Расширенная матрица

В линейной алгебре расширенная матрица представляет собой матрицу полученный путем добавления столбцов двух заданных матриц, обычно с целью выполнения одних и тех же операций с элементарной строкой для каждой из заданных матриц.

Даны матрицы A и B, где

$A\; =\; [1\; 3\; 2\; 2\; 0\; 1\; 5\; 2\; 2],\; B\; =\; [4\; 3\; 1],\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 3\; 2\; \backslash \backslash \; 2\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 5\; 2\; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \backslash \; quad\; B\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 4\; \backslash \backslash \; 3\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

расширенная матрица (A | B) записывается как

$(A\; |\; B)\; =\; [1\; 3\; 2\; 4\; 2\; 0\; 1\; 3\; 5\; 2\; 2\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; |\; B)\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\; |\; c\}\; 1\; 3\; 2\; 4\; \backslash \backslash \; 2\; 0\; 1\; 3\; \backslash \backslash \; 5\; 2\; 2\; 1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right].\}$

Это полезно при решении системы линейных уравнений.

Для заданного количества неизвестных количество решений системы линейных уравнений зависит только от ранга матрицы, представляющей систему, и ранга соответствующей расширенной матрица. В частности, согласно теореме Руше – Капелли, любая система линейных уравнений несовместима (не имеет решений), если ранг расширенной матрицы больше, чем ранг матрицы коэффициентов ; если, с другой стороны, ранги этих двух матриц равны, система должна иметь хотя бы одно решение. Решение уникально тогда и только тогда, когда ранг равен количеству переменных. В противном случае общее решение имеет k свободных параметров, где k - разница между числом переменных и рангом; следовательно, в таком случае решений бесконечно много.

Расширенная матрица также может быть использована для поиска обратной матрицы путем объединения ее с единичной матрицей.

Содержание

• 1 Чтобы найти обратную матрицу
• 2 Существование и количество решений
• 3 Решение линейной системы
• 4 Ссылки

Чтобы найти обратную матрицу

Пусть C будет квадратной матрицей 2 × 2

$C\; =\; [1\; 3\; -\; 5\; 0].\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 3\; \backslash \backslash \; -\; 5\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Чтобы найти обратное C, мы создаем (C | I), где I - 2 × 2 единичная матрица. Затем мы сокращаем часть (C | I), соответствующую C, до единичной матрицы, используя только элементарные операции со строками на (C | I).

$(C\; |\; I)\; =\; [1\; 3\; 1\; 0\; -\; 5\; 0\; 0\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; (C\; |\; I)\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\; |\; cc\}\; 1\; 3\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; -\; 5\; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{массив\}\}\; \backslash \; справа]\}$

$(I\; |\; C\; -\; 1)\; =\; [1\; 0\; 0\; -\; 1\; 5\; 0\; 1\; 1\; 3\; 1\; 15]\; \{\backslash \; displaystyle\; (I\; |\; C\; ^\; \{-\; 1\})\; =\; \backslash \; left\; [\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\; |\; cc\}\; 1\; 0\; 0\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\}\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{15\}\}\; \backslash \; end\; \{\; array\}\}\; \backslash \; right]\}$,

правая часть которой является обратной по отношению к исходной матрице.

Существование и количество решений

Рассмотрим систему уравнений

$x\; +\; y\; +\; 2\; z\; =\; 2\; x\; +\; y\; +\; z\; =\; 3\; 2\; x\; +\; 2\; y\; +\; 2\; z\; =\; 6.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; +\; y\; +\; 2z\; =\; 2\; \backslash \backslash \; x\; +\; y\; +\; z\; =\; 3\; \backslash \backslash \; 2x\; +\; 2y\; +\; 2z\; =\; 6.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Матрица коэффициентов

$A\; =\; [1\; 1\; 2\; 1\; 1\; 1\; 2\; 2\; 2],\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 1\; 2\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 2\; 2\; 2\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

и Расширенная матрица:

$(A\; |\; B)\; =\; [1\; 1\; 2\; 2\; 1\; 1\; 1\; 3\; 2\; 2\; 2\; 6].\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; |\; B)\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\; |\; c\}\; 1\; 1\; 2\; 2\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; 1\; 3\; \backslash \backslash \; 2\; 2\; 2\; 6\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right].\}$

Поскольку оба они имеют того же ранга, а именно 2, существует хотя бы одно решение; и поскольку их ранг меньше числа неизвестных, последнее равно 3, существует бесконечное число решений.

Для сравнения, рассмотрим систему

$x\; +\; y\; +\; 2\; z\; =\; 3\; x\; +\; y\; +\; z\; =\; 1\; 2\; x\; +\; 2\; y\; +\; 2\; z\; =\; 5.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; +\; y\; +\; 2z\; =\; 3\; \backslash \backslash \; x\; +\; y\; +\; z\; =\; 1\; \backslash \backslash \; 2x\; +\; 2y\; +\; 2z\; =\; 5.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Матрица коэффициентов

$A\; =\; [1\; 1\; 2\; 1\; 1\; 1\; 2\; 2\; 2],\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 1\; 2\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 2\; 2\; 2\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

, а расширенная матрица -

$(A\; |\; B)\; =\; [1\; 1\; 2\; 3\; 1\; 1\; 1\; 1\; 2\; 2\; 2\; 5].\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; |\; B)\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\; |\; c\}\; 1\; 1\; 2\; 3\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 2\; 2\; 2\; 5\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right].\}$

В этом примере матрица коэффициентов имеет ранг 2, а расширенная матрица имеет ранг 3; так что эта система уравнений не имеет решения. Действительно, увеличение количества линейно независимых строк сделало систему уравнений несовместимой .

Решение линейной системы

Как используется в линейной алгебре, расширенная матрица используется для представления коэффициенты и вектор решения каждого набора уравнений. Для системы уравнений

$x\; +\; 2\; y\; +\; 3\; z\; =\; 0\; 3\; x\; +\; 4\; y\; +\; 7\; z\; =\; 2\; 6\; x\; +\; 5\; y\; +\; 9\; z\; =\; 11\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; +\; 2y\; +\; 3z\; =\; 0\; \backslash \backslash \; 3x\; +\; 4y\; +\; 7z\; =\; 2\; \backslash \backslash \; 6x\; +\; 5y\; +\; 9z\; =\; 11\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

коэффициенты и постоянные члены дают матрицы

$A\; =\; [1\; 2\; 3\; 3\; 4\; 7\; 6\; 5\; 9],\; В\; =\; [0\; 2\; 11],\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 2\; 3\; \backslash \backslash \; 3\; 4\; 7\; \backslash \backslash \; 6\; 5\; 9\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \backslash \; quad\; B\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \backslash \; 11\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

и, следовательно, дает расширенную матрицу

$(A\; |\; B)\; =\; [1\; 2\; 3\; 0\; 3\; 4\; 7\; 2\; 6\; 5\; 9\; 11]\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; A\; |\; B)\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\; |\; c\}\; 1\; 2\; 3\; 0\; \backslash \backslash \; 3\; 4\; 7\; 2\; \backslash \backslash \; 6\; 5\; 9\; 11\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$.

Обратите внимание, что ранг матрицы коэффициентов 3, равен рангу расширенной матрицы, поэтому существует по крайней мере одно решение; и поскольку этот ранг равен количеству неизвестных, существует ровно одно решение.

Чтобы получить решение, операции со строками могут быть выполнены над расширенной матрицей, чтобы получить единичную матрицу с левой стороны, что дает

$[1\; 0\; 0\; 4\; 0\; 1\; 0\; 1\; 0\; 0\; 1\; -\; 2],\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\; |\; c\}\; 1\; 0\; 0\; 4\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; -2\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right],\}$

, поэтому решение системы ( х, у, z) = (4, 1, -2).

Ссылки

• Марвин Маркус и Хенрик Минк, Обзор теории матриц и матричных неравенств, Dover Publications, 1992, ISBN 0-486- 67102-Х. Стр. 31.