Бирациональная геометрия

редактировать
Круг круг бирационально эквивалентен строке . Одна бирациональная карта между ними - это стереографическая проекция, изображенная здесь.

В математике, бирациональная геометрия - это область алгебраической геометрии в котором цель состоит в том, чтобы определить, когда два алгебраических многообразия изоморфны вне подмножеств меньшей размерности. Это равносильно изучению отображений, которые задаются рациональными функциями, а не полиномами; карта может не быть определена там, где рациональные функции имеют полюсы.

Содержание

  • 1 Бирациональные отображения
    • 1.1 Рациональные отображения
    • 1.2 Бирациональные отображения
    • 1.3 Бирациональная эквивалентность и рациональность
      • 1.3.1 Бирациональная эквивалентность плоской коники
      • 1.3.2 Бирациональная эквивалентность гладких квадрик и P
        • 1.3.2.1 Бирациональная эквивалентность квадратичной поверхности
  • 2 Минимальные модели и разрешение особенностей
  • 3 Бирациональные инварианты
    • 3.1 Plurigenera
    • 3.2 Размерность Кодаира
    • 3.3 Слагаемые of Ω и некоторые числа Ходжа
    • 3.4 Фундаментальная группа гладких проективных многообразий
  • 4 Минимальные модели в высших размерностях
  • 5 Одномерные многообразия
  • 6 Бирациональные группы автоморфизмов
  • 7 См. Также
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки

Бирациональные карты

Рациональные карты

A рациональные карты из одной разновидности (понимаются как неприводимые ) X {\ displaystyle X}X к другой разновидности Y {\ displaystyle Y}Y , записанное пунктирной стрелкой X - - → Y {\ displaystyle X - \ to Y}{\ displaystyle X - \ to Y} , определяется как морфизм из nonmpt y открытое подмножество U ⊂ X {\ displaystyle U \ subset X}U \ subset X to Y {\ displaystyle Y}Y . По определению топологии Зарисского, используемой в алгебраической геометрии, непустое открытое подмножество U {\ displaystyle U}U всегда плотно в X {\ displaystyle X}X , фактически дополнение к подмножеству более низкой размерности. Конкретно, рациональную карту можно записать в координатах с использованием рациональных функций.

Бирациональные отображения

A бирациональное отображение из X в Y - это рациональное отображение f: X ⇢ Y такое, что существует рациональное отображение Y ⇢ X, обратное f. Бирациональное отображение индуцирует изоморфизм непустого открытого подмножества X в непустое открытое подмножество Y. В этом случае X и Y называются бирациональными или бирационально эквивалентными . В алгебраических терминах два многообразия над полем k бирациональны тогда и только тогда, когда их функциональные поля изоморфны как поля расширения k.

Частным случаем является бирациональный морфизм f: X → Y, означающий бирациональный морфизм. То есть f определено везде, но обратное ему может не быть. Обычно это происходит из-за того, что бирациональный морфизм стягивает некоторые подмногообразия X в точки Y.

Бирациональная эквивалентность и рациональность

Многообразие X называется рациональным, если бирационально аффинное пространство (или, что эквивалентно, проективное пространство ) некоторой размерности. Рациональность - это очень естественное свойство: это означает, что X за вычетом некоторого подмножества более низкой размерности можно отождествить с аффинным пространством за вычетом некоторого подмножества более низкой размерности.

Бирациональная эквивалентность плоской коники

Например, окружность X {\ displaystyle X}X с уравнением x 2 + y 2 - 1 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0} в аффинной плоскости является рациональной кривой, потому что существует рациональное отображение f: A 1 { \ displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}{\ mathbb {A}} ^ {1} ⇢ X, заданный как

f (t) = (2 t 1 + t 2, 1 - t 2 1 + t 2), {\ displaystyle f (t) = \ left ({\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} \ right),}{\ displaystyle f (t) = \ left ({\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}), {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} \ right),}

который имеет рациональный обратный g: X ⇢ A 1 {\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}{\ mathbb {A}} ^ {1} , заданный как

g (x, y) = 1 - ух. {\ displaystyle g (x, y) = {\ frac {1-y} {x}}.}{\ displaystyle g (x, y) = {\ frac {1-y} {x}}.}

Применение карты f с ta рациональным числом дает систематическое построение пифагорейского тройки.

