Группа Артина – Титса

редактировать

В математической области теории групп, группы Артина, также известные как группы Артина – Титса или обобщенные группы кос, представляют собой семейство бесконечных дискретных групп, определенных простыми представлениями. Они тесно связаны с группами Кокстера. Примерами, среди прочего, являются свободные группы, свободные абелевы группы, группы кос и прямоугольные группы Артина – Титса.

Группы названы в честь Эмиля Артина из-за его ранней работы с группами кос в 1920-1940-х годах, а также Жака Титса, который разработал теорию большего общий класс групп в 1960-е годы.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Общие свойства
4 Частные классы групп Артина – Титса
- 4.1 Группы Артина – Титса сферического типа
- 4.2 Прямоугольные группы Артина
- 4.3 Группы Артина – Титса большого типа
- 4.4 Другие типы
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература

Определение

Презентация Артина – Титса - это групповая презентация $⟨S ∣ R⟩ {\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$ где $S { \ displaystyle S}$ $S$ - это (обычно конечный) набор образующих, а $R {\ displaystyle R}$ $R$ - набор отношений Артина – Титса, а именно отношений вида $stst… = tsts… {\ displaystyle stst \ ldots = tsts \ ldots}$ ${\ displaystyle stst \ ldots = tsts \ ldots}$ для различных $s, t {\ displaystyle s, t}$ ${\ displaystyle s, t}$ в $S {\ displaystyle S}$ $S$ , где обе стороны имеют одинаковую длину, и существует не более одного отношения для каждой пары различных образующих $s, t {\ displaystyle s, t}$ ${\ displaystyle s, t}$ . Группа Артина – Титса - это группа, допускающая представление Артина – Титса. Аналогично, моноид Артина – Титса - это моноид, который, как моноид, допускает представление Артина – Титса.

В качестве альтернативы группа Артина – Титса может быть указана с помощью набора генераторов $S {\ displaystyle S}$ $S$ и для каждого $s, t {\ displaystyle s, t}$ ${\ displaystyle s, t}$ в $S {\ displaystyle S}$ $S$ , натуральное число $мс, t ⩾ 2 {\ displaystyle m_ {s, t} \ geqslant 2}$ ${\ displaystyle m_ {s, t} \ geqslant 2}$ - длина слов $stst… {\ displaystyle stst \ ldots}$ ${\ displaystyle stst \ ldots}$ и $tsts… {\ displaystyle tsts \ ldots}$ ${\ displaystyle tsts \ ldots}$ так, что $stst… = tsts… {\ displaystyle stst \ ldots = tsts \ ldots}$ ${\ displaystyle stst \ ldots = tsts \ ldots}$ - это отношение, соединяющее $s {\ displaystyle s}$ $s$ и $t {\ displaystyle t}$ $t$ , если есть. По соглашению ставится $мс, t = ∞ {\ displaystyle m_ {s, t} = \ infty}$ ${\ displaystyle m_ { s, t} = \ infty}$ , когда нет отношения $stst… = tsts… {\ displaystyle stst \ ldots = tsts \ ldots}$ ${\ displaystyle stst \ ldots = tsts \ ldots}$ . Формально, если мы определим $⟨s, t⟩ m {\ displaystyle \ langle s, t \ rangle ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ langle s, t \ rangle ^ {m}}$ для обозначения переменного произведения $s {\ displaystyle s}$ $s$ и $t {\ displaystyle t}$ $t$ длиной $m {\ displaystyle m}$ $m$ , начиная с $s {\ displaystyle s }$ $s$ - так что $⟨s, t⟩ 2 = st {\ displaystyle \ langle s, t \ rangle ^ {2} = st}$ ${\ displaystyle \ langle s, t \ rangle ^ {2} = st}$ , $⟨s, t⟩ 3 = sts { \ displaystyle \ langle s, t \ rangle ^ {3} = sts}$ ${\ displaystyle \ langle s, t \ rangle ^ {3} = sts}$ и т. д. - отношения Артина – Титса принимают вид

