Орбитальная механика

Область классической механики, связанная с движением космического корабля Спутник, вращающийся вокруг Земли, имеет тангенциальную скорость и внутреннее ускорение.

Орбитальная механика или астродинамика - это применение баллистики и небесной механики к практическим задачам, касающимся движение ракет и других космических аппаратов. Движение этих объектов обычно рассчитывается по законам движения Ньютона и закону всемирного тяготения. Орбитальная механика - это основная дисциплина в рамках проектирования и управления космическими полетами.

Небесная механика рассматривает более широко орбитальную динамику систем под влиянием гравитации, включая как космические корабли, так и естественные астрономические тела, такие как звездные системы, планеты, луны и кометы. Орбитальная механика фокусируется на траекториях космических аппаратов, включая орбитальные маневры, изменения орбитальной плоскости и межпланетные перелеты, и используется разработчиками миссий для прогнозирования результатов двигательные маневры. Общая теория относительности является более точной теорией, чем законы Ньютона для расчета орбит, и иногда необходима для большей точности или в ситуациях с высокой гравитацией (например, орбиты около Солнца).

Содержание

• 1 История
• 2 Практические приемы
  • 2.1 Эмпирические правила
• 3 Законы астродинамики
  • 3.1 Скорость убегания
  • 3.2 Формулы для свободных орбит
  • 3.3 Круговые орбиты
  • 3.4 Эллиптические орбиты
    • 3.4.1 Орбитальный период
    • 3.4.2 Скорость
    • 3.4.3 Энергия
  • 3.5 Параболические орбиты
  • 3.6 Гиперболические орбиты
    • 3.6.1 Энергия
    • 3.6.2 Гиперболическая избыточная скорость
• 4 Расчет траекторий
  • 4.1 Уравнение Кеплера
  • 4.2 Конические орбиты
  • 4.3 Аппроксимация конической формы
  • 4.4 Формулировка универсальной переменной
  • 4.5 Возмущения
• 5 Орбитальный маневр
  • 5.1 Орбитальный переход
  • 5.2 Помощь гравитации и эффект Оберта
  • 5.3 Межпланетная транспортная сеть и нечеткие орбиты
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература
• 9 Внешние ссылки

История

До появления космических путешествий в двадцатом веке не существовало разницы между орбитальной и небесной механикой. Во времена Спутника это поле называлось «космической динамикой». Таким образом, фундаментальные методы, такие как те, которые используются для решения проблемы Кеплера (определение положения как функции времени), одинаковы в обеих областях. Кроме того, история полей почти полностью разделяется.

Иоганн Кеплер был первым, кто успешно смоделировал планетные орбиты с высокой степенью точности, опубликовав свои законы в 1605 году. Исаак Ньютон опубликовал более общие законы движения небесных тел. в первом издании Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687), в котором был дан метод нахождения орбиты тела, следующего по параболическому пути из трех наблюдений. Это было использовано Эдмундом Галлеем для определения орбит различных комет, включая ту, которая носит его имя. Метод последовательных приближений Ньютона был формализован в аналитический метод Эйлером в 1744 году, работа которого, в свою очередь, была обобщена на эллиптические и гиперболические орбиты Ламбертом в 1761–1777 годах.

Другой важной вехой в определении орбиты стала помощь Карла Фридриха Гаусса в «восстановлении» карликовой планеты Цереры в 1801 году. Метод Гаусса смог использовать всего три наблюдения (в форме пар прямого восхождения и склонения ), чтобы найти шесть орбитальных элементов То полностью описывают орбиту. Теория определения орбиты впоследствии была развита до такой степени, что сегодня она применяется в приемниках GPS, а также для отслеживания и каталогизации недавно обнаруженных малых планет. Современные методы определения и прогнозирования орбиты используются для управления всеми типами спутников и космических зондов, поскольку необходимо знать их будущее положение с высокой степенью точности.

Астродинамика была разработана астрономом Сэмюэлем Херриком в начале 1930-х годов. Он посоветовался с ученым-ракетологом Робертом Годдардом, и его вдохновили продолжить его работу над методами космической навигации, поскольку Годдард считал, что они понадобятся в будущем. В 1960-х годах численные методы астродинамики были соединены с новыми мощными компьютерами, и человек был готов отправиться на Луну и вернуться.

Практические методы

Эмпирические правила

Следующие практические правила полезны для ситуаций, приближенных к классической механике в соответствии со стандартными предположениями астродинамики, изложенными ниже правила. В конкретном обсуждаемом примере речь идет о спутнике, вращающемся вокруг планеты, но практические правила могут также применяться к другим ситуациям, например, орбитам малых тел вокруг звезды, такой как Солнце.