рациональная карта f {\ displaystyle f}f не определена в локусе, где 1 + t 2 = 0 {\ displaystyle 1 + t ^ {2} = 0 }{\ displaystyle 1 + t ^ { 2} = 0} . Итак, в сложной аффинной строке AC 1 {\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {1}}{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {1}} , f {\ displaystyle f}f является морфизм на открытом подмножестве U = AC 1 - {i, - i} {\ displaystyle U = \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {1} - \ {i, -i \} }{\ displaystyle U = \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {1} - \ {i, -i \}} , е: U → X {\ displaystyle f: U \ to X}f: U \ to X . Аналогичным образом, рациональное отображение g: X ⇢ A 1 {\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}{\ mathbb {A}} ^ {1} не определено в точке (0, - 1) {\ displaystyle (0, -1)}(0, -1) в X {\ displaystyle X}X .

Бирациональная эквивалентность гладких квадрик и P

В более общем смысле, гладкая квадрика (степень 2) гиперповерхность X любой размерности n является рациональной по стереографической проекции. (Для X квадрики над полем k, следует предполагать, что X имеет k-рациональную точку ; это автоматически, если k алгебраически замкнуто.) Чтобы определить стереографическую проекцию, пусть p будет точкой в ​​X. Затем дается бирациональное отображение из X в проективное пространство P n {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}\ mathbb {P} ^ {n} прямых, проходящих через p, путем передачи точки q в X в линия через p и q. Это бирациональная эквивалентность, но не изоморфизм многообразий, потому что она не может быть определена там, где q = p (и обратное отображение не может быть определено на тех прямых через p, которые содержатся в X).

Бирациональная эквивалентность квадратичной поверхности

Вложение Сегре дает вложение P 1 × P 1 → P 3 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ { 1} \ times \ mathbb {P} ^ {1} \ to \ mathbb {P} ^ {3}}{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} \ times \ mathbb {P} ^ {1} \ to \ mathbb {P} ^ {3}} задано как

([x, y], [z, w]) ↦ [xz, xw, yz, yw]. {\ displaystyle ([x, y], [z, w]) \ mapsto [xz, xw, yz, yw].}{\ displaystyle ([x, y], [z, w]) \ mapsto [xz, xw, yz, yw].}

Изображение представляет собой поверхность квадрики x 0 x 3 = x 1 x 2 {\ displaystyle x_ {0} x_ {3} = x_ {1} x_ {2}}{\ displaystyle x_ {0} x_ {3} = x_ {1} x_ {2}} в P 3 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}{\ mathbb {P} } ^ {3} . Это дает еще одно доказательство того, что эта квадратичная поверхность рациональна, поскольку P 1 × P 1 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} \ times \ mathbb {P} ^ {1}}{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} \ times \ mathbb {P} ^ {1}} очевидно рационально, имея открытое подмножество, изоморфное A 2 {\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {2}}{\ mathbb {A}} ^ {2} .

Минимальные модели и разрешение особенностей

Каждое алгебраическое многообразие бирационально проективное многообразие (лемма Чоу ). Итак, для целей бирациональной классификации достаточно работать только с проективными многообразиями, и это обычно наиболее удобная установка.

Гораздо глубже теорема Хиронаки 1964 года о разрешении сингулярностей : над полем характеристики 0 (например, комплексные числа) каждое разнообразие бирационально гладкое проективное многообразие. При этом достаточно классифицировать гладкие проективные многообразия с точностью до бирациональной эквивалентности.

Если в размерности 1 две гладкие проективные кривые бирациональны, то они изоморфны. Но это не удается в измерении по крайней мере 2 из-за конструкции , увеличивающей. Раздуваясь, каждое гладкое проективное многообразие размерности не менее 2 становится бирациональным по отношению к бесконечному множеству «больших» многообразий, например с большими числами Бетти.

