Рациональное отображение

редактировать

Некий вид частичной функции между алгебраическими разновидностями

В математике, в частности подполе алгебраической геометрии, рациональное отображение или рациональное отображение является разновидностью частичной функции между алгебраическими разновидностями. В этой статье используется соглашение о том, что многообразия неприводимы.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Формальное определение
2 Примеры
- 2.1 Рациональные отображения проективных пространств
- 2.2 Включение открытых подмногообразий
- 2.3 Покрытие пространств на открытых подмножествах
- 2.4 Разрешение сингулярностей
- 2.5 Бирациональная эквивалентность
3 См. Также
4 Ссылки

Определение

Формальное определение

Формально, рациональное отображение $f: V → W {\ displaystyle f \ двоеточие V \ to W}$ $е \ двоеточие V \ к W$ между двумя разновидностями является классом эквивалентности пары $(f U, U) {\ displaystyle (f_ {U}, U)}$ $(f_ {U}, U)$ , в которых $f U {\ displaystyle f_ {U}}$ $f_ {U}$ - морфизм разновидностей из непустого открытого множества $U ⊂ V {\ displaystyle U \ subset V}$ $U \ subset V$ в $W {\ displaystyle W}$ $W$ и две такие пары $(f U, U) {\ displaystyle (f_ {U}, U)}$ $(f_ {U}, U)$ и $(f 'U', U ') {\ displaystyle ({f'} _ {U '}, U')}$ $({f'}_{U'},U')$ считаются эквивалентными если $f U {\ displaystyle f_ {U}}$ $f_ {U}$ и $f ′ U ′ {\ displaystyle {f '} _ {U'}}$ ${f'}_{U'}$ совпадают на пересечение $U ∩ U ′ {\ displaystyle U \ cap U '}$ $U\cap U'$ (это, в частности, пусто истинно, если пересечение пусто, но поскольку $V {\ displaystyle V}$ $V$ считается несократимым, это невозможно). Доказательство того, что это определяет отношение эквивалентности, основывается на следующей лемме:

Если два морфизма разновидностей равны на некотором непустом открытом множестве, то они равны.

$f {\ displaystyle f}$ $f$ называется бирациональным, если существует рациональное отображение $g: W → V {\ displaystyle g \ двоеточие W \ to V}$ $g \ двоеточие W \ to V$ что является его обратным, где композиция понимается в указанном выше смысле.

Важность рациональных отображений для алгебраической геометрии заключается в связи между такими картами и отображениями между полями функций в $V {\ displaystyle V}$ $V$ и $W {\ displaystyle W}$ $W$ . Даже беглое рассмотрение определений обнаруживает сходство между понятиями рационального отображения и рациональной функции; на самом деле рациональная функция - это просто рациональное отображение, диапазон которого - проективная линия. Затем композиция функций позволяет нам «отодвинуть» рациональные функции вдоль рационального отображения, так что одно рациональное отображение $f: V → W {\ displaystyle f \ двоеточие V \ to W}$ $е \ двоеточие V \ к W$ индуцирует a гомоморфизм полей $K (W) → K (V) {\ displaystyle K (W) \ to K (V)}$ $K (W) \ to K (V)$ . В частности, центральной является следующая теорема: функтор из категории проективных многообразий с доминирующими рациональными отображениями (над фиксированным базовым полем, например $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ ) в категорию конечно порожденных расширений поля основного поля с обратным включением расширений как морфизмов, что связывает каждое разнообразие со своим функциональное поле и каждое отображение на связанную карту функциональных полей, является эквивалентом категорий.

Примеры

Рациональные карты проективных пространств

Имеется рациональная карта $P 2 → P 1 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2} \ to \ mathbb {P} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2} \ to \ mathbb {P} ^ {1}}$ отправка отношения $[x: y: z] ↦ [ x: y] {\ displaystyle [x: y: z] \ mapsto [x: y]}$ ${\ displaystyle [x: y: z] \ mapsto [x: y]}$ . Поскольку точка $[0: 0: 1] {\ displaystyle [0: 0: 1]}$ ${\ displaystyle [0: 0: 1]}$ не может иметь изображения, это отображение является только рациональным, а не морфизмом разновидностей. В более общем смысле существуют рациональные карты $P m → P n {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {m} \ to \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {m} \ to \ mathbb {P} ^ {n}}$ , отправляющие $m>n {\ displaystyle m>n}$ $m>n$ отправив $m {\ displaystyle m}$ $m$ -кортецу $n {\ displaystyle n}$ $n$ -кортецу, забыв последнюю координаты.

Включение открытых подмногообразий

На связном многообразии $X {\ displaystyle X}$ $X$ включение любого открытого подмногообразия $i: U → X {\ displaystyle i: U \ to X}$ ${\ displaystyle i: U \ to X}$ является бирациональной эквивалентностью, поскольку у этих двух разновидностей есть эквивалентные функциональные поля. То есть каждая рациональная функция $f: X → P 1 {\ displaystyle f : X \ to \ mathbb {P} ^ {1}}$ $f: X \ to \ mathbb {P} ^ 1$ может быть ограничено рациональной функцией $U → P 1 {\ displaystyle U \ to \ mathbb {P} ^ {1}}$ ${\ displaystyle U \ to \ mathbb {P} ^ {1}}$ и, наоборот, рациональная функция $U → P 1 {\ displaystyle U \ to \ mathbb {P} ^ {1}}$ ${\ displaystyle U \ to \ mathbb {P} ^ {1}}$ определяет класс рациональной эквивалентности $(U, f) {\ displaystyle (U, f)}$ ${\ displaystyle (U, f)}$ на $Икс {\ Displaystyle X}$ $X$ . Прекрасным примером этого явления является бирациональная эквивалентность $A n {\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}}$ ${\ mathbb {A}} ^ {n}$ и $P n {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ $\ mathbb {P} ^ { п}$ , следовательно, $K (P n) ≅ K (x 1,…, xn) {\ displaystyle K (\ mathbb {P} ^ {n}) \ cong k (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle К (\ mathbb {P} ^ {n}) \ конг к (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ .

Накрывающие пространства на открытых подмножествах

Накрывающие пространства на открытых подмножествах разнообразия дают обширные примеры рациональных отображений, которые не являются бирациональными. Например, теорема Белого утверждает, что каждая алгебраическая кривая $C {\ displaystyle C}$ $C$ допускает отображение $f: C → P 1 {\ displaystyle f: C \ в \ mathbb {P} ^ {1}}$ ${\ displaystyle f: C \ to \ mathbb {P} ^ {1}}$ который разветвляется в трех точках. Тогда существует соответствующее накрывающее пространство $C | U → U = P 1 - {p 1, p 2, p 3} {\ displaystyle C | _ {U} \ to U = \ mathbb {P} ^ {1} - \ {p_ {1}, p_ {2 }, p_ {3} \}}$ ${\ displaystyle C | _ {U} \ to U = \ mathbb {P} ^ {1} - \ {p_ {1}, p_ {2}, p_ { 3} \}}$ , который определяет доминирующий рациональный морфизм, который не является бирациональным. Другой класс примеров взят из Гиперэллиптических кривых, которые являются двойными покрытиями $P 1 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$ $\ mathbb {P} ^ {1}$ , разветвленных в конечном числе точек.. Другой класс примеров - это взятие гиперповерхности $X ⊂ P n {\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${ \ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$ и ограничение рационального отображения $P n → п n - 1 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} \ к \ mathbb {P} ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ { n} \ to \ mathbb {P} ^ {n-1}}$ до $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Это дает разветвленное покрытие. Например, Кубическая поверхность, заданная местом исчезновения $Z (x 3 + y 3 + z 3 + w 3) {\ displaystyle Z (x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + w ^ {3})}$ ${\ displaystyle Z (x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + вес ^ {3})}$ имеет рациональную карту для $P 2 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$ $\ mathbb {P} ^ {2}$ отправка $[x: y: z: w] ↦ [x: y: z] {\ displaystyle [x: y: z: w] \ mapsto [x: y: z]}$ ${\ displaystyle [x: y: z : w] \ mapsto [x: y: z]}$ . Эта рациональная карта может быть выражена как степень $3 {\ displaystyle 3}$ $3$ расширение поля

$k (x, y, z) → k (x, y, z) [w] ( Икс 3 + Y 3 + Z 3 + вес 3) {\ Displaystyle к (х, у, г) \ к {\ гидроразрыва {к (х, у, г) [ш]} {(х ^ {3} + у ^ {3} + z ^ {3} + w ^ {3})}}}$ ${\ displaystyle k (x, y, z) \ to {\ frac {k (x, y, z) [w]} {(x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + w ^ {3})}}}$

Разрешение особенностей

Одним из канонических примеров бирационального отображения является Разрешение особенностей. Над полем характеристики 0 каждое сингулярное многообразие $X {\ displaystyle X}$ $X$ имеет ассоциированное неособое многообразие $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ с бирациональным отображением $π: Y → X {\ displaystyle \ pi: Y \ to X}$ ${\ displaystyle \ pi: Y \ to X}$ . Эта карта обладает тем свойством, что она является изоморфизмом на $U = X - Sing (X) {\ displaystyle U = X - {\ text {Sing}} (X)}$ ${\ displaystyle U = X - {\ text {Sing} } (X)}$ и на слое над $Sing (X) {\ displaystyle {\ text {Sing}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ text {Sing}} (X)}$ - нормальный делитель пересечения. Например, узловая кривая, такая как $C = Z (x 3 + y 3 + z 3 - xyz) ⊂ P 2 {\ displaystyle C = Z (x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} -xyz) \ subset \ mathbb {P} ^ {2}}$ ${\ displaystyle C = Z (x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} -xyz) \ subset \ mathbb {P} ^ {2}}$ является бирациональным по отношению к $P 1 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$ $\ mathbb {P} ^ {1}$ поскольку топологически это эллиптическая кривая с одной из сжатых окружностей. Тогда бирациональное отображение задается посредством нормализации.

Бирациональной эквивалентности

Два многообразия называются бирационально эквивалентными, если между ними существует бирациональное отображение; эта теорема утверждает, что бирациональная эквивалентность многообразий тождественна изоморфизму их функциональных полей как расширений основного поля. Это несколько более либерально, чем понятие изоморфизма многообразий (которое требует глобально определенного морфизма, чтобы засвидетельствовать изоморфизм, а не просто рационального отображения), поскольку существуют многообразия, которые являются бирациональными, но не изоморфными.

Обычный пример: $P k 2 {\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {2}}$ ${\ mathbb {P}} _ {k} ^ {2}$ бирационально по отношению к разнообразию $X { \ displaystyle X}$ $X$ содержится в $P k 3 {\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {3}}$ ${\ mathbb {P}} _ {k} ^ {3}$ , состоящий из набора проективных точек $[w: x: y: z] {\ displaystyle [w: x: y: z]}$ $[w: x: y: z]$ такой, что $xy - wz = 0 {\ displaystyle xy-wz = 0}$ $xy-wz = 0$ , но не изоморфен. Действительно, любые две строки в $P k 2 {\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {2}}$ ${\ mathbb {P}} _ {k} ^ {2}$ пересекаются, но линии в $X {\ displaystyle X}$ $X$ определяется как $w = x = 0 {\ displaystyle w = x = 0}$ $w = x = 0$ и $y = z = 0 {\ displaystyle y = z = 0}$ $y = z = 0$ не могут пересекаться, поскольку их пересечение будет иметь нулевые координаты. Чтобы вычислить функциональное поле $X {\ displaystyle X}$ $X$ , мы переходим к аффинному подмножеству (которое не меняет поле, что является проявлением того факта, что рациональное отображение зависит только от его поведения в любое открытое подмножество своего домена), в котором $w ≠ 0 {\ displaystyle w \ neq 0}$ $w \ neq 0$ ; в проективном пространстве это означает, что мы можем взять $w = 1 {\ displaystyle w = 1}$ $w = 1$ и, следовательно, идентифицировать это подмножество с аффинным $xyz {\ displaystyle xyz}$ $xyz$ -самолет. Здесь координатное кольцо $X {\ displaystyle X}$ $X$ равно

A (X) = k [x, y, z] / (xy - z) ≅ k [x, y ] {\ displaystyle A (X) = k [x, y, z] / (xy-z) \ cong k [x, y]}

A (X) = k [x, y, z] / (ху-г) \ конг к [х, у]

через карту $p (x, y, z) + (ху - z) А (Икс) ↦ п (х, у, ху) {\ Displaystyle р (х, у, z) + (ху-г) А (Х) \ mapsto р (х, у, ху)}$ ${\ displaystyle p (x, y, z) + (xy-z) A (X) \ mapsto p (x, y, xy)}$ . И поле дробей последнего равно $k (x, y) {\ displaystyle k (x, y)}$ $k (x, y)$ , изоморфно полю $P к 2 {\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {2}}$ ${\ mathbb {P}} _ {k} ^ {2}$ . Обратите внимание, что мы никогда не производили рациональную карту, хотя, проследив за доказательством теоремы, это возможно.

См. Также

Литература

Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387 -90244-9, MR 0463157, раздел I.4.