Машина для фасоли

редактировать

Машина для фасоли

Воспроизвести медиа Коробка Гальтона в движении

Машина для фасоли, также известная как Доска Гальтона или quincunx, это устройство, изобретенное сэром Фрэнсисом Гальтоном для демонстрации центральной предельной теоремы, в частности что при достаточном размере выборки биномиальное распределение приближается к нормальному распределению. Среди его приложений он предоставил понимание регрессии к среднему или «регрессии к посредственности».

Содержание

1 Описание
2 Распределение бус
3 Примеры
4 История
5 Игры
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Описание

Доска Galton Board состоит из вертикальной доски с чередующимися рядами колышков. Бусинки падают сверху и, когда устройство выровнено, подпрыгивают влево или вправо при ударе о колышки. В конце концов они собираются в бункеры внизу, где высота столбиков шариков, накапливаемых в бункерах, приблизительно равна колоколообразной кривой. Наложение треугольника Паскаля на контакты показывает количество различных путей, которые можно пройти, чтобы добраться до каждого бункера.

Крупномасштабные рабочие модели этого устройства, созданные Чарльзом и Рэем Имса можно увидеть на экспонатах Mathematica: A World of Numbers... and Beyond, которые постоянно выставлены на обозрение в Бостонском музее науки, New York Hall of Science, или Музей Генри Форда. Другая крупномасштабная версия отображается в вестибюле Index Fund Advisors в Ирвине, Калифорния.

Бин-машины могут быть сконструированы для других распределений, изменив форму контактов или смещая их в сторону в одном направлении (возможны даже бимодальные машины для фасоли. Машина для фасоли для логнормального распределения (часто встречается в многих естественных процессах, особенно в биологических), в которой используются равнобедренные треугольники различной ширины Якобус Каптейн разработал метод «умножения» расстояния, на которое проходит бусинка вместо шагов фиксированного размера, которые «суммируются», при изучении и популяризации статистики логарифмической нормы, чтобы помочь визуализировать ее и продемонстрировать его правдоподобность. По состоянию на 1963 год он хранился в Университете Гронингена. Усовершенствованная машина для обработки бобов с нормальным логарифмическим соотношением, использующая скошенные треугольники, что позволяет избежать смещения медианы бусинок влево.

Распределение бусин

Если бусинка на своем пути отскакивает вправо k раз вниз (и влево на оставшихся колышках) он попадает в k-й бункер, считая слева. Обозначая количество рядов колышков на доске Гальтона n, количество путей к k-му ячейке внизу дается с помощью биномиального коэффициента $(nk) {\ displaystyle {n \ choose k}}$ ${n \ choose k}$ . Обратите внимание, что крайний левый бункер - это 0-бункер, рядом с ним - 1-бункер и т. Д., А самый дальний справа - это n-бункер, в результате чего общее количество бинов равно n + 1 (каждая строка не нужно иметь больше колышков, чем число, которое идентифицирует саму строку, например, первая строка имеет 1 привязку, вторая 2 привязки, до n-й строки, которая имеет n стержней, соответствующих n + 1 ячейкам). Если вероятность отскочить вправо от колышка равна p (что равняется 0,5 на машине несмещенного уровня), вероятность того, что мяч окажется в k-м бункере, равна $(nk) pk (1 - p) n - k {\ displaystyle {п \ выбрать k} p ^ {k} (1-p) ^ {nk}}$ ${n \ choose k} p ^ {k} (1-p) ^ {nk}$ . Это функция массы вероятности биномиального распределения. Количество строк соответствует размеру биномиального распределения по количеству попыток, в то время как вероятность p каждой булавки равна p биномиального распределения.

Согласно центральной предельной теореме (точнее, теореме де Муавра – Лапласа ), биномиальное распределение приближается к нормальному распределению при условии, что количество строк и количество шаров у обоих большое. Изменение строк приведет к различным стандартным отклонениям или ширине колоколообразной кривой или нормальному распределению в ячейках.

Примеры

Доска Гальтона (7,5 дюйма на 4,5 дюйма)
До и после вращения
Рабочая копия машины (немного измененная конструкция)
Машина для производства фасоли, как нарисовано сэром Фрэнсисом Гальтоном

История

Сэр Фрэнсис Гальтон был очарован порядком кривой кривой, которая возникает из очевидного хаоса бусинок, отскакивающих от колышков на доске Гальтона. Он красноречиво описал эти отношения в своей книге «Естественное наследование» (1889 г.):

Порядок в кажущемся хаосе: Я не знаю ничего, что могло бы впечатлить воображение как чудесная форма космического порядка, выраженная Законом Частоты Ошибок. Закон был бы олицетворен греками и обожествлен, если бы они знали о нем. Он царит безмятежно и в полном самоуничижении среди самой дикой неразберихи. Чем больше толпа и чем больше очевидная анархия, тем совершеннее ее власть. Это высший закон безрассудства. Всякий раз, когда берется большая выборка хаотических элементов и выстраивается в порядке их величины, неожиданная и самая красивая форма регулярности оказывается скрытой все время.

Игры

Несколько игр было разработан с использованием идеи булавок, изменяющих направление движения мячей или других объектов:

Ссылки

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с ящиком Гальтона.