. Это приводит к идее минимальных моделей : есть ли единственное простейшее многообразие в каждом классе бирациональной эквивалентности? Современное определение состоит в том, что проективное многообразие X является минимальным, если каноническое линейное расслоение KXимеет неотрицательную степень на каждой кривой в X; другими словами, K X равно nef. Легко убедиться, что раздутые разновидности никогда не бывают минимальными.

Это понятие отлично работает для алгебраических поверхностей (разновидности размерности 2). Говоря современным языком, одним из центральных результатов итальянской школы алгебраической геометрии 1890–1910 гг., Являющейся частью классификации поверхностей, является то, что каждая поверхность X бирациональна либо по отношению к произведению P 1 × C {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} \ times C}{\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} \ times C} для некоторой кривой C или минимальной поверхности Y. Два случая взаимоисключающие, а Y уникален если он существует. Когда Y существует, это называется минимальной моделью X.

Бирациональные инварианты

Во-первых, неясно, как показать, что существуют какие-либо алгебраические многообразия, которые не рациональны. Чтобы доказать это, потребуются некоторые бирациональные инварианты алгебраических многообразий. Бирациональный инвариант - это любое число, кольцо и т. Д., Которое является одинаковым или изоморфным для всех бирационально эквивалентных многообразий.

Плюрироды

Один полезный набор бирациональных инвариантов - это плюрироды. каноническое расслоение гладкого многообразия X размерности n означает линейное расслоение n-форм K X = Ω, которое является n-м внешним степень котангенсного пучка X. Для целого числа d d-я тензорная степень K X снова является линейным пучком. При d ≥ 0 векторное пространство глобальных сечений H (X, K X) обладает замечательным свойством: бирациональное отображение f: X ⇢ Y между гладкими проективными многообразиями индуцирует изоморфизм H (X, K X) ≅ H (Y, K Y).

Для d ≥ 0 определите dth plurigenus Pdкак размерность векторного пространства H (X, K X); тогда плюригены являются бирациональными инвариантами гладких проективных многообразий. В частности, если любое плюригенус P d с d>0 не равно нулю, то X нерационально.

Размерность Кодаиры

Фундаментальным бирациональным инвариантом является измерение Кодаира, которое измеряет рост плюриродов P d, когда d стремится к бесконечности. Измерение Кодаира делит все разновидности размерности n на n + 2 типа с размерностью Кодаиры −∞, 0, 1,... или n. Это мера сложности многообразия с проективным пространством, имеющим размерность Кодаиры −∞. Наиболее сложными являются разновидности с Размерность Кодаира, равная их размерности n, называется разновидностями общий тип.

Слагаемые Ω и некоторые числа Ходжа

В более общем смысле, для любого натурального слагаемого

E (Ω 1) = ⨂ k Ω 1 {\ displaystyle E (\ Omega ^ { 1}) = \ bigotimes ^ {k} \ Omega ^ {1}}{\ displaystyle E (\ Omega ^ {1}) = \ bigotimes ^ {k} \ Omega ^ {1}}

r-й тензорной степени кокасательного расслоения Ω при r ≥ 0, векторное пространство глобальных сечений H (X, E (Ω)) является бирациональным инвариантом для гладких проективных многообразий. В частности, числа Ходжа

hp, 0 = H 0 (X, Ω p) {\ displaystyle h ^ {p, 0} = H ^ {0} (X, \ Omega ^ {p}) }{\ displaystyle h ^ {p, 0} = H ^ {0} (X, \ Omega ^ {p})}

являются бирациональными инвариантами X. (Большинство других чисел Ходжа h не являются бирациональными инвариантами, как показано на увеличении.)

Фундаментальная группа гладких проективных многообразий

фундаментальная группа π1(X) является бирациональным инвариантом для гладких комплексных проективных многообразий.

«Теорема о слабой факторизации», доказанная Абрамовичем, Кару, Мацуки и Влодарчиком (2002), гласит, что любое бирациональное отображение между двумя гладкими комплексными проективными многообразиями можно разложить на конечное число раздутия или раздутие гладких подвидов. Это важно знать, но все же может быть очень трудно определить, являются ли два гладких проективных многообразия бирациональными.

