Уравнение состояния Берча – Мурнагана

Изотермический комплекс Берча – Мурнагана Уравнение состояния, опубликованное в 1947 году Альбертом Фрэнсисом Берчем из Гарварда, представляет собой соотношение между объемом тела и давлением, которому оно подвергается. Берч предложил это уравнение на основе работы Фрэнсиса Доминика Мурнагана из Университета Джона Хопкинса, опубликованной в 1944 году, так что уравнение названо в честь обоих ученых.

Изотермическое уравнение состояния Берча – Мурнагана третьего порядка имеет вид

$P\; (V)\; =\; 3\; B\; 0\; 2\; [(V\; 0\; V)\; 7\; 3\; -\; (V\; 0\; V)\; 5\; 3]\; \{1\; +\; 3\; 4\; (B\; 0\; \prime \; -\; 4)\; [(V\; 0\; V)\; 2\; 3\; -\; 1]\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (V)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3B\_\; \{0\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{0\}\}\; \{V\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{3\}\}\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{0\}\}\; \{V\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; \backslash \; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (B\_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; -4\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{0\}\}\; \{V\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right]\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

где P - давление, V 0 - эталонный объем, V - деформированный объем, B 0 представляет собой модуль объемного сжатия, а B 0 'представляет собой производную модуля объемного сжатия по давлению. Объемный модуль упругости и его производная обычно получают из подгонки к экспериментальным данным и определяются как

$B\; 0\; =\; -\; V\; (\partial \; P\; \partial \; V)\; P\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{0\}\; =\; -\; V\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; гидроразрыв\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; V\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{P\; =\; 0\}\}$

и

$B\; 0\; \prime \; =\; (\partial \; B\; \partial \; P)\; P\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{0\}\; \text{'}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; B\}\; \{\backslash \; partial\; P\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{P\; =\; 0\}\}$

Выражение для уравнения состояния получается разложением свободной энергии f в виде ряд:

$f\; =\; 1\; 2\; [(VV\; 0)\; -\; 2\; 3\; -\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{V\}\; \{V\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \}\; -1\; \backslash \; right]\; \backslash ,.\}$

Внутренняя энергия E (V) находится интегрированием давления:

$E\; (V)\; =\; E\; 0\; +\; 9\; V\; 0\; B\; 0\; 16\; \{[(\; V\; 0\; V)\; 2\; 3\; -\; 1]\; 3\; B\; 0\; \prime \; +\; [(V\; 0\; V)\; 2\; 3\; -\; 1]\; 2\; [6\; -\; 4\; (V\; 0\; V)\; 2\; 3]\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; (V)\; =\; E\_\; \{0\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{9V\_\; \{0\}\; B\_\; \{0\}\}\; \{16\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{0\}\}\; \{\; V\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right]\; ^\; \{3\}\; B\_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; +\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{0\})\; \}\; \{V\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right]\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; [6-4\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{0\}\}\; \{V\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

• Альберт Фрэнсис Берч
• Фрэнсис Доминик Мурнаган
• Уравнение состояния Мурнагана

• ^Берч, Фрэнсис (1947). «Конечная упругая деформация кубических кристаллов». Физический обзор. 71 (11): 809–824. Bibcode : 1947PhRv... 71..809B. doi : 10.1103 / PhysRev.71.809.
• ^Мурнаган, Ф. Д. (1944). «Сжимаемость среды при экстремальных давлениях». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 30 (9): 244–247. Bibcode : 1944PNAS... 30..244M. DOI : 10.1073 / pnas.30.9.244. JSTOR 87468. PMC 1078704. PMID 16588651.