⟨s, t⟩ ms, t = ⟨t, s ⟩ Mt, s, где ms, t = mt, s ∈ {2, 3,…, ∞}. {\ displaystyle \ langle s, t \ rangle ^ {m_ {s, t}} = \ langle t, s \ rangle ^ {m_ {t, s}}, {\ text {where}} m_ {s, t} = m_ {t, s} \ in \ {2,3, \ ldots, \ infty \}.}

{\ displaystyle \ langle s, t \ rangle ^ {m_ {s, t}} = \ langle t, s \ rangle ^ {m_ {t, s}}, {\ text {где }} m_ {s, t} = m_ {t, s} \ in \ {2,3, \ ldots, \ infty \}.}

Целые числа $мс, t {\ displaystyle m_ {s, t}}$ ${\ displaystyle m_ {s, t}}$ можно организовать в симметричную матрицу, известную как матрица Кокстера группы.

Если $⟨S ∣ R⟩ {\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$ представляет собой презентацию Артина – Титса группы Артина – Титса $A { \ displaystyle A}$ $A$ , частное от $A {\ displaystyle A}$ $A$ , полученное путем добавления отношения $s 2 = 1 {\ displaystyle s ^ {2} = 1}$ $s ^ {2} = 1$ для каждого $s {\ displaystyle s}$ $s$ из $R {\ displaystyle R}$ $R$ - это группа Кокстера. И наоборот, если $W {\ displaystyle W}$ $W$ - группа Кокстера, представленная отражениями и отношениями $s 2 = 1 {\ displaystyle s ^ {2} = 1}$ $s ^ {2} = 1$ удаляются, полученное расширение является группой Артина – Титса. Например, группа Кокстера, связанная с группой кос $n {\ displaystyle n}$ $n$ , является симметричной группой всех перестановок ${1,…, n} {\ displaystyle \ {1, \ ldots, n \}}$ ${\ displaystyle \ {1, \ ldots, n \ }}$ .

Примеры

$G = ⟨S ∣ ∅⟩ {\ displaystyle G = \ langle S \ mid \ emptyset \ rangle}$ ${\ displaystyle G = \ langle S \ mid \ emptyset \ rangle }$ - это свободная группа на основе на $S {\ displaystyle S}$ $S$ ; здесь $мс, t = ∞ {\ displaystyle m_ {s, t} = \ infty}$ ${\ displaystyle m_ { s, t} = \ infty}$ для всех $s, t {\ displaystyle s, t}$ ${\ displaystyle s, t}$ .
$G = ⟨S ∣ {st = ts ∣ s, t ∈ S}⟩ {\ displaystyle G = \ langle S \ mid \ {st = ts \ mid s, t \ in S \} \ rangle}$ ${\ displaystyle G = \ langle S \ mid \ {st = ts \ mid s, t \ in S \} \ rangle}$ является бесплатным абелева группа на основе $S {\ displaystyle S}$ $S$ ; здесь $мс, t = 2 {\ displaystyle m_ {s, t} = 2}$ ${\ displaystyle m_ {s, t} = 2}$ для всех $s, t {\ displaystyle s, t}$ ${\ displaystyle s, t}$ .
$G = ⟨σ 1,…, Σ n - 1 ∣ σ i σ j σ i = σ j σ i σ j для | i - j | = 1, σ i σ j = σ j σ i для | i - j | ⩾ 2⟩ {\ Displaystyle G = \ langle \ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n-1} \ mid \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} = \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} {\ text {for}} \ vert ij \ vert = 1, \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = \ sigma _ {j } \ sigma _ {i} {\ text {for}} \ vert ij \ vert \ geqslant 2 \ rangle}$ ${\ displaystyle G = \ langle \ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n-1} \ mid \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} = \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} {\ text {for}} \ vert ij \ vert = 1, \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} {\ text {for} } \ vert ij \ vert \ geqslant 2 \ rangle}$ - группа кос в $n {\ displaystyle n}$ $n$ пряди; здесь $m σ i, σ j = 3 {\ displaystyle m _ {\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}} = 3}$ ${\ displaystyle m _ {\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}} = 3}$ для $| i - j | Знак равно 1 {\ displaystyle \ vert ij \ vert = 1}$ ${\ displaystyle \ vert ij \ vert = 1}$ и $m σ i, σ j = 2 {\ displaystyle m _ {\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j} } = 2}$ ${\ displaystyle m _ {\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}} = 2}$ для $| i - j |>1 {\ displaystyle \ vert ij \ vert>1}$ $\vert i-j\vert>1$ .

