Аксиома

редактировать

Утверждение, принятое за истинное

аксиома, постулат или предположение - это утверждение, которое принимается за истина, чтобы служить предпосылкой или отправной точкой для дальнейших рассуждений и аргументов. Слово происходит от греческого axíōma (ἀξίωμα ) «то, что считается достойным или подходящим» или «то, что считает себя очевидным».

Термин имеет тонкие различия в определении при использовании в контексте разных областей обучения. Как определено в классической философии, аксиома - это утверждение, которое настолько очевидно или хорошо установлено, что принимается без споров или вопросов. В современной логике аксиома - это предпосылка или отправная точка для рассуждений.

В математике термин аксиома используется в двух связанных, но различимых смыслы: «логические аксиомы» и «нелогические аксиомы». Логические аксиомы обычно представляют собой утверждения, которые считаются истинными в рамках системы логики, которую они определяют, и часто отображаются в символической форме (например, (A и B) подразумевают A), в то время как нелогические аксиомы (например, a + b = b + a) на самом деле являются существенными утверждениями об элементах области конкретной математической теории (например, арифметика ).

В последнем смысле слова «аксиома», «постулат» и «допущение» могут использоваться как синонимы. В большинстве случаев нелогическая аксиома - это просто формальное логическое выражение, используемое в дедукции для построения математической теории, и может быть или не быть самоочевидным по своей природе (например, параллельный постулат в Евклидова геометрия ). Аксиоматизировать систему знаний - значит показать, что ее утверждения могут быть выведены из небольшого, хорошо понятного набора предложений (аксиом), и может быть несколько способов аксиоматизировать данную математическую область.

Любая аксиома - это утверждение, которое служит отправной точкой, из которой логически выводятся другие утверждения. Имеет ли смысл (и если да, то что это значит), что аксиома «истинна», является предметом споров в философии математики.

Содержание

1 Этимология
2 Историческое развитие
- 2.1 Ранние греки
- 2.2 Современное развитие
- 2.3 Другие науки
3 Математическая логика
- 3.1 Логические аксиомы
  - 3.1.1 Примеры
    - 3.1.1.1 Логика высказываний
    - 3.1. 1.2 Логика первого порядка
- 3.2 Нелогические аксиомы
  - 3.2.1 Примеры
    - 3.2.1.1 Арифметика
    - 3.2.1.2 Евклидова геометрия
    - 3.2.1.3 Реальный анализ
- 3.3 Роль в математике логика
  - 3.3.1 Дедуктивные системы и полнота
- 3.4 Дальнейшее обсуждение
4 См. также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Дополнительная литература
8 Внешние ссылки

Этимология

Слово аксиома происходит от греческого слова ἀξίωμα (axíōma), глагольного существительного от глагола ἀξιόειν (axioein), означающего «считать достойным», но также «требовать», что, в свою очередь, происходит от ξιος (áxios), что означает «находиться в равновесии» и, следовательно, «иметь ( то же) значение (как) "," достойный "," надлежащий ". Среди древнегреческих философов аксиома была утверждением, которое можно было рассматривать как самоочевидную истину без каких-либо доказательств.

Корневое значение слова постулат - «требовать»; например, Евклид требует, чтобы кто-то согласился с тем, что некоторые вещи могут быть выполнены (например, любые две точки могут быть соединены прямой линией).

Древние геометры поддерживали некоторое различие между аксиомами и постулатами. Комментируя книги Евклида, Прокл отмечает, что «Близнец считал, что этот [4-й] постулат следует классифицировать не как постулат, а как аксиому, поскольку это не так, как первые три постулата утверждают возможность некоторой конструкции, но выражают существенное свойство ». Боэций перевел« постулат »как petitio и назвал аксиомы notiones communes, но в более поздних рукописях это употребление не всегда строго соблюдалось.

Историческое развитие

Ранние греки

Логико-дедуктивный метод, посредством которого выводы (новые знания) следуют из предпосылок (старых знаний) посредством применения веских аргументов (силлогизмы, правила вывода) были разработаны древними греками и стали основным принципом современной математики. Тавтологии исключены, ничего нельзя вывести, если ничего не предполагается. Таким образом, аксиомы и постулаты являются основными допущениями, лежащими в основе данной совокупности дедуктивных знаний. Они принимаются без демонстрации. Все остальные утверждения (теоремы в случае математики) должны быть доказаны с помощью этих основных предположений. Однако интерпретация математических знаний изменилась с древних времен до наших дней, и, следовательно, термины аксиома и постулат имеют несколько иное значение для современного математика, чем для Аристотеля и Евклида..

Древние греки считали геометрию лишь одной из нескольких наук и ставили геометрические теоремы наравне с научными фактами. Таким образом, они разработали и использовали логико-дедуктивный метод как средство предотвращения ошибок, а также для структурирования и передачи знаний. Апостериорная аналитика Аристотеля - это окончательное изложение классической точки зрения.

«Аксиома» в классической терминологии относится к самоочевидному предположению, общему для многих отраслей науки. Хорошим примером может служить утверждение, что

Когда равная сумма берется из равных, получается равная сумма.

В основе различных наук лежат некоторые дополнительные гипотезы, которые были приняты без доказательства. Такая гипотеза получила название постулата. Хотя аксиомы были общими для многих наук, постулаты каждой отдельной науки были разными. Их достоверность должна была быть установлена на основе реального опыта. Действительно, Аристотель предупреждает, что содержание науки не может быть успешно передано, если ученик сомневается в истинности постулатов.

Классический подход хорошо иллюстрируется Элементами Евклида, где дается список постулатов (здравые геометрические факты, извлеченные из нашего опыта), за которым следует список «общих понятий» (очень основные, самоочевидные утверждения).

Постулаты

Можно провести прямую из любой точки в любую другую точку.
Можно непрерывно удлинить отрезок прямой в обоих направлениях.
Можно описать окружность с любым центром и любым радиусом.
Это правда, что все прямые углы равны друг другу.
("Параллельный постулат ") Это правда, что если прямая линия, падающая на две прямые, делает внутренние углы на одной стороне меньше двух прямых углов, две прямые линии, если они построены на неопределенное время пересекает на той стороне, на которой углы меньше двух прямых углов.

Общие понятия

Вещи, которые равны одному и тому же, также равны
Если равные складываются с равными, целые равны.
Если равные вычитаются из равных, остатки равны.
Вещи, которые совпадают с одним другие равны друг другу.
Все отлично

Современное развитие

Урок, усвоенный математикой за последние 150 лет, состоит в том, что полезно лишить математические утверждения (аксиомы, постулаты, утверждения, теоремы) и определения. Следует признать необходимость примитивных понятий или неопределенных терминов или понятий в любом исследовании. Такая абстракция или формализация делает математические знания более общими, способными иметь несколько различных значений и, следовательно, полезными в разных контекстах. Алессандро Падоа, Марио Пьери и Джузеппе Пеано были пионерами в этом движении.

Структуралистская математика идет дальше и развивает теории и аксиомы (например, теория поля, теория групп, топология, векторные пространства ) без какого-либо конкретного применения. Различие между «аксиомой» и «постулатом» исчезает. Постулаты Евклида выгодно мотивированы утверждением, что они приводят к огромному количеству геометрических фактов. Истинность этих сложных фактов основывается на принятии основных гипотез. Однако, отбросив пятый постулат Евклида, можно получить теории, которые имеют значение в более широком контексте (например, гиперболическая геометрия ). Таким образом, нужно просто быть готовым использовать такие ярлыки, как «линия» и «параллель», с большей гибкостью. Развитие гиперболической геометрии научило математиков тому, что постулаты полезно рассматривать как чисто формальные утверждения, а не как факты, основанные на опыте.

Когда математики используют аксиомы поля , намерения становятся еще более абстрактными. Положения теории поля не касаются какого-либо конкретного приложения; математик теперь работает в полной абстракции. Есть много примеров полей; теория поля дает правильные знания обо всех них.

Неправильно говорить, что аксиомы теории поля - это «утверждения, которые считаются истинными без доказательства». Скорее, аксиомы поля - это набор ограничений. Если какая-либо данная система сложения и умножения удовлетворяет этим ограничениям, то можно мгновенно узнать много дополнительной информации об этой системе.

