В физике, граница Бекенштейна (названа в честь Якоба Бекенштейна ) - это верхний предел энтропии S или информации I, которая может содержаться в заданной конечной области пространства, имеющей конечное количество энергии - или, наоборот, максимальный объем информации, необходимый для точного описания данной физической системы вплоть до квантового уровня. Это означает, что информация о физической системе или информация, необходимая для точного описания этой системы, должна быть конечной, если область пространства и энергия конечны. В информатике это означает, что существует максимальная скорость обработки информации (предел Бремермана ) для физической системы, которая имеет конечный размер и энергию, и что Тьюринга машина с конечными физическими размерами и неограниченной памятью физически невозможна.
Универсальная форма границы была первоначально найдена Якобом Бекенштейном как неравенство
где S - энтропия, k - постоянная Больцмана, R - радиус сферы, которая может охватывать данную систему, E - это общая масса – энергия, включая любые массы покоя, ħ - приведенное значение Планка. константа, а c - скорость света. Обратите внимание, что хотя гравитация играет значительную роль в ее применении, выражение для границы не содержит гравитационную постоянную G.
В информационных терминах, при S = k · I · ln 2, граница определяется как
где I - информация, выраженная в количестве бит, содержащихся в квантовых состояниях в сфере. Фактор ln 2 происходит от определения информации как логарифма по основанию 2 числа квантовых состояний. Используя эквивалент массы и энергии, информационный предел можно переформулировать как
где - масса (в кг), а - радиус (в метрах) системы.
Бекенштейн вывел границу на основе эвристических аргументов, касающихся черных дыр. Бекенштейн утверждал, что если существует система, которая нарушает границы, то есть из-за слишком большой энтропии, можно было бы нарушить второй закон термодинамики, опустив ее в черную дыру. В 1995 году Тед Якобсон продемонстрировал, что уравнения поля Эйнштейна (т. Е. общая теория относительности ) могут быть получены, если предположить, что граница Бекенштейна и законы термодинамики верны. Тем не менее, несмотря на то, что был разработан ряд аргументов, которые показывают, что для того, чтобы законы термодинамики и общей теории относительности были взаимно согласованными, должна существовать какая-то форма границы, точная формулировка границы была предметом споров до работы Казини в 2008 году..
Доказательство связи Бекенштейна в рамках квантовой теории поля было дано в 2008 году Казини. Одним из важнейших выводов доказательства было найти правильную интерпретацию величин, фигурирующих по обе стороны границы.
Наивные определения энтропии и плотности энергии в квантовой теории поля страдают от ультрафиолетовых расхождений. В случае границы Бекенштейна ультрафиолетовых расхождений можно избежать, взяв разницу между величинами, вычисленными в возбужденном состоянии, и теми же величинами, вычисленными в вакуумном состоянии. Например, учитывая пространственную область , Казини определяет энтропию в левой части границы Бекенштейна как
где - фон Энтропия Неймана для приведенной матрицы плотности , связанной с в возбужденном состоянии и - соответствующая энтропия фон Неймана для вакуумного состояния. .
С правой стороны границы Бекенштейна трудный момент состоит в том, чтобы дать строгую интерпретацию величины , где - характерный масштаб длины системы, а - характерная энергия. Этот продукт имеет те же единицы измерения, что и генератор повышения Лоренца, и естественным аналогом повышения в этой ситуации является состояние вакуума . Казини определяет правую часть границы Бекенштейна как разницу между математическим ожиданием модульного гамильтониана в возбужденном состоянии и в вакууме,
С этими определениями граница имеет вид
, который можно изменить так, чтобы получить
Это просто утверждение о положительности относительной энтропии, которое доказывает границу Бекенштейна.
Бывает, что граничная энтропия Бекенштейна – Хокинга трехмерных черных дыр точно насыщает граница
где - постоянная Больцмана, A - двумерная область горизонта событий черной дыры в единицах Планка. area, .
Граница тесно связана с термодинамика черной дыры, голографический принцип и ковариантная энтропийная граница квантовой гравитации, и могут быть выведены из предполагаемой сильной формы последний.
В среднем человеческий мозг имеет массу 1,5 кг и объем 1260 см. Если мозг аппроксимировать сферой, то радиус будет 6,7 см.
Информационная граница Бекенштейна будет около 2,6 × 10 битов и представляет собой максимальную информацию, необходимую для точного воссоздания среднего человеческого мозга до квантового уровня. Это означает, что число из состояний человеческого мозга должно быть меньше .