Часть серии о | |||||||
Механика сплошной среды | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Законы диффузии Фика | |||||||
Законы
| |||||||
Механика твердого тела | |||||||
Гидравлическая механика
| |||||||
Реология
| |||||||
Ученые | |||||||
|
В гидродинамике, принцип Бернулли утверждает, что увеличение скорости жидкости происходит одновременно с уменьшением статического давления или уменьшением жидкости «s потенциальной энергии. Принцип назван в честь Даниэля Бернулли, который опубликовал его в своей книге « Гидродинамика» в 1738 году. Хотя Бернулли пришел к выводу, что давление уменьшается при увеличении скорости потока, именно Леонард Эйлер в 1752 году вывел уравнение Бернулли в его обычной форме. Принцип применим только для изоэнтропических потоков : когда влияние необратимых процессов (например, турбулентности ) и неадиабатических процессов (например, теплового излучения ) невелико, и им можно пренебречь.
Принцип Бернулли может быть применен к различным типам потоков жидкости, что приводит к различным формам уравнения Бернулли. Простая форма уравнения Бернулли справедлива для несжимаемых потоков (например, для большинства потоков жидкости и газов, движущихся с низким числом Маха ). Более сложные формы могут быть применены к сжимаемым потокам при более высоких числах Маха (см. Вывод уравнения Бернулли ).
Принцип Бернулли можно вывести из принципа сохранения энергии. Это означает, что в установившемся потоке сумма всех форм энергии в жидкости вдоль линии тока одинакова во всех точках этой линии тока. Для этого необходимо, чтобы сумма кинетической энергии, потенциальной энергии и внутренней энергии оставалась постоянной. Таким образом, увеличение скорости жидкости, подразумевающее увеличение ее кинетической энергии ( динамического давления ), происходит с одновременным уменьшением (суммы) ее потенциальной энергии (включая статическое давление ) и внутренней энергии. Если жидкость вытекает из резервуара, сумма всех форм энергии одинакова на всех линиях тока, потому что в резервуаре энергия на единицу объема (сумма давления и гравитационного потенциала ρ g h) везде одинакова.
Принцип Бернулли также могут быть получены непосредственно от Исаака Ньютона «s второй закон движения. Если небольшой объем жидкости течет горизонтально из области высокого давления в область низкого давления, то давление сзади больше, чем спереди. Это дает чистую силу для объема, ускоряя его по линии тока.
Частицы жидкости подвержены только давлению и собственному весу. Если жидкость течет горизонтально и вдоль участка линии тока, где скорость увеличивается, это может быть только потому, что жидкость на этом участке переместилась из области более высокого давления в область более низкого давления; и если его скорость уменьшается, это может быть только потому, что он переместился из области более низкого давления в область более высокого давления. Следовательно, внутри текучей среды, текущей горизонтально, самая высокая скорость возникает там, где давление самое низкое, а самая низкая скорость возникает там, где давление самое высокое.
В большинстве потоков жидкостей и газов при низком числе Маха, то плотность посылки жидкости можно считать постоянной, независимо от изменения давления в потоке. Следовательно, жидкость можно рассматривать как несжимаемую, и эти потоки называются несжимаемыми потоками. Бернулли проводил свои эксперименты с жидкостями, поэтому его уравнение в исходной форме справедливо только для несжимаемого потока. Распространенная форма уравнения Бернулли, действительная в любой произвольной точке вдоль линии тока :
| ( А) |
куда:
Константа в правой части уравнения зависит только от выбранной линии тока, тогда как v, z и p зависят от конкретной точки на этой линии тока.
Для применения этого уравнения Бернулли должны быть выполнены следующие предположения:
Для консервативных силовых полей (не ограничиваясь гравитационным полем) уравнение Бернулли можно обобщить следующим образом:
где Ψ - потенциал силы в рассматриваемой точке на линии тока. Например, для гравитации Земли Ψ = gz.
Умножив на плотность жидкости ρ, уравнение ( A) можно переписать как:
или:
куда
Константу в уравнении Бернулли можно нормировать. Обычный подход к общему напору или энергетическому напору H:
Приведенные выше уравнения предполагают, что существует скорость потока, при которой давление равно нулю, а при еще более высоких скоростях давление отрицательное. Чаще всего газы и жидкости не способны к отрицательному абсолютному давлению или даже к нулевому давлению, поэтому ясно, что уравнение Бернулли перестает действовать до того, как будет достигнуто нулевое давление. В жидкостях - когда давление становится слишком низким - возникает кавитация. В приведенных выше уравнениях используется линейная зависимость между квадратом скорости потока и давлением. При более высоких скоростях потока в газах или для звуковых волн в жидкости изменения массовой плотности становятся значительными, так что предположение о постоянной плотности неверно.