Общие свойства

Моноиды Артина – Титса подходят для методов Гарсайда на основе исследования их отношений делимости и являются хорошо понято:

Моноиды Артина – Титса являются сокращающимися, и они допускают наибольшие общие делители и условные наименьшие общие кратные (наименьшее общее кратное существует, когда есть общее кратное).
Если $A + { \ displaystyle A ^ {+}}$ $A ^ {+}$ является моноидом Артина – Титса, и если $W {\ displaystyle W}$ $W$ является ассоциированной группой Кокстера, существует (set- теоретический) раздел $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ из $W {\ displaystyle W}$ $W$ в $A + {\ displaystyle A ^ {+}}$ $A ^ {+}$ , и каждый элемент $A + {\ displaystyle A ^ {+}}$ $A ^ {+}$ допускает выделенную декомпозицию как последовательность элементов в изображение $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ («жадная нормальная форма»).

Для общих групп Артина – Титса известно очень мало результатов. В частности, в общем случае остаются открытыми следующие основные вопросы:

- решение слов и задач сопряжения - которые предположительно разрешимы,

- определение кручения - который предполагается тривиальным,

- определяет центр - который предполагается тривиальным или моногенным в случае, когда группа не является прямым продуктом («неприводимый случай»),

- определяет когомологии - в частности, решение гипотезы

K (π, 1) {\ displaystyle K (\ pi, 1)}

{\ displaystyle K (\ pi, 1)}

, то есть нахождение ациклического комплекса, фундаментальная группа которого является рассматриваемой

Ниже собраны частичные результаты с участием определенных подсемейств. Среди немногих известных общих результатов можно упомянуть:

Группы Артина – Титса бесконечны счетны.
В группе Артина – Титса $⟨S ∣ R⟩ {\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$ , единственное отношение, соединяющее квадраты элементов $s, t {\ displaystyle s, t}$ ${\ displaystyle s, t}$ of $S {\ displaystyle S}$ $S$ равно $s 2 t 2 = t 2 s 2 {\ displaystyle s ^ {2} t ^ {2} = t ^ {2} s ^ {2}}$ ${\ displaystyle s ^ {2} t ^ {2} = t ^ {2} s ^ {2}}$ если $st = ts {\ displaystyle st = ts}$ ${\ displaystyle st = ts}$ находится в $R {\ displaystyle R}$ $R$ (Джон Крисп и Луис Пэрис).
Для каждой презентации Артина – Титса $⟨S ∣ R⟩ {\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$ моноид Артина – Титса, представленный $⟨S ∣ R⟩ {\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$ встраивается в группу Артина – Титса, представленную $⟨S ∣ R⟩ {\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$ (Париж).
Каждый (конечно порожденный) моноид Артина – Титса допускает конечное семейство Гарсайдов (Мэтью Дайер и Кристоф Хольвег). Как следствие, существование общих правых кратных в моноидах Артина – Титса разрешимо, и редукция мультифракций является эффективной.

Конкретные классы групп Артина – Титса

Могут быть определены несколько важных классов групп Артина. определяется в терминах свойств матрицы Кокстера.

