; |\; \le \; R\; Re\; \; f\; (z)\; +\; R\; +\; r\; R\; -\; r\; |\; f\; (0)\; |.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; |\; е\; \backslash \; |\; \_\; \{r\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{2r\}\; \{Rr\}\}\; \backslash \; sup\; \_\; \{|\; z\; |\; \backslash \; leq\; R\}\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; f\; (z)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\; +\; r\}\; \{Rr\}\}\; |\; f\; (0)\; |.\}$

Здесь норма в левой части обозначает максимальное значение f в замкнутом диске:

$\Vert \; f\; \Vert \; r\; =\; max\; |\; z\; |\; \le \; r\; |\; f\; (z)\; |\; =\; макс\; |\; z\; |\; =\; r\; |\; f\; (z)\; |\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; |\; е\; \backslash \; |\; \_\; \{r\}\; =\; \backslash \; max\; \_\; \{|\; z\; |\; \backslash \; leq\; r\}\; |\; f\; (z)\; |\; =\; \backslash \; max\; \_\; \{|\; z\; |\; =\; r\}\; |\; f\; (z)\; |\}$

(где последнее равенство обусловлено принципом максимума модуля).

Определите A как

$A\; =\; sup\; |\; z\; |\; \le \; R\; Re\; \; f\; (z).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{|\; z\; |\; \backslash \; leq\; R\}\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; f\; (z).\}$

Если f константа, неравенство тривиально, так как $(R\; +\; r)\; /\; (\; R\; -\; r)>1\; \{\backslash \; displaystyle\; (R\; +\; r)\; /\; (Rr)>1\}$, поэтому мы можем предположить, что f непостоянно. Сначала пусть f (0) = 0. Поскольку Re f гармоническое, Re f (0) равно равняется среднему значению его значений вокруг любого круга с центром в 0. То есть

$Re\; \; f\; (0)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; |\; z\; |\; =\; R\; Re\; \; f\; (z)\; dz.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{\; Re\}\; f\; (0)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{|\; z\; |\; =\; R\}\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; f\; (z)\; dz.\}$

Поскольку f является аналитическим и непостоянным, у нас есть, что Re f также непостоянно. Поскольку Re f (0) = 0, мы должны иметь Re $f\; (z)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)>0\}$для некоторых z в круге $|\; z\; |\; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; z\; |\; =\; R\}$, поэтому мы можем взять $A>0\; \{\backslash \; displaystyle\; A>0\}$. Теперь f отображается в полуплоскость P слева от x = Линия. Грубо говоря, наша цель - отобразить эту полуплоскость на диск, применить там лемму Шварца и разобрать указанное неравенство.

$w\; \mapsto \; w\; /\; A\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash \; mapsto\; w\; /\; A-1\}$отправляет P в стандартную левую полуплоскость. $w\; \mapsto \; R\; (w\; +\; 1)\; /\; (w\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash \; mapsto\; R\; (w\; +1)\; /\; (w-1)\}$отправляет левую полуплоскость в круг радиуса R с центром в начале координат. Составное изображение, которое отображает 0 в 0, является желаемой картой:

$w\; \mapsto \; R\; ww\; -\; 2\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; frac\; \{Rw\}\; \{w-2A\}\}.\}$

Из леммы Шварца, примененной к композиции этой карты и f, мы имеем

$|\; R\; е\; (z)\; |\; |\; е\; (z)\; -\; 2\; A\; |\; \le \; |\; z\; |.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{|\; Rf\; (z)\; |\}\; \{|\; f\; (z)\; -2A\; |\}\}\; \backslash \; leq\; |\; z\; |.\}$

Возьмем | z | ≤ r. Ab ове становится

$R\; |\; f\; (z)\; |\; \le \; r\; |\; f\; (z)\; -\; 2\; A\; |\; \le \; r\; |\; f\; (z)\; |\; +\; 2\; A\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; |\; f\; (z)\; |\; \backslash \; leq\; r\; |\; f\; (z)\; -2A\; |\; \backslash \; leq\; r\; |\; f\; (z)\; |\; +\; 2Ar\}$

так

$|\; f\; (z)\; |\; \le \; 2\; A\; r\; R\; -\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; f\; (z)\; |\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{2Ar\}\; \{R-r\}\}\}$,

как заявлено. В общем случае мы можем применить вышеизложенное к f (z) -f (0):

$|\; f\; (z)\; |\; -\; |\; f\; (0)\; |\; \le \; |\; f\; (z)\; -\; f\; (0)\; |\; \le \; 2\; r\; R\; -\; r\; sup\; |\; w\; |\; \le \; р\; Re\; \; (е\; (ш)\; -\; е\; (0))\; \le \; 2\; р\; р\; -\; г\; (sup\; |\; ш\; |\; \le \; R\; Re\; \; е\; (ш)\; +\; |\; е\; (0)\; |),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; выровнено\}\; |\; f\; (z)\; |\; -\; |\; f\; (0)\; |\; \backslash \; leq\; |\; f\; (z)\; -f\; (0)\; |\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{2r\}\; \{Rr\}\}\; \backslash \; sup\; \_\; \{|\; w\; |\; \backslash \; leq\; R\}\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; (f\; (w)\; -f\; (0))\; \backslash \backslash \; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{2r\}\; \{Rr\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sup\; \_\; \{|\; w\; |\; \backslash \; leq\; R\}\; \backslash \; operatorname\; \{\; Re\}\; f\; (w)\; +\; |\; f\; (0)\; |\; \backslash \; right),\; \backslash \; end\; \{выравнивание\}\}\}$

, которое при перегруппировке дает утверждение.

• Лэнг, Серж (1999). Комплексный анализ (4-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
• Титчмарш, Э. К. (1938). Теория функций. Oxford University Press.