Во многих приложениях уравнения Бернулли изменение члена ρgz вдоль линии тока настолько мало по сравнению с другими членами, что им можно пренебречь. Например, в случае самолета в полете изменение высоты z вдоль линии тока настолько мало, что член ρgz может быть опущен. Это позволяет представить приведенное выше уравнение в следующей упрощенной форме:
где p 0 называется «полным давлением», а q - « динамическим давлением ». Многие авторы ссылаются на давление р, как статическое давление, чтобы отличить его от общего давления р 0 и динамического давления д. В « Аэродинамике» Л. Дж. Клэнси пишет: «Чтобы отличить его от общего и динамического давлений, фактическое давление жидкости, которое связано не с ее движением, а с ее состоянием, часто называют статическим давлением, но где термин используется только давление, оно относится к этому статическому давлению ".
Упрощенную форму уравнения Бернулли можно резюмировать в следующем запоминающемся словесном уравнении:
Каждая точка в устойчиво текущей жидкости, независимо от скорости жидкости в этой точке, имеет свое собственное уникальное статическое давление p и динамическое давление q. Их сумма p + q определяется как полное давление p 0. Значение принципа Бернулли теперь можно резюмировать как «полное давление постоянно вдоль линии тока».
Если поток жидкости является безвихревым, полное давление на каждой линии тока одинаково, и принцип Бернулли можно резюмировать как «полное давление постоянно в потоке жидкости». Разумно предположить, что безвихревое течение существует в любой ситуации, когда большое тело жидкости проходит мимо твердого тела. Примерами являются самолеты в полете и корабли, движущиеся в открытых водоемах. Однако, что важно, принцип Бернулли неприменим в пограничном слое или в потоке жидкости по длинным трубам.
Если поток жидкости в некоторой точке вдоль линии тока останавливается, эта точка называется точкой торможения, и в этой точке полное давление равно давлению торможения.
Уравнение Бернулли справедливо для идеальных жидкостей: несжимаемых, безвихревых, невязких и подверженных консервативным силам. Иногда это справедливо для потока газов: при условии, что нет передачи кинетической или потенциальной энергии от потока газа к сжатию или расширению газа. Если давление и объем газа изменяются одновременно, то работа будет выполняться на газе или с его помощью. В этом случае уравнение Бернулли - в форме несжимаемого потока - не может считаться действительным. Однако, если газовый процесс полностью изобарический или изохорный, то работа с газом не выполняется (так что простой энергетический баланс не нарушается). Согласно закону газа, изобарический или изохорный процесс обычно является единственным способом обеспечить постоянную плотность в газе. Также плотность газа будет пропорциональна отношению давления и абсолютной температуры, однако это соотношение будет меняться при сжатии или расширении, независимо от того, какое ненулевое количество тепла добавляется или удаляется. Единственное исключение - если чистая теплопередача равна нулю, как в полном термодинамическом цикле, или в отдельном изэнтропическом ( адиабатическом ) процессе без трения, и даже тогда этот обратимый процесс должен быть обращен вспять, чтобы восстановить исходное давление газа и удельное давление. объем, а значит, и плотность. Только тогда применимо исходное немодифицированное уравнение Бернулли. В этом случае уравнение можно использовать, если скорость потока газа значительно ниже скорости звука, так что изменением плотности газа (из-за этого эффекта) вдоль каждой линии тока можно пренебречь. Адиабатический поток при скорости менее 0,3 Маха обычно считается достаточно медленным.
Уравнение Бернулли для нестационарного потенциального течения используется в теории поверхностных волн океана и в акустике.
Для безвихревого потока, то скорость потока может быть описана как градиент ∇ ф о скорости потенциального ф. В этом случае, так и для постоянной плотности р, то импульс Уравнение уравнений Эйлера может быть интегрировано:
которое является уравнением Бернулли, справедливым также для нестационарных или зависящих от времени потоков. Здесь∂ φ/∂ тобозначает частную производную потенциала скорости φ по времени t, а v = | ∇ φ | скорость потока. Функция f ( t) зависит только от времени, а не от положения в жидкости. В результате уравнение Бернулли в некоторый момент t применимо не только вдоль определенной линии тока, но и во всей области жидкости. Это также верно для частного случая установившегося безвихревого потока, когда f и ∂ φ / ∂ t являются константами, поэтому уравнение ( A) может применяться в каждой точке области жидкости.
Далее f ( t) можно сделать равным нулю, включив его в потенциал скорости с помощью преобразования
в результате чего
Обратите внимание, что это преобразование не влияет на связь потенциала со скоростью потока: ∇ Φ = ∇ φ.
