Индекс Аткинсона

редактировать

Индекс Аткинсона (также известный как мера Аткинсона или Показатель неравенства Аткинсона ) - показатель неравенства доходов, разработанный британским экономистом Энтони Барнсом Аткинсоном. Этот показатель полезен для определения того, какой конец распределения больше всего способствовал наблюдаемому неравенству.

Содержание

1 Определение
2 См. Также
3 Сноски
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Определение

Индекс можно превратить в нормативный показатель, задав коэффициент $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ взвесить доходы. Больший вес можно придать изменениям в данной части распределения доходов, выбрав надлежащим образом $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , уровень «неприятия неравенства». Индекс Аткинсона становится более чувствительным к изменениям в нижней части распределения доходов по мере увеличения $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ . И наоборот, когда уровень неприятия неравенства падает (то есть, когда $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ приближается к 0), Аткинсон становится менее чувствительным к изменениям в нижнем конце распределения. Индекс Аткинсона не имеет значения $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ очень чувствительно к максимальным доходам из-за общего ограничения, которое $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ неотрицателен.

Параметр Аткинсона $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ часто называют «параметром неприятия неравенства», поскольку он регулирует чувствительность предполагаемых потерь общественного благосостояния. от неравенства к неравенству доходов, измеренному некоторым соответствующим обобщенным индексом энтропии. Индекс Аткинсона определяется со ссылкой на соответствующую функцию общественного благосостояния, где средний доход, умноженный на единицу, минус индекс Аткинсона дает эквивалент благосостояния, равно распределенный доход. Таким образом, индекс Аткинсона дает долю текущего дохода, которой можно было бы пожертвовать без снижения общественного благосостояния, если бы было установлено идеальное неравенство. Для $ε = 0 {\ displaystyle \ varepsilon = 0}$ $\ varepsilon = 0$ (без отвращения к неравенству) предельное социальное благосостояние, основанное на доходе, инвариантно к доходу, то есть предельное увеличение дохода дает столько же социального благосостояния идут ли они к бедному или богатому человеку. В этом случае эквивалент благосостояния равномерно распределенный доход равен среднему доходу, а индекс Аткинсона равен нулю.

Для $ε = ∞ {\ displaystyle \ varepsilon = \ infty}$ $\ varepsilon = \ infty$ (бесконечное неприятие неравенства) предельное социальное благосостояние дохода беднейшего человека бесконечно больше, чем любое даже немного более богатый человек, и функция социального обеспечения Аткинсона равна наименьшему доходу в выборке. В этом случае индекс Аткинсона равен среднему доходу за вычетом наименьшего дохода, деленному на средний доход. Так как в больших типичных распределениях доходов доход, равный нулю или близкому к нулю, является обычным явлением, индекс Аткинсона будет иметь тенденцию быть равным единице или очень близким к единице для очень больших $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ .

Индекс Аткинсона тогда варьируется 0 и 1 и является мерой социальной полезности, которую можно получить за счет полного перераспределения данного распределения доходов для данного параметра $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ . Согласно утилитарному этическому стандарту и некоторым ограничительным допущениям (однородная совокупность и постоянная эластичность замены полезность), $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ равно эластичности дохода по доходу предельная полезность дохода.

. Индекс Аткинсона определяется как:

A ε (y 1,…, y N) = {1 - 1 μ (1 N ∑ i = 1 N yi 1 - ε) 1 / (1 - ε) для 0 ≤ ϵ ≠ 1 1 - 1 μ (∏ я = 1 N yi) 1 / N для ε = 1, {\ displaystyle A _ {\ varepsilon} (y_ {1}, \ ldots, y_ {N}) = { \ begin {cases} 1 - {\ frac {1} {\ mu}} \ left ({\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} ^ {1 - \ varepsilon} \ right) ^ {1 / (1- \ varepsilon)} {\ t_dv {for}} \ 0 \ leq \ epsilon \ neq 1 \\ 1 - {\ frac {1} {\ mu}} \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} \ right) ^ {1 / N} {\ t_dv {for}} \ \ varepsilon = 1, \ end {cases}}}

A_ \ varepsilon (y_1, \ ldots, y_N) = \ begin {cases} 1- \ frac {1} {\ mu} \ left (\ frac {1} {N} \ sum_ {i = 1} ^ {N} y_ {i} ^ {1- \ varepsilon} \ right) ^ {1 / (1- \ varepsilon)} \ t_dv {for} \ 0 \ leq \ epsilon \ neq 1 \\ 1- \ frac {1} {\ mu} \ left (\ prod_ { i = 1} ^ {N} y_ {i} \ right) ^ {1 / N} \ t_dv {for} \ \ varepsilon = 1, \ end {cases}

где $yi {\ displaystyle y_ {i}}$ $y _ {{i}}$ - индивидуальный доход (i = 1, 2,..., N), а $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ - средний доход.

Другими словами, индекс Аткинсона является дополнением к единице отношения обобщенного среднего значения Гельдера показателя степени 1 − ε к среднему арифметическому доходов (где, как обычно, среднее значение показателя 0 интерпретируется как среднее геометрическое ).

Индекс Аткинсона основан на следующих аксиомах:

Индекс симметричен по своим аргументам: $A ε (y 1,…, y N) = A ε (y σ (1),…, y σ (N)) {\ Displaystyle A _ {\ varepsilon} (y_ {1}, \ ldots, y_ {N}) = A _ {\ varepsilon} (y _ {\ sigma (1)}, \ ldots, y_ { \ sigma (N)})}$ $A_ \ varepsilon (y_1, \ ldots, y_N) = A_ \ varepsilon (y_ { \ sigma (1)}, \ ldots, y _ {\ sigma (N)})$ для любой перестановки $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ .
Индекс неотрицателен и равен нулю, только если все доходы одинаковы: $A ε (y 1,…, y N) = 0 {\ displaystyle A _ {\ varepsilon} (y_ {1}, \ ldots, y_ {N}) = 0}$ $A_ \ varepsilon (y_1, \ ldots, y_N) = 0$ если и только если $yi = μ {\ displaystyle y_ {i} = \ mu}$ $y_i = \ mu$ для всех $i {\ displaystyle i}$ $i$ .
Индекс удовлетворяет принципу переносов : если перенос $Δ>0 {\ displaystyle \ Delta>0}$ $\Delta>0$ производится от лица с доходом $yi {\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ другому лицу с доходом $yj {\ displaystyle y_ { j}}$ $y_ {j}$ такой, что $yi - Δ>yj + Δ {\ displaystyle y_ {i} - \ Delta>y_ {j} + \ Delta}$ $y_i - \Delta>y_j + \ Delta$ , то индекс неравенства не может увеличиваться. 128>
Индекс удовлетворяет аксиоме репликации популяции: если новая популяция формируется путем репликации существующей популяции произвольное количество раз, неравенство остается прежним: $A ε ({y 1,…, y N},…, {Y 1,…, y N}) = A ε (y 1,…, y N) {\ displaystyle A _ {\ varepsilon} (\ {y_ {1}, \ ldots, y_ {N} \}, \ ldots, \ {y_ {1}, \ ldots, y_ {N} \}) = A _ {\ varepsilon} (y_ {1}, \ ldots, y_ {N})}$ $A_ \ varepsilon (\ {y_1, \ ldots, y_N \}, \ ldots, \ {y_1, \ ldots, y_N \}) = A_ \ varepsilon (y_1, \ ldots, y_N)$
Индекс удовлетворяет средней независимости, или однородность дохода, аксиома: если все доходы умножаются на положительную константу, неравенство остается прежним: $A ε (y 1,…, y N) = A ε (ky 1,…, ky N) { \ Displaystyle A _ {\ varepsilon} (y_ {1}, \ ldots, y_ {N}) = A _ {\ varepsilon} (ky_ {1}, \ ldots, ky_ {N})}$ $A_ \ varepsilon ( y_1, \ ldots, y_N) = A_ \ varepsilon (ky_1, \ ldots, ky_N)$ для любого $k>0 {\ displaystyle k>0}$ $k>0$ .
Индекс можно разложить по подгруппам. Это означает, что общее неравенство среди населения можно рассчитать как сумму соответствующих индексов Аткинсона внутри каждой группы и индекса Аткинсона для средних доходов группы:

A ε (ygi: g = 1,…, G, i Знак равно 1,…, N g) знак равно ∑ g = 1 G wg A ε (yg 1,…, yg N g) + A ε (μ 1,…, μ G) {\ displaystyle A _ {\ varepsilon} (y_ { gi}: g = 1, \ ldots, G, i = 1, \ ldots, N_ {g}) = \ sum _ {g = 1} ^ {G} w_ {g} A _ {\ varepsilon} (y_ {g1 }, \ ldots, y_ {gN_ {g}}) + A _ {\ varepsilon} (\ mu _ {1}, \ ldots, \ mu _ {G})}

{\ displaystyle A _ {\ varepsilon} (y_ {gi}: g = 1, \ ldots, G, i = 1, \ ldots, N_ {g}) = \ sum _ {g = 1} ^ {G} w_ {g} A _ {\ varepsilon} (y_ {g1}, \ ldots, y_ {gN_ {g}}) + A _ {\ varepsilon} (\ mu _ {1}, \ ldots, \ mu _ {G}) }

где

g {\ displaystyle g }

g

индексирует группы,

i {\ displaystyle i}

i

, отдельных лиц в группах,

μ g {\ displaystyle \ mu _ {g}}

\ mu_g

- средний доход в группе

g {\ displaystyle g}

g

, а веса

wg {\ displaystyle w_ {g}}

w_ {g}

зависят от

μ g, μ, N {\ displaystyle \ mu _ {g}, \ mu, N}

\ mu_g, \ mu, N

N g {\ displaystyle N_ {g}}

N_ {g}

. Класс индексов неравенств, разложимых на подгруппы, очень ограничен. Многие популярные индексы, включая индекс Джини, не удовлетворяют этому свойству.

См. Также

Сноски

^inter alia «Доход, бедность и медицинское страхование в США: 2010», США Бюро переписи населения, 2011, стр.10
^Индекс Аткинсона связан с классом обобщенной энтропии (GE) индексов неравенства следующим образом: $ϵ = 1 - α {\ displaystyle \ epsilon = 1- \ alpha}$ $\ epsilon = 1- \ alpha$ - т.е. индекс Аткинсона с высоким уровнем неприятия неравенства выводится из индекса GE с малым $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ . Индексы GE с большим значением $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ чувствительны к существованию большого максимального дохода, но соответствующий индекс Аткинсона будет иметь отрицательное значение $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ . Для гипотетического индекса Аткинсона с отрицательным значением $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ подразумеваемая функция социальной полезности будет выпуклой по доходу, а индекс Аткинсона будет неположительным.
^Шоррокс, А.Ф. (1980). Класс аддитивно разложимых показателей неравенства. Econometrica, 48 (3), 613–625, doi : 10.2307 / 1913126

Ссылки

Аткинсон, А.Б. (1970) Об измерении неравенства. Журнал экономической теории, 2 (3), стр. 244–263, doi : 10.1016 / 0022-0531 (70) 90039-6. Оригинальная статья, предлагающая этот индекс неравенства.
Эллисон П.Д. (1978) Меры неравенства, Американский социологический обзор, 43, стр. 865–880. Представляет техническое обсуждение свойств меры Аткинсона. В формуле для индекса Аткинсона есть ошибка, исправленная в Allison (1979).
Allison, PD (1979) Reply to Jasso. Американский социологический обзор 44 (5): 870–72.
Бивен М., Дженкинс С.П. (2003). Оценка индексов обобщенной энтропии и неравенства Аткинсона по данным комплексных обследований. Документ для обсуждения IZA № 763. Предоставляет статистический вывод для индексов Аткинсона.
Lambert, P. (2002). Распределение и перераспределение доходов. 3-е издание, Manchester Univ Press, ISBN 978-0-7190-5732-8.
Sen A, Foster JE (1997) On Economic Inequality, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-828193-1. (сценарий Python для выбора формул в книге)
Мировая база данных о неравенстве доходов, из Всемирного института исследований экономики развития
Неравенство доходов, 1947–1998, из Бюро переписи населения США.

Внешние ссылки

Программное обеспечение:

Бесплатный онлайн-калькулятор вычисляет коэффициент Джини, строит кривую Лоренца и вычисляет многие другие меры концентрации для любого набора данных
Бесплатный калькулятор: Онлайн и загружаемые скрипты (Python и Lua ) для неравенств Аткинсона, Джини и Гувера
Пользователи программного обеспечения для анализа данных R могут установить пакет "ineq", который позволяет вычислять различные индексы неравенства, включая Джини, Аткинсон, Тейл.
A Пакет MATLAB Inequality, включая код для вычисления индексов Джини, Аткинсона, Тейла и построения кривой Лоренца. Доступно множество примеров.
Stata пакеты неравенства: ineqdeco для разложения неравенства по группам; svygei и svyatk для вычисления согласованной дисперсии для обобщенной энтропии и индексов Аткинсона; glcurve для получения обобщенной кривой Лоренца. Вы можете ввести ssc install ineqdecoи т. Д. в приглашении Stata для установки этих пакетов.