Лемма Бореля

В математике, лемма Бореля, названная в честь Борель, является важным результатом, используемый в теории асимптотических разложений и дифференциальных уравнений в частных.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Заявление
• 2 Доказательство
• 3 См. Также
• 4 ссылки

Заявление

Предположим, что U является открытое множество в евклидовом пространстве R ^п, и предположим, что п 0, е 1,... является последовательность из гладких функций на U.

Если I - любой открытый интервал в R, содержащий 0 (возможно, I = R), то существует гладкая функция F ( t, x), определенная на I × U, такая, что

${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial ^ {k} F} {\ partial t ^ {k}}} \ right | _ {(0, x)} = f_ {k} (x),}$

для K ≥ 0 и х в U.

Доказательство

Доказательства леммы Бореля можно найти во многих учебниках по анализу, включая Golubitsky amp; Guillemin (1974) и Hörmander (1990), из которых заимствовано приведенное ниже доказательство.

Заметим, что достаточно доказать результат для малого интервала I = (- ε, ε), так как если ψ ( t) - гладкая выпуклая функция с компактным носителем в (- ε, ε), равная тождественно 1 вблизи 0, то ψ ( т) ⋅ Р ( т, х) дает решение на R × U. Точно так же с помощью гладкого разбиения единицы на R ^п подчиненное покрытию с помощью открытых шаров с центрами в amp; delta ; ⋅ Z ^п, можно считать, что все е м имеют компактный носитель в некотором фиксированном замкнутом шаре С. Для каждого m пусть

${\ displaystyle F_ {m} (t, x) = {t ^ {m} \ over m!} \ cdot \ psi \ left ({t \ over \ varepsilon _ {m}} \ right) \ cdot f_ {m }(Икс),}$

где ε m выбрано достаточно малым, чтобы

${\ displaystyle \ | \ partial ^ {\ alpha} F_ {m} \ | _ {\ infty} \ leq 2 ^ {- m}}$

для | α | lt; м. Из этих оценок следует, что каждая сумма

${\ Displaystyle \ сумма _ {м \ geq 0} \ partial ^ {\ alpha} F_ {m}}$

сходится равномерно и, следовательно,

${\ Displaystyle F = \ сумма _ {м \ geq 0} F_ {m}}$

является гладкой функцией с

${\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} F = \ sum _ {m \ geq 0} \ partial ^ {\ alpha} F_ {m}.}$

По конструкции

${\ displaystyle \ partial _ {t} ^ {m} F (t, x) | _ {t = 0} = f_ {m} (x).}$

Примечание. Точно такую ​​же конструкцию можно применить без вспомогательного пространства U, чтобы получить гладкую функцию на интервале I, для которой производные в 0 образуют произвольную последовательность.

Смотрите также

• Неаналитическая гладкая функция § Приложение к ряду Тейлора

использованная литература

• Erdélyi, A. (1956), Асимптотические разложения, Dover Publications, стр. 22–25, ISBN.   0486603180
• Голубицкий, М. ; Гийемен В. (1974), Стабильные отображения и их особенности, Тексты для выпускников по математике, 14, Springer-Verlag, ISBN   0-387-90072-1
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных, I. Теория распределений и анализ Фурье (2-е изд.), Springer-Verlag, p. 16, ISBN   3-540-52343-X

Эта статья включает материал из леммы Бореля о PlanetMath, которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.