Авторегрессионная условная гетероскедастичность

В эконометрике авторегрессионная условная гетероскедастичность (ARCH ) модель - это статистическая модель для данных временного ряда, которая описывает дисперсию текущего члена ошибки или нововведение как функция фактических размеров ошибок в предыдущих периодах времени; часто дисперсия связана с квадратами предыдущих нововведений. Модель ARCH подходит, когда дисперсия ошибок во временном ряду соответствует модели авторегрессии (AR); если для дисперсии ошибок используется модель авторегрессионного скользящего среднего (ARMA), то модель является обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичностью (GARCH ) моделью.

Модели ARCH обычно используются при моделировании финансовых временных рядов, которые демонстрируют изменяющуюся во времени волатильность и кластеризацию волатильности, т.е. периоды качели, перемежающиеся периодами относительного затишья. Модели типа ARCH иногда считаются принадлежащими к семейству моделей стохастической волатильности, хотя это строго неверно, поскольку в момент t волатильность полностью предопределена (детерминирована) с учетом предыдущих значений.

Содержание

• 1 Спецификация модели ARCH (q)
• 2 GARCH
  • 2.1 Спецификация модели GARCH (p, q)
  • 2.2 NGARCH
    • 2.2.1 NAGARCH
  • 2.3 IGARCH
  • 2.4 EGARCH
  • 2,5 GARCH-M
  • 2,6 QGARCH
  • 2,7 GJR-GARCH
  • 2,8 Модель TGARCH
  • 2,9 fGARCH
  • 2,10 COGARCH
  • 2,11 ZD-GARCH
  • 2,12 Пространственный GARCH
• 3 Ссылки
• 4 Дополнительная литература

Спецификация модели ARCH (q)

Чтобы смоделировать временной ряд с использованием процесса ARCH, пусть $ϵ\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\; ~\; \}$обозначают условия ошибки (возвращаемые остатки по отношению к среднему процессу), то есть члены ряда. Эти $ϵ\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\; ~\}$разделены на стохастический кусок $zt\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{t\}\}$и зависящее от времени стандартное отклонение $\sigma \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\}$, характеризующее типичный размер терминов, так что

$ϵ\; t\; =\; \sigma \; tzt\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; z\_\; \{t\}\; ~\}$

Случайная величина $zt\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{t\}\}$представляет собой сильный белый шум процесс. Ряд $\sigma \; t\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\}$моделируется с помощью

$\sigma \; t\; 2\; =\; \alpha \; 0\; +\; \alpha \; 1\; ϵ\; t\; -\; 1\; 2\; +\; \cdots \; +\; \alpha \; Q\; ϵ\; T\; -\; Q\; 2\; знак\; равно\; \alpha \; 0\; +\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; Q\; \alpha \; я\; ϵ\; T\; -\; я\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\; \}\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; alpha\; \_\; \{q\}\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{tq\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{q\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{ti\}\; ^\; \{2\}\}$,

где $\alpha \; 0>0\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; alpha\; \_\; \{0\}>0\; ~\}$и $\alpha \; i\; \ge \; 0,\; я>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; \backslash \; geq\; 0,\; ~\; i>0\}$.

Модель ARCH (q) можно оценить с помощью обычных наименьших квадратов. Методология проверки длины запаздывания ошибок ARCH с использованием теста множителя Лагранжа была предложена Энглом (1982). Эта процедура выглядит следующим образом:

1. Оценить наиболее подходящую модель авторегрессии AR (q) $yt\; =\; a\; 0\; +\; a\; 1\; yt\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; aqyt\; -\; q\; +\; ϵ\; t\; =\; a\; 0\; +\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; qaiyt\; -\; я\; +\; ϵ\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{t\}\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; y\_\; \{t-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{q\}\; y\_\; \{tq\}\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{q\}\; a\_\; \{i\}\; y\_\; \{ti\}\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\}$.
2. Получить квадраты ошибки $ϵ\; ^\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; epsilon\}\}\; ^\; \{2\}\}$и регрессируйте их на постоянные и запаздывающие значения q:

   $ϵ\; ^\; t\; 2\; =\; \alpha \; ^\; 0\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; q\; \alpha \; ^\; я\; ϵ\; ^\; T\; -\; я\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; epsilon\}\}\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{q\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; epsilon\}\}\; \_\; \{ti\}\; ^\; \{2\}\}$

   где q - длина задержек ARCH.

3. нулевая гипотеза заключается в том, что в отсутствие компонентов ARCH мы имеем $\alpha \; i\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; =\; 0\}$для всех $я\; знак\; равно\; 1,\; \cdots ,\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,\; \backslash \; cdots,\; q\}$. Альтернативная гипотеза состоит в том, что при наличии компонентов ARCH, по крайней мере, один из оцененных коэффициентов $\alpha \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\}$должен быть значимым. В выборке T остатков при нулевой гипотезе об отсутствии ошибок ARCH, тестовая статистика T'R² следует распределению $\chi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; ^\; \{2\}\}$с q степенями свободы, где $T\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \text{'}\}$- количество уравнений в модели, которое соответствует остаткам и лагам (например, $T\; \prime \; =\; T\; -\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; T\text{'}\; =\; Tq\}$). Если T'R² больше, чем значение таблицы хи-квадрат, мы отклоняем нулевую гипотезу и делаем вывод о наличии эффекта ARCH в модели ARMA. Если T'R² меньше значения таблицы хи-квадрат, мы не отвергаем нулевую гипотезу.

GARCH

Если предполагается модель авторегрессионного скользящего среднего (ARMA) для дисперсии ошибки модель представляет собой модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH).

В этом случае модель GARCH (p, q) (где p - порядок членов GARCH $\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$, а q - порядок членов ARCH $ϵ\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{2\}\}$) в соответствии с обозначениями оригинальной статьи:

$yt\; =\; xt\; \prime \; b\; +\; ϵ\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{t\}\; =\; x\; \text{'}\_\; \{t\}\; b\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\}$

$ϵ\; t\; |\; \psi \; T\; -\; 1\; \sim \; N\; (0,\; \sigma \; T\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{t-1\}\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; (0,\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\})\}$

$\sigma \; t\; 2\; =\; \omega \; +\; \alpha \; 1\; ϵ\; t\; -\; 1\; 2\; +\; \cdots \; +\; \alpha \; q\; ϵ\; t\; -\; q\; 2\; +\; \beta \; 1\; \sigma \; t\; -\; 1\; 2\; +\; \cdots \; +\; \beta \; p\; \sigma \; t\; -\; p\; 2\; =\; \omega \; +\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; Q\; \alpha \; я\; ϵ\; T\; -\; я\; 2\; +\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; п\; \beta \; я\; \sigma \; T\; -\; я\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; omega\; +\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; alpha\; \_\; \{q\}\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{tq\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; beta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{2\; \}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; beta\; \_\; \{p\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{tp\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; omega\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{q\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{ti\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{p\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{i\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{ti\}\; ^\; \{2\}\}$

Как правило, при тестировании на гетероскедастичность в эконометрических моделях лучшим тестом является Тест белого. Однако при работе с данными временного ряда это означает проверку на ошибки ARCH и GARCH.

Экспоненциально взвешенное скользящее среднее (EWMA) - это альтернативная модель в отдельном классе моделей экспоненциального сглаживания. В качестве альтернативы моделированию GARCH он имеет некоторые привлекательные свойства, такие как больший вес по сравнению с недавними наблюдениями, но также и недостатки, такие как произвольный коэффициент затухания, который привносит субъективность в оценку.

Спецификация модели GARCH (p, q)

Длина задержки p процесса GARCH (p, q) устанавливается в три этапа:

1. Оценить наилучшее соответствие AR (q) модель

   $yt\; =\; a\; 0\; +\; a\; 1\; yt\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; aqyt\; -\; q\; +\; ϵ\; t\; =\; a\; 0\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; qaiyt\; -\; i\; +\; ϵ\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{t\}\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; y\_\; \{t-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{q\}\; y\_\; \{tq\}\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{q\}\; a\_\; \{i\; \}\; y\_\; \{ti\}\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\}$.

2. Вычислить и построить автокорреляцию $ϵ\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{2\}\}$по

   $\rho \; =\; \sum \; t\; =\; i\; +\; 1\; T\; (ϵ\; ^\; t\; 2\; -\; \sigma \; ^\; t\; 2)\; (ϵ\; ^\; t\; -\; 1\; 2\; -\; \sigma \; ^\; t\; -\; 1\; 2)\; \sum \; t\; =\; 1\; T\; (ϵ\; ^\; t\; 2\; -\; \sigma \; ^\; t\; 2)\; 2\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Rho\; =\; \{\{\backslash \; сумма\; \_\; \{т\; =\; я\; +\; 1\}\; ^\; \{T\}\; (\{\backslash \; шляпа\; \{\backslash \; epsilon\}\}\; \_\; \{т\}\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; шляпа\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \_\; \{т\; \}\; ^\; \{2\})\; (\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; epsilon\}\}\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{2\})\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; сумма\; \_\; \{t\; =\; 1\}\; ^\; \{T\}\; (\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; epsilon\}\}\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; \}\}\}$

3. Асимптотика, то есть для больших выборок, стандартное отклонение $\rho \; (i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (i)\}$равно $1\; /\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{T\}\}\}$. Отдельные значения, превышающие это, указывают на ошибки GARCH. Чтобы оценить общее количество задержек, используйте тест Льюнга-Бокса до тех пор, пока их значение не станет менее, чем, скажем, 10% значимости. Q-статистика Льюнга-Бокса следует $\chi 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; ^\; \{2\}\}$распределению с n степенями свободы, если квадраты остатков $ϵ\; t\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\}$не коррелированы. Рекомендуется учитывать значения n до T / 4. Нулевая гипотеза утверждает, что ошибок ARCH или GARCH нет. Таким образом, отклонение нуля означает, что такие ошибки существуют в условной дисперсии.

NGARCH

NAGARCH

Nonlinear Asymmetric GARCH (1,1) (NAGARCH ) является моделью со спецификацией:

$\sigma \; t\; 2\; =\; \omega \; +\; \alpha \; (ϵ\; t\; -\; 1\; -\; \theta \; \sigma \; t\; -\; 1)\; 2\; +\; \beta \; \sigma \; t\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\; \}\; =\; ~\; \backslash \; omega\; +\; ~\; \backslash \; alpha\; (~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\; -\; ~\; \backslash \; theta\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t-1\})\; ^\; \{2\}\; +\; ~\; \backslash \; beta\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{2\}\}$,

где $\alpha \; \ge \; 0,\; \beta \; \ge \; 0,\; \omega >0\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; alpha\; \backslash \; geq\; 0,\; ~\; \backslash \; beta\; \backslash \; geq\; 0,\; ~\; \backslash \; omega>0\}$(1 + θ 2) + β < 1 {\displaystyle ~\alpha (1+~\theta ^{2})+~\beta <1}, что обеспечивает неотрицательность и стационарность процесса отклонения.

Для доходности акций параметр $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; theta\}$обычно считается положительным; в этом случае он отражает явление, обычно называемое «эффектом кредитного плеча», означающее, что отрицательная доходность в будущем увеличится. волатильность в большей степени, чем положительная доходность той же величины.

Эту модель не следует путать с моделью NARCH вместе с расширением NGARCH, введенным Хиггинсом и Бера в 1992 году.

IGARCH

Интегрированная обобщенная авторегрессия Условная гетероскедастичность (IGARCH) - это ограниченная версия модели GARCH, где постоянные параметры суммируются до единицы и импортируют единичный корень в процесс GARCH. Условие для этого:

$\sum \; i\; =\; 1\; p\; \beta \; i\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; q\; \alpha \; i\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{p\}\; ~\; \backslash \; beta\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{q\}\; ~\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; =\; 1\}$.

EGARCH

Экспоненциальная обобщенная авторегрессионная условно-гетероскедастическая модель (EGARCH), разработанная Нельсоном и Цао (1991), является другой формой модели GARCH. Формально EGARCH (p, q):

$log\; \; \sigma \; t\; 2\; =\; \omega \; +\; \sum \; k\; =\; 1\; q\; \beta \; kg\; (Z\; t\; -\; k)\; +\; \sum \; k\; =\; 1\; p\; \alpha \; k\; log\; \; \sigma \; t\; -\; k\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; omega\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{q\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{k\}\; g\; (Z\_\; \{tk\})\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{p\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{k\}\; \backslash \; log\; \backslash \; sigma\; \_\; \{tk\}\; ^\; \{2\}\}$

где $g\; (Z\; t)\; =\; \theta \; Z\; t\; +\; \lambda \; (|\; Z\; t\; |\; -\; E\; (|\; Z\; т\; |))\; \{\backslash \; Displaystyle\; г\; (Z\_\; \{т\})\; =\; \backslash \; тета\; Z\_\; \{т\}\; +\; \backslash \; лямбда\; (|\; Z\_\; \{т\}\; |\; -E\; (|\; Z\_\; \{т\}\; |))\}$, $\sigma \; t\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\}$- это условная дисперсия, $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$, $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$, $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$, $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$и $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$- коэффициенты. $Z\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{t\}\}$может быть стандартной нормальной переменной или происходить из обобщенного распределения ошибок. Формулировка для $g\; (Z\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (Z\_\; \{t\})\}$допускает знак и величину $Z\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{t\}\}$для отдельного воздействия на волатильность. Это особенно полезно в контексте ценообразования активов.

Поскольку $log\; \; \sigma \; t\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\}$может быть отрицательным, знаковых ограничений для параметров нет.

GARCH-M

Модель GARCH-in-mean (GARCH-M) добавляет член гетероскедастичности в уравнение среднего. Он имеет спецификацию:

$yt\; =\; \beta \; xt\; +\; \lambda \; \sigma \; t\; +\; ϵ\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{t\}\; =\; ~\; \backslash \; beta\; x\_\; \{t\}\; +\; ~\; \backslash \; lambda\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; +\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\}$

Остаточная величина $ϵ\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\}$определяется как:

$ϵ\; t\; =\; \sigma \; t\; \times \; zt\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\; =\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ~\; \backslash \; times\; z\_\; \{t\}\}$

QGARCH

Квадратичная модель GARCH (QGARCH) Sentana (1995) используется для моделирования асимметричных эффектов положительные и отрицательные шоки.

В примере модели GARCH (1,1) остаточный процесс $\sigma \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\}$равен

$ϵ\; t\; =\; \sigma \; tzt\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\; =\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; z\_\; \{t\}\}$

где $zt\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{t\}\}$- идентификатор и

$\sigma \; T\; 2\; знак\; равно\; К\; +\; \alpha \; ϵ\; T\; -\; 1\; 2\; +\; \beta \; \sigma \; t\; -\; 1\; 2\; +\; \varphi \; ϵ\; t\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\; =\; K\; +\; ~\; \backslash \; alpha\; ~\; \backslash \; эпсилон\; \_\; \{т-1\}\; ^\; \{2\}\; +\; ~\; \backslash \; beta\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{2\}\; +\; ~\; \backslash \; phi\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\}$

GJR-GARCH

Подобно QGARCH, модель Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH) от Glosten, Jagannathan and Runkle (1993) также моделирует асимметрию в процессе ARCH. Предлагается модель $ϵ\; t\; =\; \sigma \; tzt\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\; =\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; z\_\; \{t\}\}$где $zt\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{t\}\}$- это iid, а

$\sigma \; t\; 2\; =\; K\; +\; \delta \; \sigma \; t\; -\; 1\; 2\; +\; \alpha \; ϵ\; t\; -\; 1\; 2\; +\; \varphi \; ϵ\; t\; -\; 1\; 2\; I\; t\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\; =\; K\; +\; ~\; \backslash \; delta\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{2\}\; +\; ~\; \backslash \; alpha\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{2\}\; +\; ~\; \backslash \; phi\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{2\}\; I\_\; \{t-1\}\}$

где $I\; t\; -\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{t-1\}\; =\; 0\}$если $ϵ\; t\; -\; 1\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\; \backslash \; geq\; 0\}$и $I\; t\; -\; 1\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{\; t-1\}\; =\; 1\}$if .

Модель TGARCH

Модель Threshold GARCH (TGARCH) Закояна (1994) похожа на GJR GARCH. В спецификации используется условное стандартное отклонение вместо условной дисперсии :

$\sigma \; t\; =\; K\; +\; \delta \; \sigma \; t\; -\; 1\; +\; \alpha \; 1\; +\; ϵ\; t\; -\; 1\; +\; +\; \alpha \; 1\; -\; ϵ\; t\; -\; 1\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; =\; K\; +\; ~\; \backslash \; delta\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t-1\}\; +\; ~\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; ^\; \{+\}\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{+\}\; +\; ~\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; ^\; \{-\}\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{-\}\}$

где $ϵ\; t\; -\; 1\; +\; =\; ϵ\; t\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{+\}\; =\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\}$если $ϵ\; t\; -\; 1>0\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}>0\}$и $ϵ\; t\; -\; 1\; +\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{+\}\; =\; 0\}$если $ϵ\; t\; -\; 1\; \le \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\; -1\}\; \backslash \; leq\; 0\}$. Аналогично, $ϵ\; t\; -\; 1\; -\; =\; ϵ\; t\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{-\}\; =\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\}$если $ϵ\; t\; -\; 1\; \le \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\; \backslash \; leq\; 0\}$и $ϵ\; t\; -\; 1\; -\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{-\}\; =\; 0\}$если $ϵ\; t\; -\; 1>0\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}>0\}$.

fGARCH

Модель Hentschel fGARCH, также известная как Family GARCH, представляет собой комплексную модель, которая объединяет множество других популярных симметричных и асимметричных GARCH модели, включая APARCH, GJR, AVGARCH, NGARCH и т. д.

COGARCH

В 2004 году Клаудиа Клюппельберг, Александр Линднер и Росс Маллер предложили обобщение непрерывного времени дискретный процесс GARCH (1,1). Идея состоит в том, чтобы начать с уравнений модели GARCH (1,1)

$ϵ\; t\; =\; \sigma \; tzt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; z\_\; \{t\},\}$

$\sigma \; T\; 2\; знак\; равно\; \alpha \; 0\; +\; \alpha \; 1\; ϵ\; T\; -\; 1\; 2\; +\; \beta \; 1\; \sigma \; t\; -\; 1\; 2\; =\; \alpha \; 0\; +\; \alpha \; 1\; \sigma \; t\; -\; 1\; 2\; zt\; -\; 1\; 2\; +\; \beta \; 1\; \sigma \; t\; -\; 1\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; beta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{2\}\; z\_\; \{t-1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; beta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\; t-1\}\; ^\; \{2\},\}$

, а затем заменить процесс сильного белого шума $zt\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{t\}\}$на бесконечно малые приращения $d\; L\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; L\_\; \{t\}\}$из процесса Леви $(L\; t)\; t\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (L\_\; \{t\})\; \_\; \{\; t\; \backslash \; geq\; 0\}\}$, и процесс возведения в квадрат шума $zt\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\}$с шагом $d\; [L,\; L]\; td\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; [L,\; L]\; \_\; \{t\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\}$, где

$[L,\; L]\; td\; =\; \sum \; s\; \in \; [0,\; t]\; (\Delta \; L\; t)\; 2,\; t\; \ge \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; [L,\; L]\; \_\; \{t\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\; \backslash \; in\; [0,\; t]\; \}\; (\backslash \; Delta\; L\_\; \{\; t\})\; ^\; \{2\},\; \backslash \; quad\; t\; \backslash \; geq\; 0,\}$

является чисто прерывистой частью процесса квадратичной вариации процесса $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$. Результатом является следующая система стохастических дифференциальных уравнений :

$d\; G\; t\; =\; \sigma \; t\; -\; d\; L\; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; G\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\; -\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; L\_\; \{t\},\}$

$d\; \sigma \; T\; 2\; =\; (\beta \; -\; \eta \; \sigma \; t\; 2)\; dt\; +\; \phi \; \sigma \; t\; -\; 2\; d\; [L,\; L]\; td,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\; =\; (\backslash \; beta\; -\; \backslash \; eta\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\})\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; +\; \backslash \; varphi\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\; -\}\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; [L,\; L]\; \_\; \{t\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\},\}$

где положительные параметры $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$, $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \}$и $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$определяются как $\alpha \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{0\}\}$, $\alpha \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\}$и $\beta \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{1\}\}$. Теперь при некотором начальном условии $(G\; 0,\; \sigma \; 0\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (G\_\; \{0\},\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\})\}$, система выше имеет путевую уникальное решение $(G\; t,\; \sigma \; t\; 2)\; t\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (G\_\; \{t\},\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\})\; \_\; \{t\; \backslash \; geq\; 0\}\}$которая затем называется моделью GARCH (COGARCH ) с непрерывным временем.

ZD-GARCH

В отличие от модели GARCH, модель GARCH с нулевым дрейфом (ZD-GARCH) Ли, Чжан, Чжу и Лин (2018) допускает смещение члена $\omega \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; omega\; =\; 0\}$в модели GARCH первого порядка. Модель ZD-GARCH предназначена для модели $ϵ\; t\; =\; \sigma \; tzt\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t\}\; =\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; z\_\; \{t\}\}$, где $zt\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{t\}\}$- идентификатор iid, а

$\sigma \; t\; 2\; =\; \alpha \; 1\; ϵ\; t\; -\; 1\; 2\; +\; \beta \; 1\; \sigma \; t\; -\; 1\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\; =\; ~\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; ~\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{t-1\}\; ^\; \{2\}\; +\; ~\; \backslash \; beta\; \_\; \{1\}\; ~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t-\; 1\}\; ^\; \{2\}.\}$

Модель ZD-GARCH не требует $\alpha \; 1\; +\; \beta \; 1\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; +\; ~\; \backslash \; beta\; \_\; \{1\}\; =\; 1\}$, поэтому модель экспоненциально взвешенного скользящего среднего (EWMA) вложена в «RiskMetrics ». Поскольку член смещения $\omega \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; omega\; =\; 0\}$, модель ZD-GARCH всегда нестационарна, и ее методы статистического вывода сильно отличаются от методов для классического Модель GARCH. На основе исторических данных параметры $\alpha \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\}$и $\beta \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; beta\; \_\; \{1\}\}$можно оценить с помощью обобщенного метода QMLE.

Пространственный GARCH

Пространственные GARCH-процессы Отто, Шмид и Гартофф (2018) рассматриваются как пространственный эквивалент модели временной обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH). В отличие от временной модели ARCH, в которой распределение известно с учетом полного набора информации для предыдущих периодов, распределение не является прямым в пространственной и пространственно-временной настройке из-за взаимозависимости между соседними пространственными местоположениями. Пространственная модель задается следующим образом: $ϵ\; (si)\; =\; \sigma \; (si)\; z\; (si)\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; epsilon\; (s\_\; \{i\})\; =\; ~\; \backslash \; sigma\; (s\_\; \{i\})\; z\; (s\_\; \{i\}))\}$и

$\sigma \; (si)\; 2\; =\; \alpha \; i\; +\; \sum \; v\; =\; 1\; n\; \rho \; wiv\; ϵ\; (sv)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; sigma\; (s\_\; \{i\})\; ^\; \{2\}\; =\; ~\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{v\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rho\; w\_\; \{iv\}\; \backslash \; epsilon\; (s\_\; \{v\})\; ^\; \{2\},\}$

где $si\; \{\; \backslash \; displaystyle\; ~\; s\_\; \{i\}\}$обозначает $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$-ое пространственное положение и $wiv\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; w\_\; \{iv\}\}$относится к $iv\; \{\backslash \; displaystyle\; iv\}$-й записи пространственной весовой матрицы и $wii\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{ii\}\; =\; 0\}$для $i\; =\; 1,...,\; п\; \{\backslash \; Displaystyle\; ~\; я\; =\; 1,...,\; п\}$. Матрица пространственных весов определяет, какие местоположения считаются смежными.

Ссылки

Дополнительная литература

• Bollerslev, Tim; Рассел, Джеффри; Уотсон, Марк (май 2010 г.). «Глава 8: Словарь ARCH (GARCH)» (PDF). Эконометрика волатильности и временных рядов: Очерки в честь Роберта Энгла (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. С. 137–163. ISBN 9780199549498.
• Эндерс, У. (2004). «Моделирование волатильности». Прикладная эконометрика временных рядов (второе изд.). Джон-Уайли и сыновья. С. 108–155. ISBN 978-0-471-45173-0.
• Энгл, Роберт Ф. (1982). «Авторегрессионная условная гетероскедастичность с оценками дисперсии инфляции Соединенного Королевства». Econometrica. 50(4): 987–1008. DOI : 10.2307 / 1912773. JSTOR 1912773.(статья, которая вызвала общий интерес к моделям ARCH)
• Энгл, Роберт Ф. (1995). АРХИВ: избранные показания. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-877432-7.
• Энгл, Роберт Ф. (2001). «GARCH 101: Использование моделей ARCH / GARCH в прикладной эконометрике». Журнал экономических перспектив. 15(4): 157–168. doi : 10.1257 / jep.15.4.157. JSTOR 2696523.(краткое, удобочитаемое введение)
• Гуджарати, Д. Н. (2003). Основы эконометрики. стр. 856–862.
• Hacker, R. S.; Хатеми-Дж., А. (2005). «Тест на многомерные эффекты ARCH». Письма по прикладной экономике. 12 (7): 411–417. doi : 10.1080 / 13504850500092129.
• Нельсон, Д. Б. (1991). «Условная гетероскедастичность в доходности активов: новый подход». Econometrica. 59(2): 347–370. DOI : 10.2307 / 2938260. JSTOR 2938260.