Закон Беца

Схема потока жидкости через дисковый привод. Для жидкости постоянной плотности площадь поперечного сечения изменяется обратно пропорционально скорости.

Закон Беца указывает максимальную мощность, которая может быть извлечена из ветра, независимо от конструкции ветряной турбины в открытом потоке. Он был опубликован в 1919 году немецким физиком Альбертом Бец. Этот закон основан на принципах сохранения массы и количества движения воздушного потока, проходящего через идеализированный « приводной диск», который извлекает энергию из ветрового потока. Согласно закону Беца, никакая турбина не может улавливать более 16/27 (59,3%) кинетической энергии ветра. Коэффициент 16/27 (0,593) известен как коэффициент Бетца. Практические ветряные турбины для коммунальных предприятий достигают пика 75–80% предела Бетца.

Предел Бетца основан на приводе с открытым диском. Если диффузор используется для сбора дополнительного ветрового потока и направления его через турбину, можно извлечь больше энергии, но ограничение по-прежнему распространяется на поперечное сечение всей конструкции.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Концепции
• 2 Самостоятельные открытия
• 3 Экономическая значимость
• 4 Доказательство
  • 4.1 Предположения
  • 4.2 Применение сохранения массы (уравнение неразрывности)
  • 4.3 Мощность и работа
• 5 закон Беца и коэффициент полезного действия
• 6 Понимание результатов Бец
• 7 достопримечательностей
• 8 Современное развитие
• 9 ссылки
• 10 Внешние ссылки

Концепции

Простая карикатура с двумя молекулами воздуха показывает, почему ветряные турбины не могут работать на 100%.

Закон Беца применим ко всем ньютоновским жидкостям, включая ветер. Если бы вся энергия, поступающая от движения ветра через турбину, была извлечена как полезная энергия, скорость ветра впоследствии упала бы до нуля. Если ветер перестанет двигаться на выходе из турбины, то свежий ветер больше не сможет попасть; это будет заблокировано. Для того, чтобы ветер двигался через турбину, должно быть какое-то движение ветра, пусть небольшое, с другой стороны с некоторой скоростью ветра больше нуля. Закон Беца показывает, что по мере того, как воздух проходит через определенную область и скорость ветра снижается от потери энергии до отвода от турбины, воздушный поток должен распространяться на более широкую область. В результате геометрия ограничивает КПД любой турбины максимумом 59,3%.

Самостоятельные открытия

Британский ученый Фредерик У. Ланчестер получил тот же максимум в 1915 году. Лидер русской аэродинамической школы Николай Жуковский также опубликовал тот же результат для идеальной ветряной турбины в 1920 году, в том же году, что и Бец. Таким образом, это пример закона Стиглера, который утверждает, что ни одно научное открытие не названо в честь его фактического первооткрывателя.

Экономическая значимость

Предел Беца устанавливает верхнюю границу годовой энергии, которую можно добыть на объекте. Даже если гипотетический ветер дул постоянно в течение всего года, не может быть извлечено больше, чем предел Бетца энергии, содержащейся в ветре этого года.

Существенное повышение экономической эффективности системы связано с увеличением производства на единицу продукции, измеряемой на квадратный метр экспозиции лопастей. Повышение эффективности системы требуется для снижения стоимости производства электроэнергии. Повышение эффективности может быть результатом разработки устройств улавливания ветра, таких как конфигурация и динамика ветряных турбин, которые могут увеличить выработку электроэнергии этими системами в пределах Бетца. Повышение эффективности системы при применении, передаче или хранении энергии также может способствовать снижению стоимости энергии на единицу.

Доказательство

Предел Бетца - это максимально возможная энергия, которая может быть получена с помощью бесконечно тонкого ротора из жидкости, текущей с определенной скоростью.

Чтобы рассчитать максимальную теоретическую эффективность тонкого ротора (например, ветряной мельницы ), можно представить, что он заменен диском, который отбирает энергию из жидкости, проходящей через него. На определенном расстоянии за этим диском прошедшая жидкость течет с пониженной скоростью.

