Граница Бекенштейна

редактировать

В физике, граница Бекенштейна (названа в честь Якоба Бекенштейна ) - это верхний предел энтропии S или информации I, которая может содержаться в заданной конечной области пространства, имеющей конечное количество энергии - или, наоборот, максимальный объем информации, необходимый для точного описания данной физической системы вплоть до квантового уровня. Это означает, что информация о физической системе или информация, необходимая для точного описания этой системы, должна быть конечной, если область пространства и энергия конечны. В информатике это означает, что существует максимальная скорость обработки информации (предел Бремермана ) для физической системы, которая имеет конечный размер и энергию, и что Тьюринга машина с конечными физическими размерами и неограниченной памятью физически невозможна.

Уравнения

Универсальная форма границы была первоначально найдена Якобом Бекенштейном как неравенство

S ≤ 2 π k RE ℏ c, {\ displaystyle S \ leq { \ frac {2 \ pi kRE} {\ hbar c}},}{\ displaystyle S \ leq {\ frac {2 \ pi kRE} {\ hbar c}},}

где S - энтропия, k - постоянная Больцмана, R - радиус сферы, которая может охватывать данную систему, E - это общая масса – энергия, включая любые массы покоя, ħ - приведенное значение Планка. константа, а c - скорость света. Обратите внимание, что хотя гравитация играет значительную роль в ее применении, выражение для границы не содержит гравитационную постоянную G.

В информационных терминах, при S = ​​k · I · ln 2, граница определяется как

I ≤ 2 π RE ℏ c ln ⁡ 2, {\ displaystyle I \ leq {\ frac {2 \ pi RE} {\ hbar c \ ln 2}},}{\ displaystyle I \ leq {\ frac {2 \ pi RE} {\ hbar c \ ln 2}},}

где I - информация, выраженная в количестве бит, содержащихся в квантовых состояниях в сфере. Фактор ln 2 происходит от определения информации как логарифма по основанию 2 числа квантовых состояний. Используя эквивалент массы и энергии, информационный предел можно переформулировать как

I ≤ 2 π c RM ℏ ln ⁡ 2 ≈ 2,5769082 × 10 43 бит кг ⋅ м ⋅ M ⋅ R, {\ displaystyle I \ leq {\ frac {2 \ pi cRM} {\ hbar \ ln 2}} \ приблизительно 2,5769082 \ times 10 ^ {43} \ {\ frac {\ text {bit}} {{\ text {kg}} \ cdot {\ text {m}}}} \ cdot M \ cdot R,}{\ displaystyle I \ leq {\ frac {2 \ pi cRM} {\ hbar \ ln 2}} \ приблизительно 2,5769082 \ times 10 ^ {43} \ {\ frac {\ text {bit}} {{\ text {kg}} \ cdot {\ text {m}}}} \ cdot M \ cdot R,}

где M {\ displaystyle M}M - масса (в кг), а R { \ displaystyle R}R - радиус (в метрах) системы.

Origins

Бекенштейн вывел границу на основе эвристических аргументов, касающихся черных дыр. Бекенштейн утверждал, что если существует система, которая нарушает границы, то есть из-за слишком большой энтропии, можно было бы нарушить второй закон термодинамики, опустив ее в черную дыру. В 1995 году Тед Якобсон продемонстрировал, что уравнения поля Эйнштейна (т. Е. общая теория относительности ) могут быть получены, если предположить, что граница Бекенштейна и законы термодинамики верны. Тем не менее, несмотря на то, что был разработан ряд аргументов, которые показывают, что для того, чтобы законы термодинамики и общей теории относительности были взаимно согласованными, должна существовать какая-то форма границы, точная формулировка границы была предметом споров до работы Казини в 2008 году..

Доказательство в квантовой теории поля

Доказательство связи Бекенштейна в рамках квантовой теории поля было дано в 2008 году Казини. Одним из важнейших выводов доказательства было найти правильную интерпретацию величин, фигурирующих по обе стороны границы.

Наивные определения энтропии и плотности энергии в квантовой теории поля страдают от ультрафиолетовых расхождений. В случае границы Бекенштейна ультрафиолетовых расхождений можно избежать, взяв разницу между величинами, вычисленными в возбужденном состоянии, и теми же величинами, вычисленными в вакуумном состоянии. Например, учитывая пространственную область V {\ displaystyle V}V , Казини определяет энтропию в левой части границы Бекенштейна как

SV = S (ρ V) - S (ρ В 0) знак равно - тр (ρ V журнал ⁡ ρ V) + тр (ρ V 0 журнал ⁡ ρ V 0) {\ Displaystyle S_ {V} = S (\ rho _ {V}) - S (\ rho _ {V} ^ {0}) = - \ mathrm {tr} (\ rho _ {V} \ log \ rho _ {V}) + \ mathrm {tr} (\ rho _ {V} ^ {0} \ log \ rho _ {V} ^ {0})}{\ displaystyle S_ {V} = S ( \ rho _ {V}) - S (\ rho _ {V} ^ {0}) = - \ mathrm {tr} (\ rho _ {V} \ log \ rho _ {V}) + \ mathrm {tr} (\ rho _ {V} ^ {0} \ log \ rho _ {V} ^ {0})}

где S (ρ V) {\ displaystyle S (\ rho _ {V})}{\ displaystyle S (\ rho _ {V})} - фон Энтропия Неймана для приведенной матрицы плотности ρ V {\ displaystyle \ rho _ {V}}\ rho_V , связанной с V {\ displaystyle V}V в возбужденном состоянии ρ {\ displaystyle \ rho}\ rho и S (ρ V 0) {\ displaystyle S (\ rho _ {V} ^ {0})}{\ displaystyle S (\ rho _ {V} ^ {0})} - соответствующая энтропия фон Неймана для вакуумного состояния. ρ 0 {\ displaystyle \ rho ^ {0}}\ rho ^ {0} .