Уравнение Бернулли для нестационарного потенциального потока также, по-видимому, играет центральную роль в вариационном принципе Люка, вариационном описании течений со свободной поверхностью с использованием лагранжиана (не путать с лагранжевыми координатами ).
Бернулли разработал свой принцип на основе наблюдений за жидкостями, и его уравнение применимо только к несжимаемым жидкостям и устойчивым сжимаемым жидкостям приблизительно до числа Маха 0,3. Можно использовать фундаментальные принципы физики для разработки аналогичных уравнений, применимых к сжимаемым жидкостям. Существует множество уравнений, каждое из которых адаптировано для конкретного приложения, но все они аналогичны уравнению Бернулли и полагаются ни на что, кроме фундаментальных принципов физики, таких как законы движения Ньютона или первый закон термодинамики.
Для сжимаемой жидкости, с баротропным уравнением состояния, и под действием консервативных сил,
куда:
В инженерных ситуациях возвышения обычно невелики по сравнению с размером Земли, а временные масштабы потока жидкости достаточно малы, чтобы рассматривать уравнение состояния как адиабатическое. В этом случае приведенное выше уравнение для идеального газа принимает следующий вид:
где, помимо перечисленных выше терминов:
Во многих приложениях сжимаемого потока изменения высоты незначительны по сравнению с другими членами, поэтому термин gz можно опустить. Тогда очень полезная форма уравнения:
куда:
Наиболее общая форма уравнения, подходящая для использования в термодинамике в случае (квази) установившегося потока, следующая:
Здесь w - энтальпия на единицу массы (также известная как удельная энтальпия), которую также часто записывают как h (не путать с «напором» или «высотой»).
Обратите внимание, где - термодинамическая энергия на единицу массы, также известная как удельная внутренняя энергия. Таким образом, при постоянной внутренней энергии уравнение сводится к форме течения несжимаемой жидкости.
Константу в правой части часто называют постоянной Бернулли и обозначают b. Для устойчивого невязкого адиабатического течения без дополнительных источников или стоков энергии b постоянно вдоль любой данной линии тока. В более общем плане, когда b может изменяться вдоль линий тока, это все еще оказывается полезным параметром, связанным с «напором» жидкости (см. Ниже).
Когда изменение Ψ можно игнорировать, очень полезная форма этого уравнения:
где w 0 - полная энтальпия. Для калорийно совершенного газа, такого как идеальный газ, энтальпия прямо пропорциональна температуре, и это приводит к концепции общей (или застойной) температуры.
При наличии ударных волн в системе отсчета, в которой скачок уплотнения является стационарным, а течение устойчивым, многие параметры в уравнении Бернулли претерпевают резкие изменения при прохождении через скачок уплотнения. Однако сам параметр Бернулли остается неизменным. Исключением из этого правила являются радиационные толчки, которые нарушают допущения, приводящие к уравнению Бернулли, а именно отсутствие дополнительных стоков или источников энергии.
Для сжимаемой жидкости с баротропным уравнением состояния нестационарное уравнение сохранения количества движения
С безвихревым предположением, а именно, скорость потока может быть описана как градиент ∇ ф о скорости потенциального ф. Уравнение сохранения нестационарного импульса принимает вид
что приводит к
В этом случае приведенное выше уравнение для изоэнтропического потока принимает следующий вид:
Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости |
---|
Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости может быть получено либо путем интегрирования второго закона движения Ньютона, либо путем применения закона сохранения энергии между двумя участками вдоль линии тока, игнорируя вязкость, сжимаемость и тепловые эффекты.
Самый простой вывод - сначала игнорировать гравитацию и учитывать сужения и расширения в трубах, которые в остальном прямые, как видно на эффекте Вентури. Пусть ось x направлена вниз по оси трубы. Определите участок жидкости, движущийся по трубе с площадью поперечного сечения A, длиной участка d x и объемом участка A d x. Если массовая плотность равна ρ, масса посылки равна плотности, умноженной на ее объем m = ρA d x. Изменение давления на расстоянии d x равно d p, а скорость потока v =d x/д т. Примените второй закон движения Ньютона (сила = масса × ускорение) и признайте, что эффективная сила, действующая на сгусток жидкости, равна - A d p. Если давление уменьшается по длине трубы, d p отрицательно, но сила, приводящая к потоку, положительна по оси x. В установившемся потоке поле скорости постоянно по отношению ко времени, v = v ( x) = v ( x ( t)), поэтому v само по себе не является напрямую функцией времени t. Площадь поперечного сечения изменяется только тогда, когда участок перемещается через x: v зависит от t только через положение поперечного сечения x ( t). При постоянной плотности ρ уравнение движения можно записать в виде интегрированием по x где C - постоянная, иногда называемая постоянной Бернулли. Это не универсальная константа, а, скорее, константа конкретной жидкой системы. Вывод такой: там, где скорость большая, давление низкое и наоборот. В приведенном выше выводе не используется принцип внешней работы-энергии. Скорее, принцип Бернулли был получен путем простой манипуляции со вторым законом Ньютона. Трубка жидкости движется вправо. Указаны давление, высота, скорость потока, расстояние ( а) и площадь поперечного сечения. Обратите внимание, что на этом рисунке высота обозначена буквой h, в отличие от текста, где она обозначена буквой z.