Предположения

1. Ротор не имеет ступицы и идеален, с бесконечным количеством лопастей, которые не имеют сопротивления. Любое результирующее сопротивление только снизит это идеализированное значение.
2. Поток в ротор и выход из него осевой. Это анализ контрольного объема, и для построения решения контрольный объем должен содержать весь входящий и выходящий поток, отсутствие учета этого потока нарушило бы уравнения сохранения.
3. Течение несжимаемое. Плотность остается постоянной, теплоотдача отсутствует.
4. Равномерное усилие прилагается к диску или ротору.

Применение сохранения массы (уравнение неразрывности)

Применяя сохранение массы к этому контрольному объему, массовый расход (масса жидкости, протекающей в единицу времени) определяется выражением

${\ displaystyle {\ dot {m}} = \ rho A_ {1} v_ {1} = \ rho Sv = \ rho A_ {2} v_ {2},}$

где v 1 - скорость перед ротором, v 2 - скорость за ротором, v - скорость в гидравлическом силовом устройстве, ρ - плотность жидкости, площадь турбины определяется как S, и и - площади жидкости до и после достижения турбины. ${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {2}}$

Таким образом, плотность, умноженная на площадь и скорость, должна быть одинаковой в каждой из трех областей: до, при прохождении через турбину и после.

Сила, действующая на ветер со стороны ротора, равна массе воздуха, умноженной на его ускорение. В терминах плотности, площади поверхности и скоростей это можно записать как

${\ displaystyle {\ begin {align} F amp; = ma \\ amp; = m {\ frac {dv} {dt}} \\ amp; = {\ dot {m}} \, \ Delta v \\ amp; = \ rho Sv (v_ {1} -v_ {2}). \ end {выравнивается}}}$

Мощность и работа

Работа силой может быть записана в виде постепенно

${\ Displaystyle dE = F \, dx,}$

а мощность (скорость выполненной работы) ветра равна

${\ displaystyle P = {\ frac {dE} {dt}} = F {\ frac {dx} {dt}} = Fv.}$

Теперь подставив вычисленную выше силу F в уравнение мощности, мы получим мощность, извлеченную из ветра:

${\ displaystyle P = \ rho Sv ^ {2} (v_ {1} -v_ {2}).}$

Однако мощность можно вычислить другим способом, используя кинетическую энергию. Применение уравнения сохранения энергии к контрольному объему дает

${\ displaystyle P = {\ frac {\ Delta E} {\ Delta t}} = {\ tfrac {1} {2}} {\ dot {m}} (v_ {1} ^ {2} -v_ {2 } ^ {2}).}$

Оглядываясь назад на уравнение неразрывности, замена массового расхода дает

${\ displaystyle P = {\ tfrac {1} {2}} \ rho Sv (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2}).}$

Оба этих выражения для мощности полностью верны, одно было получено путем изучения выполняемой дополнительной работы, а другое - путем сохранения энергии. Приравнивая эти два выражения, получаем

${\ Displaystyle P = {\ tfrac {1} {2}} \ rho Sv (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2}) = \ rho Sv ^ {2} (v_ {1} -v_ {2}).}$

Для всех v и S плотность не может быть 0. Рассмотрение двух приравненных выражений дает интересный результат, а именно

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2}) = {\ tfrac {1} {2}} (v_ {1} -v_ {2}) (v_ {1} + v_ {2}) = v (v_ {1} -v_ {2}),}$

или

${\ displaystyle v = {\ tfrac {1} {2}} (v_ {1} + v_ {2}).}$

Следовательно, скорость ветра у ротора может быть принята как среднее значение скоростей вверх и вниз по потоку. Это, возможно, самый нелогичный этап вывода закона Беца.

Закон Беца и коэффициент полезного действия

Возвращаясь к предыдущему выражению для мощности, основанной на кинетической энергии:

${\ displaystyle {\ dot {E}} = {\ tfrac {1} {2}} {\ dot {m}} (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2})}$

${\ displaystyle = {\ tfrac {1} {2}} \ rho Sv (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2})}$

${\ displaystyle = {\ tfrac {1} {4}} \ rho S (v_ {1} + v_ {2}) (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2})}$

${\ displaystyle = {\ tfrac {1} {4}} \ rho Sv_ {1} ^ {3} \ left (1- \ left ({\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} \ right) - \ left ({\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} \ right) ^ {3} \ right).}$

Горизонтальная ось отражает отношение v 2 / v 1, вертикальная ось - «коэффициент мощности [1] » C p.

Путем дифференцирования относительно заданной скорости v 1 жидкости и заданной площади S можно найти максимальное или минимальное значение для. В результате достигается максимальное значение, когда. ${\ displaystyle {\ dot {E}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {v_ {2}} {v_ {1}}}}$${\ displaystyle {\ dot {E}}}$${\ displaystyle {\ dot {E}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {v_ {2}} {v_ {1}}} = {\ tfrac {1} {3}}}$

Подстановка этого значения приводит к

${\ displaystyle P _ {\ text {max}} = {\ tfrac {16} {27}} \ cdot {\ tfrac {1} {2}} \ rho Sv_ {1} ^ {3}.}$

Мощность, получаемая от цилиндра с жидкостью с площадью поперечного сечения S и скоростью v 1, равна

${\ displaystyle P = C _ {\ text {p}} \ cdot {\ tfrac {1} {2}} \ rho Sv_ {1} ^ {3}.}$

Эталонной мощностью для расчета эффективности Бетца является мощность в движущейся жидкости в цилиндре с площадью поперечного сечения S и скоростью v 1:

${\ displaystyle P _ {\ text {wind}} = {\ tfrac {1} {2}} \ rho Sv_ {1} ^ {3}.}$

«Коэффициент мощности» С р (= Р / Р ветрами) является безразмерным отношением извлекаемого мощности Р к кинетической мощности P ветрам, доступным в нераспределенной потоке. Он имеет максимальное значение C p max  = 16/27 = 0,593 (или 59,3%; однако коэффициенты производительности обычно выражаются в виде десятичной дроби, а не в процентах).

Современные большие ветряные турбины достигают пикового значения C p в диапазоне от 0,45 до 0,50, примерно 75–85% от теоретически возможного максимума. При высокой скорости ветра, когда турбина работает на своей номинальной мощности, турбина вращает (наклоняет) свои лопасти, чтобы снизить C p, чтобы защитить себя от повреждений. Мощность ветра увеличивается в 8 раз с 12,5 до 25 м / с, поэтому C p должна соответственно падать, достигая 0,06 при скорости ветра 25 м / с.

Понимание результатов Бец

Интуитивно, соотношение скоростей [ V 2 / V 1 = 0,333] между исходящим и входящим ветром, выходящим примерно на треть скорости, на которой он пришел, будет означать более высокие потери кинетической энергии. Но поскольку для более медленно движущегося воздуха требуется большая площадь, энергия сохраняется.

Принимается во внимание вся энергия, поступающая в систему, и локальная "радиальная" кинетическая энергия не может влиять на результат, который представляет собой конечное энергетическое состояние воздуха, покидающего систему, с меньшей скоростью, большей площадью и, соответственно, его меньшей энергией. можно рассчитать.

Последним шагом в вычислении эффективности C p по Бетцу является деление вычисленной мощности, извлеченной из потока, на опорное значение мощности. Анализ Бетца использует в качестве эталона мощности, разумно, мощность воздуха, движущегося вверх по потоку в точке V 1, содержащейся в цилиндре с площадью поперечного сечения S ротора.

Точки интереса

Предел Бетца не зависит от геометрии системы вывода ветра, поэтому S может принимать любую форму при условии, что поток движется от входа в контрольный объем к выходу, а контрольный объем имеет одинаковые скорости входа и выхода. Любые посторонние эффекты могут только снизить производительность системы (обычно турбины), поскольку этот анализ был идеализирован, чтобы не учитывать трение. Любые неидеальные эффекты уменьшили бы энергию, доступную в поступающей жидкости, снизив общую эффективность.

Некоторые производители и изобретатели заявляли о превышении предела с помощью форсунок и других устройств отклонения ветра, обычно путем искажения предела Беца и расчета только площади ротора, а не общего количества воздуха, вносимого в энергию ветра, извлекаемую из системы.