С правой стороны границы Бекенштейна трудный момент состоит в том, чтобы дать строгую интерпретацию величины 2 π RE {\ displaystyle 2 \ pi RE}{\ displaystyle 2 \ pi RE} , где R { \ displaystyle R}R - характерный масштаб длины системы, а E {\ displaystyle E}E - характерная энергия. Этот продукт имеет те же единицы измерения, что и генератор повышения Лоренца, и естественным аналогом повышения в этой ситуации является состояние вакуума K = - log ⁡ ρ V 0 {\ displaystyle K = - \ log \ rho _ {V} ^ {0}}{\ displaystyle K = - \ log \ rho _ {V} ^ {0}} . Казини определяет правую часть границы Бекенштейна как разницу между математическим ожиданием модульного гамильтониана в возбужденном состоянии и в вакууме,

KV = tr (K ρ V) - tr (K ρ V 0). {\ displaystyle K_ {V} = \ mathrm {tr} (K \ rho _ {V}) - \ mathrm {tr} (K \ rho _ {V} ^ {0}).}{\ displaystyle K_ {V} = \ mathrm {tr} (K \ rho _ {V}) - \ mathrm {tr} (K \ rho _ {V} ^ {0}).}

С этими определениями граница имеет вид

SV ≤ KV, {\ displaystyle S_ {V} \ leq K_ {V},}{\ displaystyle S_ {V} \ leq K_ {V},}

, который можно изменить так, чтобы получить

tr (ρ V log ⁡ ρ V) - tr (ρ V журнал ⁡ ρ В 0) ≥ 0. {\ Displaystyle \ mathrm {tr} (\ rho _ {V} \ log \ rho _ {V}) - \ mathrm {tr} (\ rho _ {V} \ log \ rho _ {V} ^ {0}) \ geq 0.}{\ displaystyle \ mathrm {tr} (\ rho _ {V} \ log \ rho _ { V}) - \ mathrm {tr} (\ rho _ {V} \ log \ rho _ {V} ^ {0}) \ geq 0.}

Это просто утверждение о положительности относительной энтропии, которое доказывает границу Бекенштейна.

Примеры

Черные дыры

Бывает, что граничная энтропия Бекенштейна – Хокинга трехмерных черных дыр точно насыщает граница

rs = 2 GM c 2, {\ displaystyle r_ {s} = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}},}{\ displaystyle r_ {s} = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}},}
A = 4 π rs 2 = 16 π G 2 M 2 c 4, {\ displaystyle A = 4 \ pi r_ {s} ^ {2} = {\ frac {16 \ pi G ^ {2} M ^ {2}} {c ^ {4}}},}{\ displaystyle A = 4 \ pi r_ {s} ^ {2} = {\ frac {16 \ pi G ^ {2 } M ^ {2}} {c ^ {4}}},}
l п 2 знак равно ℏ G / c 3, {\ displaystyle l_ {P} ^ {2} = \ hbar G / c ^ {3},}{\ displaystyle l_ {P} ^ {2} = \ hbar G / c ^ {3},}
S = k A 4 l P 2 = 4 π к GM 2 ℏ с, {\ displaystyle S = {\ frac {kA} {4l_ {P} ^ {2}}} = {\ frac {4 \ pi kGM ^ {2}} {\ hbar c}},}{\ displaystyle S = {\ frac {kA} {4l_ {P} ^ {2 }}} = {\ frac {4 \ pi kGM ^ {2}} {\ hba rc}},}

где k {\ displaystyle k}k - постоянная Больцмана, A - двумерная область горизонта событий черной дыры в единицах Планка. area, l P 2 = ℏ G / c 3 {\ displaystyle l_ {P} ^ {2} = \ hbar G / c ^ {3}}{\ displaystyle l_ {P } ^ {2} = \ hbar G / c ^ {3}} .

Граница тесно связана с термодинамика черной дыры, голографический принцип и ковариантная энтропийная граница квантовой гравитации, и могут быть выведены из предполагаемой сильной формы последний.

Человеческий мозг

В среднем человеческий мозг имеет массу 1,5 кг и объем 1260 см. Если мозг аппроксимировать сферой, то радиус будет 6,7 см.

Информационная граница Бекенштейна будет около 2,6 × 10 битов и представляет собой максимальную информацию, необходимую для точного воссоздания среднего человеческого мозга до квантового уровня. Это означает, что число O = 2 I {\ displaystyle O = 2 ^ {I}}{\ displaystyle O = 2 ^ {I}} из состояний человеческого мозга должно быть меньше ≈ 10 7,8 × 10 41 {\ displaystyle \ приблизительно 10 ^ {7,8 \ times 10 ^ {41}}}\ приблизительно 10 ^ {7,8 \ times 10 ^ {41}} .

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-12 10:10:42
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте