Войти
В математике дисциплине теории меры, мера Банаха - это определенный тип содержимого, используемый для формализации геометрической области в задачах, уязвимых к t аксиома выбора.
Традиционно интуитивные понятия площади формализуются как классическая счетно-аддитивная мера. Это приводит к неудачному результату, так как в некоторые наборы остаются без четко определенной области; как следствие, некоторые геометрические преобразования не оставляют площади неизменной, что составляет суть парадокса Банаха-Тарского. Мера Банаха - это тип обобщенной меры, позволяющей решить эту проблему.
A Банахова мера на множестве Ω - это конечная мера μ ≠ 0 на ℘ (Ω), множестве степеней Ω, такая, что μ ({ω}) = 0 для любого ω ∈ Ω.
Банахова мера на Ω, принимающая значения в {0, 1}, называется мерой Улама на Ω.
Как показывает парадокс Виталия, банаховы меры не могут быть усилены до счетно-аддитивных.
Стефан Банах показал, что можно определить меру Банаха для евклидовой плоскости, совместимую с обычной мерой Лебега. Существование этой меры доказывает невозможность парадокса Банаха – Тарского в двух измерениях: невозможно разложить двумерное множество конечной меры Лебега на конечное число множеств, которые можно собрать в множество с другой мерой, поскольку это нарушило бы свойства меры Банаха, которая расширяет меру Лебега.
.
