Двояковыпуклая оптимизация

Двояковыпуклая оптимизация является обобщением из выпуклой оптимизации, где целевая функция и набор ограничений могут быть двояковыпуклыми. Существуют методы, которые могут найти глобальный оптимум этих проблем.

Множество $B\; \subset \; X\; \times \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; subset\; X\; \backslash \; times\; Y\}$называется двояковыпуклым устанавливается на $X\; \times \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; times\; Y\}$, если для каждого фиксированного $y\; \in \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; in\; Y\}$, $B\; y\; =\; \{x\; \in \; X\; :\; (x,\; y)\; \in \; B\}\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{y\}\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; X:\; (x,\; y)\; \backslash \; in\; B\; \backslash \}\}$- выпуклое множество в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и для каждого фиксированного $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$, $B\; x\; =\; \{y\; \in \; Y:\; (x,\; y)\; \in \; B\}\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{x\}\; =\; \backslash \; \{y\; \backslash \; in\; Y:\; (x,\; y)\; \backslash \; in\; B\; \backslash \}\}$- выпуклый набор в $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$.

функция $f\; (x,\; y):\; B\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y):\; B\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$называется двояковыпуклой функцией, если фиксировать $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, $fx\; (y)\; =\; f\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{x\}\; (y)\; =\; f\; (x,\; y)\}$выпукло над $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$и исправление $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$, $fy\; (x)\; =\; f\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{y\}\; (x)\; =\; f\; (x,\; y)\}$выпукло над $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.

Обычной практикой для решения двояковыпуклой задачи (которая не гарантирует глобальной оптимальности решения) является альтернативное обновление $x,\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\}$, исправляя одну из них и решая соответствующие Задача выпуклой оптимизации.

Обобщение на функции с более чем двумя аргументами называется блочной мульти-выпуклой функцией . Функция $f\; (x\; 1,\dots ,\; x\; K)\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{K\})\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$является блочный мульти-выпуклый, если он является выпуклым по каждому из отдельных аргументов, при этом все остальные остаются фиксированными.

.