• Законы движения планет Кеплера :
  • Орбиты эллиптические, причем более тяжелое тело находится в фокусе эллипса. Особым случаем этого является круговая орбита (круг - это особый случай эллипса) с планетой в центре.
  • Линия, проведенная от планеты к спутнику, проходит через равные области в равное время независимо от какая часть орбиты измеряется.
  • Квадрат периода обращения спутника пропорционален кубу его среднего расстояния от планеты.
• Без приложения силы (например, при стрельбе ракетный двигатель) период и форма орбиты спутника не изменятся.
• Спутник на низкой орбите (или низкой части эллиптической орбиты) движется быстрее по отношению к поверхности планеты чем спутник на более высокой орбите (или высокой части эллиптической орбиты), из-за более сильного гравитационного притяжения ближе к планете.
• Если тяга применяется только в одной точке орбиты спутника, она будет возвращаться к той же точке на каждой последующей орбите, хотя остальная часть его пути изменится. Таким образом, невозможно перейти с одной круговой орбиты на другую с помощью только одного кратковременного приложения тяги.
• С круговой орбиты тяга, приложенная в направлении, противоположном движению спутника, изменяет орбиту на эллиптическую; спутник опустится и достигнет самой нижней точки орбиты (периапс ) на 180 градусов от точки запуска; тогда он поднимется обратно. Тяга, приложенная в направлении движения спутника, создает эллиптическую орбиту с высшей точкой (apoapse ) на 180 градусов от точки стрельбы.

Последствия правил орбитальной механики иногда противоречат интуиции.. Например, если два космических корабля находятся на одной круговой орбите и хотят состыковаться, если они не находятся очень близко, ведомый корабль не может просто запустить свои двигатели, чтобы двигаться быстрее. Это изменит форму его орбиты, в результате чего он наберет высоту и фактически замедлится относительно ведущего корабля, не попав в цель. космическое сближение перед стыковкой обычно требует нескольких точно рассчитанных запусков двигателей за несколько орбитальных периодов, требующих часов или даже дней для завершения.

В той степени, в которой стандартные предположения астродинамики не выполняются, фактические траектории будут отличаться от рассчитанных. Например, простое атмосферное сопротивление является еще одним осложняющим фактором для объектов на низкой околоземной орбите. Эти практические правила явно неточны при описании двух или более тел одинаковой массы, таких как двойная звездная система (см. задачу о n телах ). Небесная механика использует более общие правила, применимые к большему количеству ситуаций. Законы движения планет Кеплера, которые математически можно вывести из законов Ньютона, строго соблюдаются только при описании движения двух гравитирующих тел в отсутствие негравитационных сил; они также описывают параболические и гиперболические траектории. В непосредственной близости от крупных объектов, таких как звезды, также становятся важными различия между классической механикой и общей теорией относительности.

Законы астродинамики

Основными законами астродинамики являются закон всемирного тяготения Ньютона и законы движения Ньютона, а основным математическим инструментом является дифференциальное исчисление.

Каждая орбита и траектория вне атмосферы в принципе обратимы, т. е. в пространственно-временной функции время переворачивается. Скорости поменялись местами, а ускорения остались прежними, в том числе от ракетных взрывов. Таким образом, если взрыв ракеты происходит в направлении скорости, в обратном случае он противоположен скорости. Конечно, в случае ракетных взрывов нет полного разворота событий, в обоих случаях используется одна и та же дельта-v и применяется одно и то же отношение масс.

Стандартные допущения в астродинамике включают невмешательство со стороны внешних тел, пренебрежимо малую массу одного из тел и пренебрежимо малые другие силы (например, от солнечного ветра, атмосферного сопротивления и т. Д.). Более точные вычисления могут быть выполнены без этих упрощающих предположений, но они более сложные. Повышенная точность часто не дает существенных результатов в расчетах.

Законы движения планет Кеплера могут быть выведены из законов Ньютона, когда предполагается, что вращающееся тело подчиняется только гравитационной силе центрального аттрактора. Когда присутствует тяга двигателя или движущая сила, законы Ньютона все еще применяются, но законы Кеплера недействительны. Когда тяга прекратится, результирующая орбита будет другой, но снова будет описана законами Кеплера. Эти три закона следующие:

1. орбита каждой планеты представляет собой эллипс с Солнцем в одном из фокусов.
2. A линии присоединяется к планете, и Солнце сметает равные области за равные промежутки времени.
3. квадраты из периодов обращения планет прямо пропорциональны к кубам большой полуоси орбит.

Скорость убегания

Формула для космической скорости выводится следующим образом. удельная энергия (энергия на единицу массы ) любого космического корабля состоит из двух компонентов: удельной потенциальной энергии и удельной кинетической энергии. Удельная потенциальная энергия, связанная с планетой с массой M, определяется как

$ϵ\; p\; =\; -\; GM\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{p\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{r\}\}\; \backslash ,\}$

в то время как удельная кинетическая энергия объекта определяется выражением

$ϵ\; k\; =\; v\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{v\; ^\; \{2\; \}\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\}$

, поэтому общая удельная орбитальная энергия равна

$ϵ\; =\; ϵ\; k\; +\; ϵ\; p\; =\; v\; 2\; 2\; -\; GM\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{k\}\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{v\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{r\}\}\; \backslash ,\}$

Поскольку энергия сохранено, $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$не может зависеть от расстояния $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$от центра центрального тела к рассматриваемому космическому аппарату, т. е. v должно изменяться вместе с r, чтобы удельная орбитальная энергия оставалась постоянной. Следовательно, объект может достичь бесконечности $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$только в том случае, если эта величина неотрицательна, что подразумевает

$v\; \ge \; 2\; G\; M\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \backslash \; geq\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2GM\}\; \{r\}\}\}.\}$

Улетная скорость от поверхности Земли составляет около 11 км / с, но этого недостаточно, чтобы отправить тело на бесконечное расстояние из-за гравитационного притяжения Солнца. Чтобы покинуть Солнечную систему из места на расстоянии, равном расстоянию от Солнца до Земли, но не близко к Земле, требуется скорость около 42 км / с, но будет «частичная заслуга» в орбитальной скорости Земли. для космических аппаратов, запускаемых с Земли, если их дальнейшее ускорение (за счет двигательной установки) переносит их в том же направлении, что и Земля движется по своей орбите.

Формулы для свободных орбит

Орбиты - это конические секции, поэтому формула расстояния до тела для заданного угла соответствует формуле для этой кривой в полярные координаты, то есть:

$r\; =\; p\; 1\; +\; e\; cos\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{1\; +\; e\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\}$

$\mu \; =\; G\; (м\; 1\; +\; м\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; G\; (m\_\; \{1\}\; +\; m\_\; \{2\})\; \backslash ,\}$

$p\; =\; h\; 2\; /\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; h\; ^\; \{2\}\; /\; \backslash \; mu\; \backslash ,\}$

$\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$называется гравитационным параметром. $m\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{1\}\}$и $m\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{2\}\}$- массы объектов 1 и 2, а $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$- удельный угловой момент объекта 2 относительно объекта 1. Параметр $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$известна как истинная аномалия, $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$представляет собой полу-латус прямой кишки, а $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$- эксцентриситет орбиты, который можно получить с помощью различных форм шести независимых элементов орбиты.

Круговых орбит

Все ограниченные орбиты, где сила тяжести центрального тела преобладает, имеют эллиптическую природу. Частным случаем этого является круговая орбита, представляющая собой эллипс с нулевым эксцентриситетом. Формула для скорости тела на круговой орбите на расстоянии r от центра тяжести массы M может быть получена следующим образом:

Центробежное ускорение соответствует ускорению свободного падения.

Итак, $v\; 2\; /\; r\; =\; GM\; /\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{2\}\; /\; r\; =\; GM\; /\; r\; ^\; \{2\}\}$

Следовательно,

$v\; =\; GM\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; v\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{r\}\}\; \backslash \}\}\}$

где $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- гравитационный константа, равная

6,673 84 × 10 м / (кг · с)

Для правильного использования этой формулы единицы должны быть согласованы; например, $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$должен быть в килограммах, а $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$должен быть в метрах. Ответ будет в метрах в секунду.

Величину $GM\; \{\backslash \; displaystyle\; GM\}$часто называют стандартным гравитационным параметром, который имеет разные значения для каждой планеты или луны в Солнечная система.

Как только круговая орбитальная скорость известна, космическая скорость легко найти, умножив на квадратный корень из 2 :

$v\; =\; 2\; GM\; r\; =\; 2\; GM\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; v\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{r\}\}\; \backslash \}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{2GM\}\; \{r\}\}\; \backslash \}\}.\}$

Чтобы избежать гравитации, кинетическая энергия должна как минимум соответствовать отрицательной потенциальной энергии. Итак, $1/2\; m\; v\; 2\; =\; G\; M\; m\; /\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; 2mv\; ^\; \{2\}\; =\; GMm\; /\; r\}$и, следовательно,

$v\; =\; 2\; G\; M\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{2GM\}\; \{r\}\}\; \backslash \}\}.\}$

Эллиптические орбиты

Если , то знаменатель уравнения свободных орбит меняется с истинной аномалией $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$, но остается положительным и никогда не становится нулевым. Следовательно, вектор относительного положения остается ограниченным, имея наименьшую величину в перицентре $rp\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{p\}\}$, которая определяется как:

$rp\; =\; p\; 1\; +\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{1\; +\; e\}\}\}$

Максимальное значение $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$достигается, когда $\theta \; =\; 180\; \circ \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; 180\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}$. Эта точка называется апоапсисом, и ее радиальная координата, обозначенная $ra\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{a\}\}$, равна

$ra\; =\; p\; 1\; -\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{1-e\}\}\}$

Пусть $2\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; 2a\}$будет расстоянием, измеренным по линии апсиды от периапсиса $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$в апоапсис $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, как показано в уравнении ниже:

$2\; a\; =\; rp\; +\; ra\; \{\backslash \; displaystyle\; 2a\; =\; r\_\; \{p\; \}\; +\; r\_\; \{a\}\}$

Подставляя приведенные выше уравнения, мы получаем:

$a\; =\; p\; 1\; -\; e\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{1-e\; ^\; \{2\}\}\}\}$

a - большая полуось эллипса. Решая относительно $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$и подставляя результат в формулу кривой конического сечения выше, мы получаем:

$r\; =\; a\; (1\; -\; e\; 2)\; 1\; +\; e\; cos\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; (1-e\; ^\; \{2\})\}\; \{1\; +\; e\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\}$

Период обращения

При стандартных предположениях орбитальный период ($T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash ,\; \backslash !\}$) тела, движущегося по эллиптической орбите, можно вычислить как:

$T\; =\; 2\; \pi \; a\; 3\; \mu \; \{\; \backslash \; displaystyle\; T\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{3\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; mu\}\}\}\}$

где:

• $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash ,\}$равно стандартный гравитационный параметр,
• $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash ,\; \backslash !\}$- длина большой полуоси.

Выводы:

• Орбитальный период равен периоду обращения круговая орбита с радиусом орбиты, равным большой полуоси ($a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash ,\; \backslash !\}$),
• для данной большой полуоси период обращения не зависит от эксцентриситета (См. также: третий закон Кеплера ).

Скорость

При стандартных предположениях орбитальная скорость ($v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \backslash ,\}$) тела, движущегося по эллиптической орбите, может быть вычислена из Vis- уравнение viva как:

$v\; =\; \mu \; (2\; r\; -\; 1\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; left\; (\{2\; \backslash \; over\; \{r\}\}\; -\; \{1\; \backslash \; over\; \{a\})\; \}\; \backslash \; right)\}\}\}$

где:

• $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash ,\}$- стандартный гравитационный параметр,
• $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash ,\}$- расстояние между вращающимися телами.
• $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash ,\; \backslash !\}$- длина большой полуоси.

Уравнение скорости для гиперболической траектории либо + $1\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{1\; \backslash \; over\; \{a\}\}\}$, либо то же самое с соглашением, что в этом случае отрицательный.

Энергия

При стандартных предположениях, удельная орбитальная энергия ($ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \backslash ,\}$) эллиптической орбиты равна отрицательным, а уравнение сохранения орбитальной энергии (уравнение Висвивы ) для этой орбиты может иметь вид:

где:

• $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \backslash ,\}$- скорость движущегося по орбите тела,
• $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash ,\}$- расстояние движущегося по орбите тела от центр масс центрального тела,
• $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash ,\}$- это большая полуось,
• $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash ,\}$- стандартный гравитационный параметр.

Выводы:

• Для данной большой полуоси удельная орбитальная энергия не зависит от эксцентриситета.

Использование теоремы вириала мы находим:

• среднее время удельной потенциальной энергии равно 2ε
  • среднее время r равно a
• среднее время удельной кинетической энергии равно -ε

Па орбиты кролика

Если эксцентриситет равен 1, то уравнение орбиты принимает следующий вид:

$r\; =\; h\; 2\; \mu \; 1\; 1\; +\; cos\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\{h\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; over\; \{\; \backslash \; mu\}\}\; \{\{1\}\; \backslash \; over\; \{1+\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\}$

где:

• $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash ,\}$- радиальное расстояние орбитального тела от центра масс центрального тела,
• $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \backslash ,\}$- это удельный угловой момент орбитального тела,
• $\theta \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \backslash ,\}$- это истинная аномалия движущегося по орбите тела,
• $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash ,\}$- это стандартный гравитационный параметр.

Поскольку истинная аномалия θ приближается к 180 °, знаменатель приближается к нулю, так что r стремится к бесконечности. Следовательно, энергия траектории, для которой e = 1 равна нулю, определяется как:

$ϵ\; =\; v\; 2\; 2\; -\; \mu \; r\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; \{v\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; 2\}\; -\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; over\; \{r\}\}\; =\; 0\}$

где:

• $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \backslash ,\}$- скорость движущегося по орбите тела.

Другими словами, скорость в любом месте параболического пути:

$v\; =\; 2\; \mu \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; mu\; \backslash \; over\; \{r\}\}\}\}$

Гиперболические орбиты

Если $е>1\; \{\backslash \; displaystyle\; e>1\}$, формула орбиты,

$r\; =\; h\; 2\; \mu \; 1\; 1\; +\; e\; cos\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\{h\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{\; \{1\}\; \backslash \; over\; \{1\; +\; e\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\}$

описывает геометрию гиперболической орбиты. Система состоит из двух симметричных кривых. Обращающееся тело занимает одну из них, другая - его пустую математическую форму. изображение. Очевидно, знаменатель приведенного выше уравнения стремится к нулю, когда $cos\; \; \theta \; =\; -\; 1\; /\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; =\; -1\; /\; e\}$. мы обозначаем это значение истинной аномалии

$\theta \; \infty \; =\; cos\; -\; 1\; \; (-\; 1\; e)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; =\; \backslash \; cos\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{e\}\}\; \backslash \; right)\}$

поскольку радиальное расстояние приближается к бесконечности по мере приближения истинной аномалии $\theta \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$, известная как истинная аномалия асимптоты. Обратите внимание, что $\theta \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$лежит между 90 ° и 180 °. Из тригонометрического тождества $sin\; 2\; \; \theta \; +\; cos\; 2\; \; \theta \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; +\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; =\; 1\}$следует, что :

$грех\; \; \theta \; \infty \; =\; 1\; ee\; 2-1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{e\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{e\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\; \}$

Энергия

Согласно стандартным предположениям, удельная орбитальная энергия ($ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \backslash ,\}$) гиперболической траектория больше нуля, и уравнение сохранения орбитальной энергии для этого вида траектории принимает форму:

$ϵ\; =\; v\; 2\; 2\; -\; \mu \; r\; =\; \mu \; -\; 2\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; \{v\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; 2\}\; -\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; over\; \{r\}\}\; =\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; over\; \{-2a\}\}\}$

где:

• $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \backslash ,\}$- орбитальная скорость движущегося по орбите тела,
• $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash ,\}$- радиальное расстояние движущегося по орбите тела от центрального тела,
• $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash ,\}$- отрицательная большая полуось орбиты гиперболы,
• $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash ,\}$составляет стандартный гра жизненный параметр.

Гиперболическая избыточная скорость

Согласно стандартным предположениям, тело, движущееся по гиперболической траектории, достигнет на $r\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\}$бесконечности орбитальной точки скорость, называемая гиперболической избыточной скоростью ($v\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$), которая может быть вычислена как:

$v\; \infty \; =\; \mu \; -\; a\; \{\; \backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; over\; \{-a\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

где:

• $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash ,\; \backslash !\}$- это стандартный гравитационный параметр,,
• $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash ,\; \backslash !\}$- отрицательная большая полуось на орбите ' s гипербола.

Гиперболическая избыточная скорость связана с удельной орбитальной энергией или характеристической энергией соотношением

$2\; ϵ\; =\; C\; 3\; =\; v\; \infty \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; epsilon\; =\; C\_\; \{\; 3\}\; =\; v\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Расчет траекторий

Уравнение Кеплера

Один из подходов к вычислению орбит (в основном используемый исторически) заключается в использовании Уравнение Кеплера :

$M\; =\; E\; -\; ϵ\; \cdot \; sin\; \; E\; \{\; \backslash \; displaystyle\; M\; =\; E-\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sin\; E\}$.

, где M - средняя аномалия, E - эксцентрическая аномалия и $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$- это эксцентриситет.

. С помощью формулы Кеплера определение времени пролета для достижения угла (истинная аномалия ) $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$из периапсиса разбивается на два этапа:

1. Вычислить эксцентрическую аномалию $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$из истины аномалия $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$
2. Вычислить время пролета $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$из эксцентричной аномалии $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$

Найти эксцентрическую аномалию в данный момент времени (обратная задача ) сложнее. Уравнение Кеплера трансцендентно в $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$, что означает, что оно не может быть решено для $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$алгебраически. Уравнение Кеплера может быть решено для $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$аналитически путем инверсии.

Решение уравнения Кеплера, действительное для всех действительных значений $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; epsilon\}$:

$E\; =\; \{\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; M\; п\; 3\; п!\; lim\; \theta \; \to \; 0\; (d\; n\; -\; 1\; d\; \theta \; n\; -\; 1\; (\theta \; \theta \; -\; sin\; \; (\theta )\; 3\; n)),\; ϵ\; =\; 1\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; M\; n\; n!\; lim\; \theta \; \to \; 0\; (dn\; -\; 1\; d\; \theta \; N\; -\; 1\; (\theta \; \theta \; -\; ϵ\; \cdot \; sin\; \; (\theta )\; n)),\; ϵ\; \ne \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{M\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{3\}\}\}\; \{n!\}\}\; \backslash \; Lim\; \_\; \{\backslash \; theta\; \backslash \; to\; 0\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\; \}\; ^\; \{\backslash ,\; n-1\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\; ^\; \{\backslash ,\; n-1\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; theta\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\}\}\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right),\; \backslash \; epsilon\; =\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{M\; ^\; \{n\; \}\}\; \{n!\}\}\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; theta\; \backslash \; to\; 0\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{\backslash ,\; n-1\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; theta\; ^\; \{\backslash ,\; n-1\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{\backslash \; theta\; -\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\}\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right),\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; neq\; 1\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Оценка этого результата дает:

$E = {x + 1 60 x 3 + 1 1400 x 5 + 1 25200 x 7 + 43 17248000 x 9 + 1213 7207200000 x 11 + 151439 12713500800000 x 13 ⋯ | Икс знак равно (6 M) 1 3, ϵ = 1 1 1 - ϵ M - ϵ (1 - ϵ) 4 M 3 3! + (9 ϵ 2 + ϵ) (1 - ϵ) 7 M 5 5! - (225 ϵ 3 + 54 ϵ 2 + ϵ) (1 - ϵ) 10 M 7 7! + (11025 ϵ 4 + 4131 ϵ 3 + 243 ϵ 2 + ϵ) (1 - ϵ) 13 M 9 9! ⋯, ϵ ≠ 1 {\ displaystyle E = {\ begin {cases} \ displaystyle x + {\ frac {1} {60}} x ^ {3} + {\ frac {1} {1400}} x ^ {5} + {\ frac {1} {25200}} x ^ {7} + {\ frac {43} {17248000}} x ^ {9} + {\ frac {1213} {7207200000}} x ^ {11} + { \ frac {151439} {12713500800000}} x ^ {13} \ cdots \ | \ x = (6M) ^ {\ frac {1} {3}}, \ epsilon = 1 \\\\\ displaystyle {\ frac {1} {1- \ epsilon}} M - {\ frac {\ epsilon} {(1- \ epsilon) ^ {4}}} {\ frac {M ^ {3}} {3!}} + {\ frac {(9 \ epsilon ^ {2} + \ epsilon)} {(1- \ epsilon) ^ {7}}} {\ frac {M ^ {5}} {5!}} - {\ frac {(225 \ epsilon ^ {3} +54 \ epsilon ^ {2} + \ epsilon)} {(1- \ epsilon) ^ {10}}} {\ frac {M ^ {7}} {7!}} + {\ frac {(11025 \ epsilon ^ {4} +4131 \ epsilon ^ {3} +243 \ epsilon ^ {2} + \ epsilon)} {(1- \ epsilon) ^ {13}}} {\ frac {M ^ {9}} {9!}} \ Cdots, \ epsilon \ neq 1 \ end {cases}}}$

. В качестве альтернативы уравнение Кеплера можно решить численно. Сначала нужно угадать значение $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$и вычислить время пролета; затем отрегулируйте $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$по мере необходимости, чтобы приблизить вычисленное время пролета к желаемому значению, пока не будет достигнута требуемая точность. Обычно метод Ньютона используется для достижения относительно быстрой сходимости.

Основная трудность этого подхода заключается в том, что для схождения на экстремальных эллиптических орбитах может потребоваться слишком много времени. Для околопараболических орбит эксцентриситет $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$равен почти 1, и включение $e\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; 1\}$в формула для средней аномалии, $E\; -\; sin\; \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; E-\; \backslash \; sin\; E\}$, мы обнаруживаем, что вычитаем два почти равных значения, и точность страдает. Для почти круговых орбит трудно найти перицентр (а на истинно круговых орбитах перицентр вообще отсутствует). Кроме того, уравнение было выведено на основе предположения об эллиптической орбите, поэтому оно не выполняется для параболических или гиперболических орбит. Эти трудности и привели к разработке универсальной формулировки переменных, описанной ниже.

Конические орбиты

Для простых процедур, таких как вычисление дельта-v для копланарных переносных эллипсов, традиционные подходы довольно эффективны. Другие, такие как время пролета, намного сложнее, особенно для почти круговых и гиперболических орбит.

Аппроксимация конической формы

Сама по себе переходная орбита Хомана является плохим приближением для межпланетных траекторий, поскольку не учитывает собственную гравитацию планет. Планетарная гравитация доминирует в поведении космического корабля в непосредственной близости от планеты, и в большинстве случаев Хоманн сильно переоценивает дельта-v и дает очень неточные предписания для времени сгорания.

Относительно простой способ получить аппроксимацию первого порядка дельта-v основан на методе «аппроксимации конической формы с исправлениями». Нужно выбрать одно доминирующее гравитирующее тело в каждой области пространства, через которую будет проходить траектория, и смоделировать эффекты только этого тела в этой области. Например, на траектории от Земли до Марса можно было бы начать с рассмотрения только силы тяжести Земли, пока траектория не достигнет расстояния, на котором гравитация Земли больше не будет преобладать над гравитацией Солнца. Космическому кораблю будет дана космическая скорость, чтобы отправить его в межпланетное пространство. Далее, можно было бы рассматривать только гравитацию Солнца, пока траектория не достигнет окрестностей Марса. На этом этапе уместна модель переходной орбиты. Наконец, только гравитация Марса учитывается на последнем участке траектории, где гравитация Марса определяет поведение космического корабля. Космический корабль приблизится к Марсу по гиперболической орбите, и окончательное ретроградное горение замедлит космический корабль настолько, чтобы он был захвачен Марсом.

Размер «окрестностей» (или сфер влияния ) зависит от радиуса $r\; SOI\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{SOI\}\}$:

$r\; SOI\; =\; ap\; (mpms)\; 2/5\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{SOI\}\; =\; a\_\; \{p\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{m\_\; p\}\}\; \{m\_\; \{s\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2/5\}\}$

где $ap\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{p\}\}$- большая полуось орбиты планеты относительно Солнца ; $mp\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{p\}\}$и $ms\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{s\}\}$- массы планеты и Солнце соответственно.

Этого упрощения достаточно для вычисления приблизительных оценок потребности в топливе и приблизительных оценок времени полета, но, как правило, оно недостаточно точно для направления космического корабля к месту назначения. Для этого требуются численные методы.

Формулировка универсальной переменной

Чтобы устранить вычислительные недостатки традиционных подходов к решению задачи двух тел, была разработана формулировка универсальной переменной. Он одинаково хорошо работает для кругового, эллиптического, параболического и гиперболического случаев, дифференциальные уравнения хорошо сходятся при интегрировании для любой орбиты. Он также хорошо обобщается на задачи, включающие теорию возмущений.

Возмущения

Формулировка универсальной переменной хорошо работает с техникой изменения параметров, за исключением того, что теперь вместо шести кеплеровских орбитальных элементов мы используем другой набор орбитальных элементов: а именно, спутник векторы начального положения и скорости $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$и $v\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{0\}\}$в заданную эпоху $т\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 0\}$. В моделировании двух тел этих элементов достаточно для вычисления положения и скорости спутника в любое время в будущем, используя формулировку универсальной переменной. И наоборот, в любой момент на орбите спутника мы можем измерить его положение и скорость, а затем использовать подход универсальных переменных, чтобы определить его начальное положение и скорость в ту эпоху. В идеальном движении двух тел эти орбитальные элементы были бы инвариантными (как и кеплеровские элементы).

Однако возмущения заставляют элементы орбиты со временем изменяться. Следовательно, мы записываем элемент позиции как $x\; 0\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; (t)\}$, а элемент скорости как $v\; 0\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{0\}\; (t)\}$, что означает, что они меняются со временем. Методика вычисления влияния возмущений сводится к нахождению выражений, точных или приближенных, для функций $x\; 0\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; (t)\}$и $v\; 0\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{0\}\; (t)\}$.

Ниже приведены некоторые эффекты, которые отличают реальные орбиты от простых моделей, основанных на сферической Земле. Большинство из них можно обработать в коротких временных масштабах (возможно, менее нескольких тысяч витков) с помощью теории возмущений, потому что они малы по сравнению с соответствующими эффектами двух тел.

• Экваториальные выпуклости вызывают прецессию узла, а перигей
• Тессеральные гармоники гравитационного поля вносят дополнительные возмущения
• Лунные и солнечные гравитационные возмущения изменяют орбиты
• Атмосферное сопротивление уменьшает большую полуось, если не используется тяга подпитки

В очень длительных временных масштабах (возможно, миллионы орбит) даже небольшие возмущения могут преобладать, и поведение может стать хаотическим. С другой стороны, различные возмущения могут быть организованы умными астродинамиками для помощи в выполнении задач по поддержанию орбиты, таких как поддержание станции, обслуживание или корректировка наземного пути, или фазирование перигея до прикрывать избранные цели на малой высоте.

Орбитальный маневр

В космическом полете, орбитальный маневр - это использование двигательных систем для изменения орбита космического корабля . Для космических аппаратов, далеких от Земли, например, находящихся на орбитах вокруг Солнца, орбитальный маневр называется маневром в дальний космос (DSM).

Орбитальный переход

Переходные орбиты обычно являются эллиптическими орбитами, которые позволяют космическим кораблям переходить с одной (обычно круговой) орбиты на другую. Обычно они требуют ожога в начале, ожога в конце, а иногда и одного или нескольких ожогов посередине.

• переходная орбита Хомана требует минимального дельта-v.
• A биэллиптический перенос может потребовать меньше энергии, чем перенос Хомана, если отношение орбит составляет 11,94 или больше, но происходит за счет увеличения времени полета по сравнению с передачей Хомана.
• Более быстрые передачи могут использовать любую орбиту, которая пересекает как исходную, так и конечную орбиты, за счет более высокой дельта-v.
• Используя двигатели малой тяги (такие как электрическая тяга ), если начальная орбита является суперсинхронной с конечной желаемой круговой орбитой, тогда оптимальная переходная орбита достигается за счет непрерывной тяги в направлении скорости на апогее. Однако этот метод занимает гораздо больше времени из-за малой тяги.

В случае перехода по орбите между некопланарными орбитами, тяга с изменением плоскости должна выполняться в точке, где плоскости орбиты пересечь («узел»). Поскольку цель состоит в том, чтобы изменить направление вектора скорости на угол, равный углу между плоскостями, почти вся эта тяга должна создаваться, когда космический корабль находится в узле вблизи апоапса, когда величина вектора скорости равна на самом низком уровне. Однако небольшая часть изменения наклона орбиты может быть произведена в узле около периапса, слегка наклонив тягу инжекции переходной орбиты в направлении желаемого изменения наклона. Это работает, потому что косинус малого угла очень близок к единице, что приводит к тому, что небольшое изменение плоскости фактически "бесплатное", несмотря на высокую скорость космического корабля вблизи периапса, поскольку эффект Оберта из-за увеличенной, слегка наклоненной тяги превышает стоимость тяги по нормали к орбите.

A Переход Хомана с низкой круговой орбиты на более высокую круговую орбиту A двухэллиптический переход с низкой круговой стартовой орбиты (темно-синий) на более высокую круговую орбиту (красный) Типичный двухимпульсный эллиптический перенос между двумя круговыми орбитами Общий t переход с низкой круговой орбиты на более высокую круговую орбиту Оптимальная последовательность для перевода спутника с суперсинхронной на геостационарную орбиту с использованием электрической тяги

Сила тяжести и эффект Оберта

В Gravity Assistance, космический корабль пролетает мимо планеты и улетает в другом направлении с другой скоростью. Это полезно для ускорения или замедления космического корабля вместо того, чтобы нести больше топлива.

Этот маневр можно приблизительно описать упругим столкновением на больших расстояниях, хотя пролет не требует физического контакта. Согласно третьему закону Ньютона (равная и противоположная реакция) любой импульс, набранный космическим кораблем, должен быть потерян планетой, или наоборот. Однако, поскольку планета намного массивнее космического корабля, влияние на орбиту планеты незначительно.

Эффект Оберта может использоваться, в частности, во время работы в режиме гравитации. Этот эффект заключается в том, что использование двигательной установки лучше работает на высоких скоростях, и, следовательно, изменение курса лучше всего производить, когда оно приближается к гравитирующему телу; это может умножить эффективную дельта-v.

межпланетную транспортную сеть и нечеткие орбиты

. Теперь можно использовать компьютеры для поиска маршрутов, используя нелинейности в гравитации планет и лун Солнечная система. Например, можно построить орбиту от высокой околоземной орбиты к Марсу, проходящую близко к одной из троянских точек Земли. В совокупности именуемые межпланетной транспортной сетью, эти крайне пертурбативные, даже хаотические орбитальные траектории в принципе не требуют топлива сверх того, что необходимо для достижения точки Лагранжа (на практике для сохранения траектории требуется некоторая корректировка курса). Самая большая проблема с ними в том, что они могут работать очень медленно и занимать много лет. Кроме того, окна запуска могут быть очень далеко друг от друга.

Однако они были задействованы в таких проектах, как Genesis. Этот космический корабль посетил точку Земля-Солнце L1 и вернулся с очень небольшим количеством топлива.

См. Также

• Портал космических полетов

• Аэродинамика
• Аэрокосмическая техника
• Астрофизика
• Канонические единицы
• Небесная механика
• Теория хаоса
• Орбита Кеплера
• Лагранжиан точка
• Машиностроение
• Задача N тел
• Орбита
• Порядки величины (скорости)
• Предел Роша
• Движение космического корабля
• Уравнение ракеты Циолковского
• Формулировка универсальной переменной

Ссылки

• Curtis, Howard D. (2009). Орбитальная механика для студентов инженерных специальностей, 2д. Нью-Йорк: Эльзевир. ISBN 978-0-12-374778-5.
• Bate, Roger R.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-60061-0.

• Продавцы, Джерри Дж.; Астор, Уильям Дж.; Гиффен, Роберт Б.; Ларсон, Уайли Дж. (2004). Киркпатрик, Дуглас Х. (ред.). Понимание космоса: введение в космонавтику (2-е изд.). Макгроу Хилл. п. 228. ISBN 0-07-242468-0.

• «Учебник по космосу в авиационном университете, глава 8 - Орбитальная механика» (PDF). USAF. Архивировано из оригинала (PDF) 14 февраля 2013 г. Проверено 13 октября 2007 г.

Дополнительная литература

Многие варианты, процедуры и вспомогательная теория описаны в стандартных работах, таких как:

• Bate, R.R.; Mueller, D.D.; Уайт, Дж. Э. (1971). Основы астродинамики. Dover Publications, Нью-Йорк. ISBN 978-0-486-60061-1.
• Валладо, Д. А. (2001). Основы астродинамики и приложений (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-7923-6903-5.
• Баттин, Р.Х. (1999). Введение в математику и методы астродинамики. Американский институт аэронавтики и астрономии, Вашингтон, округ Колумбия ISBN 978-1-56347-342-5.
• Чоботов В.А., изд. (2002). Орбитальная механика (3-е изд.). Американский институт аэронавтики и астрономии, Вашингтон, округ Колумбия ISBN 978-1-56347-537-5.
• Херрик, С. (1971). Астродинамика: определение орбиты, космическая навигация, небесная механика, том 1. Ван Ностранд Рейнхольд, Лондон. ISBN 978-0-442-03370-5.
• Херрик, С. (1972). Астродинамика: коррекция орбиты, теория возмущений, интегрирование, том 2. Ван Ностранд Рейнхольд, Лондон. ISBN 978-0-442-03371-2.
• Каплан, М.Х. (1976). Динамика и управление современных космических аппаратов. Вили, Нью-Йорк. ISBN 978-0-471-45703-9.
• Том Логсдон (1997). Орбитальная механика. Wiley-Interscience, Нью-Йорк. ISBN 978-0-471-14636-0.
• Джон Э. Пруссинг и Брюс А. Конвей (1993). Орбитальная механика. Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк. ISBN 978-0-19-507834-3.
• M.J. Сиди (2000). Динамика и управление космическими аппаратами. Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк. ISBN 978-0-521-78780-2.
• W.E. Визель (1996). Динамика космического полета (2-е изд.). Макгроу-Хилл, Нью-Йорк. ISBN 978-0-07-070110-6.
• J.P. Винти (1998). Орбитальная и небесная механика. Американский институт аэронавтики и астрономии, Рестон, Вирджиния. ISBN 978-1-56347-256-5.
• стр. Гурфил (2006). Современная астродинамика. Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-12-373562-1.

Внешние ссылки

• ОРБИТАЛЬНАЯ МЕХАНИКА (Ракетно-космические технологии)
• Java Astrodynamics Toolkit
• На основе астродинамики Сеть знаний о космическом трафике и событиях