Другой способ вывести принцип Бернулли для несжимаемого потока - это применение закона сохранения энергии. В форме теоремы работы-энергии, утверждающей, что
Следовательно,
Система состоит из объема жидкости, первоначально между поперечными сечениями A 1 и A 2. В интервале времени Δ t элементы жидкости первоначально в входном сечении A 1 перемещаются на расстояние s 1 = v 1 Δ t, а в выходном сечении жидкость удаляется от сечения A 2 на расстояние s 2 = v 2 Δ t. Объемы вытесненной жидкости на входе и выходе равны соответственно A 1 s 1 и A 2 s 2. Соответствующие массы вытесненной жидкости равны - когда ρ - массовая плотность жидкости - равны плотности, умноженной на объем, поэтому ρA 1 s 1 и ρA 2 s 2. По закону сохранения массы эти две массы, смещенные за интервал времени Δ t, должны быть равны, и эта смещенная масса обозначается Δ m: Работа, выполняемая силами, состоит из двух частей:
Следовательно, общая работа, проделанная за этот промежуток времени Δ t, равна Увеличение кинетической энергии является Объединяя все это вместе, теорема о работе кинетической энергии W = Δ E kin дает: или После деления на массу Δ m = ρA 1 v 1 Δ t = ρA 2 v 2 Δ t результат: или, как указано в первом абзаце:
Дальнейшее деление на g дает следующее уравнение. Обратите внимание, что каждый термин может быть описан в размере длины (например, в метрах). Это уравнение головы, полученное из принципа Бернулли:
Средний член z представляет потенциальную энергию жидкости из-за ее возвышения относительно базовой плоскости. Теперь z называется высотой напора и обозначается как высота z. Свободное падение масса с высотой г gt; 0 (в вакууме ) достигнет скорость при достижении высоты z = 0. Или когда мы переставляем его как голову: Срок v 2/2 гназывается скоростным напором, выраженным как измерение длины. Он представляет внутреннюю энергию жидкости из-за ее движения. Гидростатическое давление р определяется как с p 0 некоторое эталонное давление, или когда мы переставляем его как голову: Срок п/ρgтакже называется напором, выраженным в измерении длины. Он представляет внутреннюю энергию жидкости из-за давления, оказываемого на контейнер. Когда мы объединяем напор из-за скорости потока и напор из-за статического давления с высотой над базовой плоскостью, мы получаем простую зависимость, полезную для несжимаемых жидкостей, используя скоростной напор, подъемный напор и напор.
Если бы мы умножили уравнение 1 по плотности жидкости, мы получили бы уравнение с тремя членами давления:
Отметим, что в этой форме уравнения Бернулли давление системы постоянно. Если статическое давление в системе (третий член) увеличивается, и если давление из-за возвышения (средний член) постоянно, то мы знаем, что динамическое давление (первый член) должно было уменьшиться. Другими словами, если скорость жидкости уменьшается, и это не связано с перепадом высот, мы знаем, что это должно быть связано с увеличением статического давления, которое препятствует потоку. Все три уравнения - это просто упрощенные версии баланса энергии в системе. |
Уравнение Бернулли для сжимаемых жидкостей |
---|
Вывод для сжимаемых жидкостей аналогичен. Опять же, вывод зависит от (1) сохранения массы и (2) сохранения энергии. Сохранение массы означает, что на приведенном выше рисунке в интервале времени Δ t количество массы, проходящей через границу, определяемую областью A 1, равно количеству массы, проходящей наружу через границу, определяемую областью A 2.:
Сохранение энергии применяется аналогичным образом: предполагается, что изменение энергии объема трубки потока, ограниченного точками A 1 и A 2, полностью связано с энергией, поступающей или уходящей через одну или другую из этих двух границ. Ясно, что в более сложной ситуации, такой как поток жидкости, связанный с излучением, такие условия не выполняются. Тем не менее, если предположить, что это так, и предположить, что поток является устойчивым, так что чистое изменение энергии равно нулю, где Δ E 1 и Δ E 2 - энергия, входящая через A 1 и выходящая через A 2, соответственно. Энергия, поступающая через A 1, представляет собой сумму поступающей кинетической энергии, энергии, поступающей в виде потенциальной гравитационной энергии жидкости, термодинамической внутренней энергии жидкости на единицу входящей массы ( ε 1) и энергии, поступающей в форма механической p d V работы: где Ψ = GZ является силой потенциал за счет силы тяжести Земли, г это ускорение силы тяжести, и г является высота над базовой плоскостью. Аналогичное выражение для Δ E 2 может быть легко построено. Итак, теперь устанавливаем 0 = Δ E 1 - Δ E 2: который можно переписать как: Теперь, используя ранее полученный результат сохранения массы, его можно упростить и получить которое является уравнением Бернулли для сжимаемого потока. Эквивалентное выражение можно записать через энтальпию жидкости ( ч): |
В современной повседневной жизни существует множество наблюдений, которые можно успешно объяснить применением принципа Бернулли, хотя настоящая жидкость не является полностью невязкой, а небольшая вязкость часто оказывает большое влияние на течение.
Можно найти множество объяснений возникновения подъемной силы (на аэродинамических профилях, лопастях винта и т. Д.); некоторые из этих объяснений могут вводить в заблуждение, а некоторые - ложны. Были споры о том, что лучше всего знакомить студентов с лифтом, используя принцип Бернулли или законы движения Ньютона. Современные авторы согласны с тем, что и принцип Бернулли, и законы Ньютона имеют отношение к делу, и любой из них может быть использован для правильного описания подъемной силы.
Некоторые из этих объяснений используют принцип Бернулли для связи кинематики потока с давлением, создаваемым потоком. В случаях неправильных (или частично правильных) объяснений, основанных на принципе Бернулли, ошибки обычно возникают в предположениях о кинематике потока и способах их создания. Это не сам принцип Бернулли, что ставится под сомнение, поскольку этот принцип хорошо установлена (воздушный поток над крылом является быстрее, вопрос в том, почему это происходит быстрее).
Есть несколько распространенных демонстраций в классе, которые иногда неправильно объясняются с помощью принципа Бернулли. Один из них заключается в том, чтобы держать лист бумаги горизонтально так, чтобы он опускался вниз, а затем дует над ним. Когда демонстратор дует над бумагой, бумага поднимается. Затем утверждается, что это происходит потому, что «быстрее движущийся воздух имеет более низкое давление».
Одну проблему с этим объяснением можно увидеть, дуя вдоль нижней части бумаги: если бы отклонение было вызвано просто более быстрым движением воздуха, можно было бы ожидать, что бумага отклонится вниз, но бумага отклоняется вверх независимо от того, находится ли более быстро движущийся воздух на поверхности. сверху или снизу. Другая проблема состоит в том, что когда воздух выходит изо рта демонстратора, он имеет такое же давление, как и окружающий воздух; воздух не имеет более низкого давления только потому, что он движется; в демонстрации статическое давление воздуха, выходящего изо рта демонстратора, равно давлению окружающего воздуха. Третья проблема состоит в том, что неверно устанавливать связь между потоком на двух сторонах листа, используя уравнение Бернулли, поскольку воздух сверху и снизу - это разные поля потока, а принцип Бернулли применим только внутри поля потока.
Поскольку формулировка принципа может изменить его значение, важно правильно сформулировать принцип. Фактически принцип Бернулли говорит о том, что в потоке постоянной энергии, когда жидкость протекает через область более низкого давления, она ускоряется, и наоборот. Таким образом, принцип касается Бернулли себя с изменениями в скорости и изменения давления внутри поля течения. Его нельзя использовать для сравнения различных полей потока.
Правильное объяснение того, почему бумага поднимается вверх, будет означать, что шлейф следует изгибу бумаги и что изогнутая линия тока будет создавать градиент давления, перпендикулярный направлению потока, с более низким давлением на внутренней стороне кривой. Принцип Бернулли предсказывает, что уменьшение давления связано с увеличением скорости, то есть, когда воздух проходит над бумагой, он ускоряется и движется быстрее, чем он двигался, когда он покидал пасть демонстранта. Но из демонстрации этого не видно.
Другие распространенные демонстрации в классе, такие как дуновение между двумя подвешенными сферами, надувание большого мешка или подвешивание мяча в воздушном потоке, иногда объясняются аналогичным образом неверно, говоря, что «быстрее движущийся воздух имеет более низкое давление».