Современное развитие

В 1934 г. Х. Глауэрт вывел выражение для КПД турбины с учетом угловой составляющей скорости, применив баланс энергии в плоскости ротора. Из-за модели Глауэрта эффективность ниже предела Бетца и асимптотически приближается к этому пределу, когда передаточное число концевых скоростей стремится к бесконечности.

В 2001 году Горбань, Горлов и Силантьев представили точно решаемую модель (GGS), которая учитывает неравномерное распределение давления и криволинейный поток в плоскости турбины (вопросы, не включенные в подход Беца). Они использовали и модифицировали модель Кирхгофа, которая описывает турбулентный след за приводом как «вырожденный» поток и использует уравнение Эйлера за пределами вырожденной области. Модель GGS предсказывает, что пиковая эффективность достигается, когда поток через турбину составляет примерно 61% от общего потока, что очень похоже на результат Бетца 2/3 для потока, приводящего к пиковому КПД, но GGS предсказал, что пиковое значение Сам КПД намного меньше: 30,1%.

В 2008 году расчеты вязкости на основе вычислительной гидродинамики (CFD) были применены к моделированию ветряных турбин и продемонстрировали удовлетворительное согласие с экспериментом. Расчетная оптимальная эффективность, как правило, находится между пределом Бетца и решением GGS.

использованная литература

1. ^ Бец, А. (1966) Введение в теорию поточных машин. (DG Randall, Trans.) Oxford: Pergamon Press.
2. ^ ^{a b} «Семейство Enercon E, от 330 кВт до 7,5 МВт, спецификации ветряных турбин».
3. ^ Тони Бертон и др., (Редактор), Справочник по ветроэнергетике, Джон Вили и сыновья 2001, ISBN   0471489972, стр. 65.
4. ^ Гийс А. М. ван Куик, Предел Ланчестера – Бец – Жуковского. Архивировано 9 июня 2011 года в Wayback Machine, Wind Energ. 2007; 10: 289–291.
5. ^ ^{а б} Manwell, JF; McGowan, JG; Роджерс, А.Л. (февраль 2012 г.). Объяснение ветровой энергии: теория, дизайн и применение. Чичестер, Западный Суссекс, Великобритания: John Wiley amp; Sons Ltd., стр.  92–96. ISBN   9780470015001.
6. ^ "Датская ассоциация ветроэнергетики". Архивировано 31 октября 2009 года в Wayback Machine.
7. ↑ White, FM, Fluid Mechanics, 2nd Edition, 1988, McGraw-Hill, Singapore
8. ↑ Горбань А.Н., Горлов А.М., Силантьев В.М., Пределы КПД турбины для свободного потока жидкости, Journal of Energy Resources Technology - декабрь 2001 г. - том 123, выпуск 4, стр. 311-317.
9. ^ Л. М. Милн-Томсон, Теоретическая гидродинамика, четвертое издание. п. 632, Макмиллан, Нью-Йорк (1960).
10. ^ Хартвангер, Д., Хорват, А., 3D-моделирование ветряной турбины с использованием CFD. Архивировано 7 августа 2009 г. на Wayback Machine, конференция NAFEMS UK 2008 «Инженерное моделирование: эффективное использование и передовая практика», Челтенхэм, Великобритания, июнь 10–11, 2008, Труды.

• Ахмед, Н. А. и Миятаке, М. Автономная гибридная система генерации, сочетающая солнечные фотоэлектрические и ветряные турбины с простым контролем слежения за точкой максимальной мощности, Конференция по силовой электронике и управлению движением IEEE, 2006. IPEMC '06. CES / IEEE 5th International, том 1, август 2006 г., стр. 1–7.
• Бец, А. Максимум теоретически возможного использования ветра с помощью ветряного двигателя, Wind Engineering, 37, 4, 441–446, 2013, Перевод: Das Maximum der Theoretisch möglichen Ausnützung des Windes durch Windmotoren, Zeitschrift für das gesamte Turbinenwesen, Heft 26, 1920.

внешние ссылки

• Предел Беца - и максимальный КПД для ветряных турбин с горизонтальной осью
• Пьер Лекану, Жоэль Бреард, Доминик Муазе. Предел Беца, применяемый к теории ветряных турбин с вертикальной осью