Современная математика формализует свои основы до такой степени, что математические теории можно рассматривать как математические объекты, а саму математику можно рассматривать как ветвь логики. Фреге, Рассел, Пуанкаре, Гильберт и Гёдель - вот некоторые из ключевых фигур в этом развитии.

Еще один урок современной математики - это тщательная проверка предполагаемых доказательств на предмет скрытых предположений.

В современном понимании набор аксиом - это любая совокупность официально сформулированных утверждений, из которых следуют другие формально сформулированные утверждения - путем применения определенных четко определенных правил. С этой точки зрения логика становится просто еще одной формальной системой. Набор аксиом должен быть непротиворечивым ; вывести противоречие из аксиомы должно быть невозможно. Набор аксиом также должен быть неизбыточным; утверждение, которое можно вывести из других аксиом, не нужно рассматривать как аксиому.

Современные логики изначально надеялись, что различные разделы математики, а возможно, и вся математика, могут быть выведены из последовательного набора основных аксиом. Ранним успехом формалистической программы была формализация Гильбертом евклидовой геометрии и связанная с этим демонстрация непротиворечивости этих аксиом.

В более широком контексте была попытка основать всю математику на теории множеств Кантора . Здесь появление парадокса Рассела и подобных антиномий теории наивных множеств повысило вероятность того, что любая такая система может оказаться несовместимой.

Формалистический проект потерпел решительную неудачу, когда в 1931 году Гёдель показал, что для любого достаточно большого набора аксиом (аксиом Пеано, например) возможно построить утверждение, истинность которого не зависит от этого набора аксиом. В качестве следствия, Гёдель доказал, что непротиворечивость теории, подобной арифметике Пеано, является недоказуемым утверждением в рамках этой теории.

Разумно верить в непротиворечивость арифметики Пеано, потому что ей удовлетворяет система натуральных чисел, бесконечная, но интуитивно доступная формальная система. Однако в настоящее время нет известного способа продемонстрировать непротиворечивость современных аксиом Цермело – Френкеля для теории множеств. Кроме того, используя методы принуждения к (Коэн ), можно показать, что гипотеза континуума (Кантора) не зависит от аксиом Цермело – Френкеля. Таким образом, даже этот очень общий набор аксиом не может рассматриваться как окончательная основа математики.

Другие науки

Аксиомы играют ключевую роль не только в математике, но и в других науках, особенно в теоретической физике. В частности, монументальная работа Исаака Ньютона по существу основана на аксиомах Евклида, дополненных постулатом о несоответствии пространства-времени и физики происходящие в нем в любой момент.

В 1905 году аксиомы Ньютона были заменены аксиомами специальной теории относительности Альберта Эйнштейна, а позже аксиомами общей теории относительности.

Другой статья Альберта Эйнштейна и его сотрудников (см. парадокс ЭПР ), почти сразу опровергнутая Нильсом Бором, касалась интерпретации квантовой механики. Это было в 1935 году. Согласно Бору, эта новая теория должна быть вероятностной, тогда как согласно Эйнштейну она должна быть детерминированной. Примечательно, что лежащая в основе квантово-механическая теория, то есть набор выведенных ею «теорем», казалась идентичной. Эйнштейн даже предположил, что достаточно добавить к квантовой механике «скрытые переменные», чтобы усилить детерминизм. Однако тридцать лет спустя, в 1964 году, Джон Белл нашел теорему, включающую сложные оптические корреляции (см. неравенства Белла ), которая с использованием аксиом Эйнштейна дала ощутимо разные результаты по сравнению с использованием аксиом Бора.. И потребовалось еще примерно двадцать лет, пока эксперимент Алена Аспекта не дал результатов в пользу аксиом Бора, а не Эйнштейна. (Аксиомы Бора просты: теория должна быть вероятностной в смысле копенгагенской интерпретации.)

Как следствие, нет необходимости явно цитировать аксиомы Эйнштейна, тем более что они касаются тонких моментов, касающихся «реальности» и «места проведения» экспериментов.

Тем не менее, роль аксиом в математике и в вышеупомянутых науках разная. В математике ни «доказывают», ни «опровергают» аксиому для набора теорем; Дело просто в том, что в концептуальной сфере, определяемой аксиомами, теоремы логически следуют. Напротив, в физике сравнение с экспериментом всегда имеет смысл, поскольку фальсифицированная физическая теория нуждается в модификации.

Математическая логика

В области математической логики проводится четкое различие между двумя понятиями аксиомы: логической и нелогической (что-то вроде древнего различия между «аксиомами» и «постулатами» соответственно).

Логические аксиомы

Это определенные формулы на формальном языке, которые универсально действительны, то есть формулы, которые удовлетворяются каждым присвоением значений. Обычно в качестве логических аксиом принимают по крайней мере некоторый минимальный набор тавтологий, достаточный для доказательства всех тавтологий языка; в случае логики предикатов больше логических аксиом, чем требуется, чтобы доказать логические истины, которые не являются тавтологиями в строгом смысле.

Примеры

Логика высказываний

В логике высказываний в качестве логических аксиом принято принимать все формулы следующих форм, где $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ , $χ {\ displaystyle \ chi}$ $\chi$ и $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\psi$ могут быть любыми формулами языка и где включены примитивные связки - это только « $¬ {\ displaystyle \ neg}$ $\neg$ » для отрицания следующего за ним предложения и « $→ {\ displaystyle \ to}$ $\ к$ "для импликации от антецедента до последующих предложений:

$ϕ → (ψ → ϕ) {\ displaystyle \ phi \ to (\ psi \ to \ phi) }$ $\phi \to (\psi \to \phi)$
$(ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ)) {\ displaystyle (\ phi \ to (\ psi \ to \ chi)) \ to ((\ phi \ to \ psi) \ to (\ phi \ to \ chi))}$ $(\phi \to (\psi \to \chi))\to ((\phi \to \psi)\to (\phi \to \chi))$
$(¬ ϕ → ¬ ψ) → (ψ → ϕ). {\ displaystyle (\ lnot \ phi \ to \ lnot \ psi) \ to (\ psi \ to \ phi).}$ $(\lnot \phi \to \lnot \psi)\to (\psi \to \phi).$

Каждый из этих шаблонов представляет собой схему аксиомы, правило для создания бесконечное количество аксиом. Например, если $A {\ displaystyle A}$ $A$ , $B {\ displaystyle B}$ $B$ и $C {\ displaystyle C}$ $C$ являются пропозициональными переменные, затем $A → (B → A) {\ displaystyle A \ to (B \ to A)}$ $A\to (B\to A)$ и $(A → ¬ B) → (C → ( A → ¬ B)) {\ displaystyle (A \ to \ lnot B) \ to (C \ to (A \ to \ lnot B))}$ $(A \ to \ lnot B) \ to (C \ to (A \ to \ lnot B))$ оба экземпляра схемы аксиомы 1 и, следовательно, являются аксиомы. Можно показать, что только с этими тремя схемами аксиом и modus ponens можно доказать все тавтологии исчисления высказываний. Также можно показать, что ни одной пары этих схем недостаточно для доказательства всех тавтологий с modus ponens.

В качестве альтернативы могут быть построены другие схемы аксиом, включающие одинаковые или разные наборы примитивных связок.

Эти схемы аксиом также используются в исчислении предикатов, но в дополнительных логических аксиомах необходимы для включения квантора в исчисление.

Логика первого порядка

Аксиома равенства. Пусть $L {\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}$ ${\ mathfrak {L}}$ быть языком первого порядка. Для каждой переменной $x {\ displaystyle x}$ $x$ формула

$x = x {\ displaystyle x = x}$ $x = x$

является универсальной.

Это означает, что для любого символа переменной $x, {\ displaystyle x \,,}$ $x \,,$ формула $x = x {\ displaystyle x = x }$ $x = x$ можно рассматривать как аксиому. Кроме того, в этом примере, чтобы не впадать в неопределенность и бесконечный ряд «примитивных понятий», либо точное представление о том, что мы подразумеваем под $x = x {\ displaystyle x = x}$ $x = x$ (или, если на то пошло, «быть равным») должно быть сначала четко определено, или чисто формальное и синтаксическое использование символа $= {\ displaystyle =}$ $=$ должно быть быть принудительным, рассматривая его только как строку и только строку символов, и математическая логика действительно это делает.

Другой, более интересный пример схемы аксиом - это тот, который предоставляет нам так называемую универсальную инстанциацию :

схему аксиом для универсальной инстанции. Учитывая формулу $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ в языке первого порядка $L {\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}$ ${\ mathfrak {L}}$ , переменная $x {\ displaystyle x}$ $x$ и term $t {\ displaystyle t}$ $t$ , который заменяется на $x { \ displaystyle x}$ $x$ в $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ , формула

$∀ x ϕ → ϕ tx {\ displaystyle \ forall x \, \ phi \ to \ phi _ {t} ^ {x}}$ $\forall x\,\phi \to \phi _{t}^{x}$

является универсальным.

Где символ $ϕ tx {\ displaystyle \ phi _ {t} ^ {x}}$ $\phi _{t}^{x}$ означает формулу $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ с термином $t {\ displaystyle t}$ $t$ , замененным на $x {\ displaystyle x}$ $x$ . (См. Замена переменных.) Говоря неформально, этот пример позволяет нам утверждать, что, если мы знаем, что определенное свойство $P {\ displaystyle P}$ $P$ выполняется для каждого $x {\ displaystyle x}$ $x$ и что $t {\ displaystyle t}$ $t$ обозначает конкретный объект в нашей структуре, тогда мы сможем заявить $П (т) {\ Displaystyle P (т)}$ $P(t)$ . Опять же, мы утверждаем, что формула $∀ x ϕ → ϕ tx {\ displaystyle \ forall x \ phi \ to \ phi _ {t} ^ {x}}$ $\forall x\phi \to \phi _{t}^{x}$ действительна, то есть мы должны быть в состоянии предоставить «доказательство» этого факта или, точнее говоря, метадоказательство. Фактически, эти примеры являются метатеоремами нашей теории математической логики, поскольку мы имеем дело с самой концепцией доказательства. Помимо этого, у нас также может быть экзистенциальное обобщение :

схема аксиом для экзистенциального обобщения. дана формула $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ на языке первого порядка $L {\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}$ ${\ mathfrak {L}}$ , переменная $x {\ displaystyle x}$ $x$ и член $t {\ displaystyle t }$ $t$ , который может быть заменен на $x {\ displaystyle x}$ $x$ в $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ , формула

$ϕ tx → ∃ x ϕ {\ displaystyle \ phi _ {t} ^ {x} \ to \ exists x \, \ phi}$ $\phi _{t}^{x}\to \exists x\,\phi$

является универсальным.

Нелогические аксиомы

Нелогические аксиомы - это формулы, которые играют роль допущений, специфичных для теории. Рассуждения о двух разных структурах, например, о натуральных числах и целых, могут включать одни и те же логические аксиомы; нелогические аксиомы стремятся уловить особенности конкретной структуры (или набора структур, таких как группы ). Таким образом, нелогические аксиомы, в отличие от логических, не являются тавтологиями. Другое название нелогической аксиомы - постулат.

Почти каждая современная математическая теория начинается с заданного набора нелогических аксиом, и считалось, что в принципе любая теория может быть аксиоматизированные таким образом и формализованные до голого языка логических формул.

Нелогические аксиомы часто называют аксиомами в математическом дискурсе. Это не означает, что утверждается, что они верны в каком-то абсолютном смысле. Например, в некоторых группах групповая операция коммутативна, и это можно утверждать с помощью введения дополнительной аксиомы, но без этой аксиомы мы можем довольно хорошо развить (более общую) теорию групп, и мы даже можем принять его отрицание как аксиому для изучения некоммутативных групп.

Таким образом, аксиома является элементарной основой для системы формальной логики, которая вместе с правилами вывода определяет дедуктивную систему.

Примеры

В этом разделе приведены примеры математических теорий, которые полностью разработаны на основе набора нелогических аксиом (аксиом, впредь). Строгое рассмотрение любой из этих тем начинается с уточнения этих аксиом.

Основные теории, такие как арифметика, реальный анализ и комплексный анализ, часто вводятся неаксиоматически, но явно или неявно предположение, что используемые аксиомы являются аксиомами теории множеств Цермело – Френкеля с выбором, сокращенно ZFC или какой-то очень похожей системы аксиоматической теории множеств, например, фон Неймана– Теория множеств Бернейса – Гёделя, консервативное расширение ZFC. Иногда используются несколько более сильные теории, такие как теория множеств Морса – Келли или теория множеств с сильно недоступным кардиналом, позволяющая использовать вселенную Гротендика, но на самом деле большинство математиков могут доказать все, что им нужно, в системах более слабых, чем ZFC, таких как арифметика второго порядка.

Изучение топологии в математике распространяется на все аспекты точечной топологии, алгебраической топология, дифференциальная топология и все сопутствующие атрибуты, такие как теория гомологии, теория гомотопии. Развитие абстрактной алгебры принесло с собой теорию групп, кольца, поля и теорию Галуа.

. Этот список можно расширить, включив в него большинство области математики, включая теорию меры, эргодическую теорию, вероятность, теорию представлений и дифференциальную геометрию.

арифметику

аксиомы Пеано являются наиболее широко используемой аксиоматизацией арифметики первого порядка. Это набор аксиом, достаточно сильный, чтобы доказать многие важные факты о теории чисел, и они позволили Гёделю установить его знаменитую вторую теорему о неполноте.

У нас есть язык $LNT = {0, S} {\ displaystyle {\ mathfrak {L}} _ {NT} = \ {0, S \}}$ ${\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}$ где $0 {\ displaystyle 0}$ $0$ - это постоянный символ, а $S {\ displaystyle S}$ $S$ - это унарная функция и следующие аксиомы:

$∀ x. ¬ (S Икс знак равно 0) {\ Displaystyle \ forall х. \ Lnot (Sx = 0)}$ $\forall x.\lnot (Sx=0)$
$∀ х. ∀ у. (S Икс знак равно S Y → Икс = Y) {\ Displaystyle \ forall x. \ Forall y. (Sx = Sy \ to x = y)}$ $\forall x.\forall y.(Sx=Sy\to x=y)$
$(ϕ (0) ∧ ∀ x. (Φ (x) → ϕ (S x))) → ∀ x. ϕ (Икс) {\ Displaystyle (\ phi (0) \ land \ forall x. \, (\ phi (x) \ to \ phi (Sx))) \ to \ forall x. \ phi (x)}$ ${\ displaystyle (\ phi (0) \ land \ forall x. \, (\ phi (x) \ to \ phi (Sx))) \ to \ forall x. \ phi (x)}$ для любой $LNT {\ displaystyle {\ mathfrak {L}} _ {NT}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} _ {NT} }$ формулы $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ с одним свободная переменная.

Стандартная структура: $N = ⟨N, 0, S⟩ {\ displaystyle {\ mathfrak {N}} = \ langle \ mathbb {N}, 0, S \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} = \ langle \ mathbb {N}, 0, S \ rangle}$ где $N {\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N }$ - это набор натуральных чисел, $S {\ displaystyle S}$ $S$ - функция-преемник и $0 {\ displaystyle 0}$ $0$ естественно интерпретируется как число 0.

Евклидова геометрия

Вероятно, самая старая и самая известная, список аксиом - это 4 + 1 постулаты Евклида плоской геометрии. Эти аксиомы обозначаются как «4 + 1», потому что почти два тысячелетия считалось, что пятый (параллельный) постулат («через точку вне прямой есть ровно одна параллель») выводится из первые четыре. В конце концов, пятый постулат оказался независимым от первых четырех. В самом деле, можно предположить, что существует ровно одна параллель, проходящая через точку вне прямой, или что существует бесконечное их количество. Этот выбор дает нам две альтернативные формы геометрии, в которых внутренние углы треугольника в сумме составляют ровно 180 градусов или меньше, соответственно, и известны как евклидовы и гиперболические. геометрии. Если также убрать второй постулат («линия может быть продолжена бесконечно»), тогда возникает эллиптическая геометрия, где нет параллели через точку вне линии, и в которой внутренние углы треугольника складываются до более 180 градусов.

Реальный анализ

Цели исследования относятся к области вещественных чисел. Действительные числа однозначно выбираются (до изоморфизма ) по свойствам полного упорядоченного поля Дедекинда, что означает, что любой непустой набор действительных чисел с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу. Однако выражение этих свойств в виде аксиом требует использования логики второго порядка. Теоремы Левенгейма-Сколема говорят нам, что если мы ограничимся логикой первого порядка, любая система аксиом для вещественных чисел допускает другие модели, включая обе модели, которые меньше, чем действительные числа, и модели большего размера. Некоторые из последних изучаются в нестандартном анализе.

Роль в математической логике

Дедуктивные системы и полнота

A дедуктивная система состоит из множества $Λ {\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ логических аксиом, набор $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\Sigma$ нелогических аксиом и набор ${(Γ, ϕ)} {\ displaystyle \ {(\ Gamma, \ phi) \}}$ $\{(\Gamma,\phi)\}$ правил вывода. Желательным свойством дедуктивной системы является то, что она полная . Система называется полной, если для всех формул $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ ,

$если Σ ⊨ ϕ, то Σ ⊢ ϕ {\ displaystyle {\ text {if}} \ Sigma \ models \ phi { \ text {then}} \ Sigma \ vdash \ phi}$ ${\text{if }}\Sigma \models \phi {\text{ then }}\Sigma \vdash \phi$

то есть для любого утверждения, которое является логическим следствием $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\Sigma$ , на самом деле существует вычитание оператор из $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\Sigma$ . Иногда это выражается как «все, что истинно, доказуемо», но следует понимать, что «истинное» здесь означает «истинное посредством набора аксиом», а не, например, «истинное в предполагаемой интерпретации». Теорема Гёделя о полноте устанавливает полноту определенного обычно используемого типа дедуктивной системы.

Обратите внимание, что «полнота» здесь имеет другое значение, чем в контексте первой теоремы Гёделя о неполноте, которая утверждает, что нет рекурсивного, непротиворечивого набора нелогических аксиом $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\Sigma$ теории арифметики является завершенным в том смысле, что всегда будет существовать арифметический оператор $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ такой, что ни $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ , ни $¬ ϕ {\ displaystyle \ lnot \ phi}$ ${\ displaystyle \ lnot \ phi}$ не могут быть доказаны с помощью данного набора аксиом.

Таким образом, существует, с одной стороны, понятие полноты дедуктивной системы, а с другой стороны - понятие полноты набора нелогических аксиом. Теорема о полноте и теорема о неполноте, несмотря на их названия, не противоречат друг другу.

Дальнейшее обсуждение

Ранние математики рассматривали аксиоматическую геометрию как модель физического пространства, и, очевидно, могло быть только одна такая модель. Идея о том, что альтернативные математические системы могут существовать, очень беспокоила математиков XIX века, и разработчики таких систем, как Булева алгебра, приложили значительные усилия, чтобы вывести их из традиционной арифметики. Галуа незадолго до своей безвременной смерти показал, что эти усилия были в значительной степени напрасными. В конце концов, абстрактные параллели между алгебраическими системами оказались важнее деталей, и так родилась современная алгебра. С современной точки зрения аксиомы могут быть любым набором формул, если не известно, что они противоречивы.

См. Также

Математический портал
Философский портал

Аксиоматическая система
Догма
Первый принцип, аксиома в науке и философии
Список аксиом
Теория моделей
Regul Juris
Теорема
Предпосылки
Физический закон
Принцип

Примечания

Ссылки

Дополнительная литература

Mendelson, Elliot ( 1987). Введение в математическую логику. Белмонт, Калифорния: Уодсворт и Брукс. ISBN 0-534-06624-0
Уилсон, Джон Кук (1889). Об эволюционистской теории аксиом. Oxford: Clarendon Press.

Внешние ссылки

Найдите axiom или , данный в Викисловаре, бесплатном словаре.

Wikisource содержит текст 1911 Encyclopædia Britannica статьи Axiom.