Минимальные модели в более высоких измерениях

Проективное разнообразие X называется минимальным, если канонический пакет KXравен nef. Для X размерности 2 в этом определении достаточно рассматривать гладкие многообразия. В размерах не менее 3 минимальные разновидности должны иметь некоторые мягкие особенности, для которых K X все еще хорошо себя ведет; они называются терминальными особенностями.

При этом гипотеза о минимальной модели будет означать, что каждое многообразие X либо покрывается рациональными кривыми, либо бирационально минимальному многообразию Y Когда она существует, Y называется минимальной моделью X.

Минимальные модели не уникальны по размерности не менее 3, но любые две минимальные разновидности, которые являются бирациональными, очень близки. Например, они изоморфны вне подмножеств коразмерности не менее 2, а точнее они связаны последовательностью флопов. Таким образом, гипотеза о минимальной модели дала бы сильную информацию о бирациональной классификации алгебраических многообразий.

Гипотеза была доказана в размерности 3 Мори (1988). В высших измерениях был достигнут большой прогресс, хотя общая проблема остается открытой. В частности, Биркар, Кашини, Хакон и МакКернан (2010) доказали, что каждое многообразие общего типа над полем нулевой характеристики имеет минимальную модель.

Однолинейные разновидности

Разновидность называется однолинейной, если она покрыта рациональными кривыми. Одноуровневое многообразие не имеет минимальной модели, но есть хорошая замена: Биркар, Кашини, Хакон и МакКернан показали, что любое однолинейное многообразие над полем нулевой характеристики бирационально для расслоения Фано. Это приводит к проблеме бирациональной классификации расслоений Фано и (как наиболее интересного частного случая) многообразий Фано. По определению проективное многообразие X есть Фано, если антиканоническое расслоение KX ∗ {\ displaystyle K_ {X} ^ {*}}{\ displaystyle K_ {X} ^ {*}} обильно. Многообразия Фано можно рассматривать как алгебраические многообразия, наиболее похожие на проективное пространство.

В размерности 2 любое многообразие Фано (известное как поверхность Дель Пеццо ) над алгебраически замкнутым полем рационально. Важным открытием 1970-х годов было то, что, начиная с измерения 3, существует множество разновидностей Фано, которые не рациональны. В частности, гладкие трехмерные кубы не рациональны по Клеменс – Гриффитс (1972), а гладкие трехмерные кубики не рациональны по Исковских – Манин (1971). Тем не менее, проблема определения, какие именно разновидности Фано рациональны, далека от решения. Например, неизвестно, есть ли в P n + 1 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n + 1}}{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n + 1}} гладкая кубическая гиперповерхность с n ≥ 4, которая не является рациональный.

Группы бирациональных автоморфизмов

Алгебраические многообразия сильно различаются по количеству бирациональных автоморфизмов. Всякое многообразие общего типа чрезвычайно жестко в том смысле, что его группа бирациональных автоморфизмов конечна. С другой стороны, группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства P n {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}\ mathbb {P} ^ {n} над полем k, известная как группа Кремоны Crn(k), является большим (в некотором смысле бесконечномерным) для n ≥ 2. Для n = 2 комплексная группа Кремоны C r 2 (C) {\ displaystyle Cr_ {2} (\ mathbb {C})}{\ displaystyle Cr_ {2} (\ mathbb {C})} сгенерировано «квадратичным преобразованием»

[x, y, z] ↦ [1 / x, 1 / y, 1 / z]

вместе с группой PGL (3, C) {\ displaystyle PGL (3, \ mathbb {C})}{\ displaystyle PGL (3, \ mathbb {C})} автоморфизмов P 2, {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2},}{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2},} от Макса Нётер и Кастельнуово. Напротив, группа Кремоны в размерностях n ≥ 3 является большой загадкой: явный набор образующих неизвестен.

Исковских – Манин (1971) показал, что группа бирациональных автоморфизмов гладкой трехмерной квартики равна ее группе автоморфизмов, которая конечна. В этом смысле трехмерные многообразия четвертой степени далеки от рациональности, поскольку группа бирациональных автоморфизмов рационального многообразия огромна. Это явление «бирациональной жесткости» с тех пор было обнаружено во многих других расслоениях Фано.

См. Также

Примечания

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-12 07:01:22
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте