В формулировке ADM из общей теории относительности пространство-время разделено на пространственные срезы и временную ось. Берутся основные переменные быть индуцированной метрикой на пространственном срезе и сопряженным импульсом метрики , что соответствует ed до внешней кривизны и является мерой того, как индуцированная метрика развивается во времени. Это метрические канонические координаты.
В 1986 году Абхай Аштекар представил новый набор канонических переменных, Аштекар (новый ) переменных для представления необычного способа переписывания метрических канонических переменных на трехмерных пространственных срезах в терминах SU(2) калибровочного поля и его дополнительной переменной.
Переменные Аштекара обеспечивают то, что называется представлением связи канонической общей теории относительности, которое привело к петлевому представлению квантовой общей теории относительности и, в свою очередь, петлевой квантовой гравитации и теории.
Представим набор из трех векторных полей , , которые ортогональны, то есть
называются триадой или drei-bein (дословный перевод с немецкого, "три -лега "). Теперь существует два разных типа индексов: «космические» индексы , которые ведут себя как обычные индексы в искривленном пространстве, и «внутренние» индексы , которые ведут себя как индексы плоского пространства (соответствующая «метрика», повышающая и понижающая внутренние индексы, это просто ). Определите двойное дрей-бейн как
Тогда у нас есть два отношения ортогональности
где - обратная матрица метрики (это происходит из-за замены формулы для двойного дрей-бейн в терминах дрей-бейн в и с использованием ортогональности дрей-бейнов).
и
(это происходит в результате заключения договора с и с использованием линейной независимости ). Тогда это легко проверить из первого соотношения ортогональности (используя ), что
мы получили формулу обратной метрики в терминах drei-beins - drei-beins можно рассматривать как "квадратные" корень "метрики (физический смысл этого состоит в том, что метрика , когда написана на основе , локально плоский). На самом деле считается, что
который включает уплотненный дрей -bein вместо этого (уплотнено как ). Восстанавливается из метрика, умноженная на коэффициент, заданный его определителем. Понятно, что и содержат ту же информацию, только что измененную. Теперь выбор для не уникален, и на самом деле можно выполнить локальное в пространстве поворот относительно внутренних индексов без изменения (обратной) метрики. Это источник калибровочной инвариантности . Теперь, если кто-то собирается работать с объектами, имеющими внутренние индексы, необходимо ввести соответствующую производную (ковариантную производную ), например ковариантную производную для объекта будет
где - это обычный Леви -Civita соединение и - это так называемое вращение соединение. Возьмем переменную конфигурации равной
где и . Уплотненный дрей-бейн является сопряженной переменной импульса этого трехмерного калибровочного поля SU (2) (или связи) , в что он удовлетворяет соотношению скобок Пуассона
Константа - это параметр Иммирзи., коэффициент, который перенормирует константу Ньютона . Уплотненный дрей-бейн можно использовать для восстановления метрики, как обсуждалось выше, и соединение можно использовать для восстановления внешней кривизны. Переменные Аштекара соответствуют выбору (отрицательное значение мнимого числа ), тогда называется хиральной спиновой связью. Причина этого выбора спиновой связи заключалась в том, что Аштекар мог значительно упростить наиболее проблемное уравнение канонической общей теории относительности, а именно гамильтонову связь LQG ; этот выбор заставил его второй, внушительный, член исчезнуть, а оставшийся член стал полиномиальным от его новых переменных. Это породило новые надежды на каноническую программу квантовой гравитации. Однако это представляло определенные трудности. Хотя переменные Аштекара обладали преимуществом упрощения гамильтониана, у него есть проблема, заключающаяся в том, что переменные становятся сложными. При квантовании теории трудно обеспечить восстановление реальной общей теории относительности в отличие от сложной общей теории относительности. Кроме того, гамильтоново ограничение, с которым работал Аштекар, было уплотненной версией вместо исходного гамильтониана, то есть он работал с . Возникли серьезные трудности с преобразованием этой величины в квантовый оператор . Это был тот, кто смог использовать обобщение формализма Аштекара для реальных связей (принимает реальные значения) и, в частности, разработал способ упрощения исходного гамильтониана вместе с второй член - в 1996 году. Он также смог преобразовать это гамильтоново ограничение в четко определенный квантовый оператор в рамках петлевого представления. Для описания этих событий см. Запись на домашней странице Джона Баэза, Гамильтоновы ограничения в петлевом представлении квантовой гравитации.
Смолин и другие независимо друг от друга обнаружили, что на самом деле существует Лагранжева формулировка теории с учетом самодуальной формулировки тетрадного действия Палатини принципа общей теории относительности. Эти доказательства были даны в терминах спиноров. Чисто тензорное доказательство новых переменных в терминах триад было дано Голдбергом, а в терминах тетрад - Хенно и др.
|month=
()