Группы Артина – Титса сферического типа

Группа Артина – Титса называется сферическим типом, если ассоциированная группа Кокстера $W { \ displaystyle W}$ $W$ конечен - следует избегать альтернативной терминологии «группа Артина – Титса конечного типа» из-за ее неоднозначности: «группа конечного типа» - это просто группа, допускающая конечное порождающее множество. Напомним, что известна полная классификация, «неприводимые типы» помечены как бесконечная серия $A n {\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ , $B n {\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ , $D n {\ displaystyle D_ {n}}$ $D_{n}$ , $I 2 (n) {\ displaystyle I_ {2} (n)}$ ${\ displaystyle I_ {2} (n)}$ и шесть исключительных групп $E 6 {\ displaystyle E_ {6}}$ $E_ {6}$ , $E 7 {\ displaystyle E_ {7}}$ $E_ {7}$ , $E 8 {\ displaystyle E_ {8}}$ $E_ {8}$ , $F 4 {\ displaystyle F_ {4}}$ $F_ {4}$ , $H 3 {\ displaystyle H_ {3 }}$ $H_ {3}$ и $H 4 {\ displaystyle H_ {4}}$ $H_ {4}$ .
В случае сферической группы Артина – Титса группа представляет собой группу дробей для моноида, поэтому учиться намного проще. Каждая упомянутая выше задача решается положительно для сферических групп Артина – Титса: проблемы слова и сопряженности разрешимы, их кручение тривиально, центр моноген в неприводимом случае, а когомологии определены (Пьер Делинь геометрическими методами, Эгберт Брискорн и Киоджи Сайто комбинаторными методами).
Чистая группа Артина – Титса сферический тип может быть реализован как фундаментальная группа дополнения конечной конфигурации гиперплоскостей в $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ .
Группы Артина – Титса сферического типа - это биавтоматические группы (Рут Чарни).
В современной терминологии группа Артина – Титса $A {\ displaystyle A}$ $A$ - это группа Гарсайда, что означает, что $A {\ displaystyle A}$ $A$ - это группа дробей связанного моноида $A + {\ displaystyle A ^ { +}}$ $A ^ {+}$ и существует для каждого элемента $A {\ displaystyle A}$ $A$ уникальная нормальная форма, состоящая из конечной последовательности (копий) элементов $W {\ displaystyle W}$ $W$ и их обратных («симметричная жадная нормальная форма»)

Прямоугольные группы Артина

Группа Артина – Титса называется прямоугольной, если все коэффициенты матрицы Кокстера равны либо $2 {\ displaystyle 2}$ $2$ или $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ , т. е. все отношения являются коммутационными отношениями $st = ts {\ displaystyle st = ts}$ ${\ displaystyle st = ts}$ . Имена (свободная) частично коммутативная группа, группа графов, группа трассировки, полусвободная группа или даже локально свободная группа также распространены.
Для этого класса групп Артина – Титса обычно используется другая схема маркировки. Любой graph $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ на $n {\ displaystyle n}$ $n$ вершинах с метками $1, 2,…, n {\ displaystyle 1,2, \ ldots, n}$ $1,2, \ ldots, n$ определяет матрицу $M {\ displaystyle M}$ $M$ , для которой $мс, t = 2 { \ displaystyle m_ {s, t} = 2}$ ${\ displaystyle m_ {s, t} = 2}$ , если вершины $s {\ displaystyle s}$ $s$ и $t {\ displaystyle t}$ $t$ соединены ребром в $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ и $ms, t = ∞ {\ displaystyle m_ {s, t} = \ infty}$ ${\ displaystyle m_ { s, t} = \ infty}$ в противном случае.
Класс прямоугольных групп Артина – Титса включает свободные группы конечного ранга, соответствующие графу без ребер, и конечно-порожденные свободные абелевы группы, соответствующие полному графу. Каждую прямоугольную группу Артина ранга r можно построить как расширение HNN прямоугольной группы Артина ранга $r - 1 {\ displaystyle r-1}$ $r-1$ , с бесплатным продуктом и прямым продуктом в качестве крайних случаев. Обобщение этой конструкции называется графическим произведением групп. Прямоугольная группа Артина является частным случаем этого произведения, где каждая вершина / операнд графа-произведения является свободной группой ранга один (бесконечная циклическая группа ).
Проблемы слова и сопряженности правой -спутанная группа Артина – Титса разрешима, первая - за линейное время, группа не имеет кручения и существует явная конечная клеточная $K (π, 1) {\ displaystyle K (\ pi, 1)}$ ${\ displaystyle K (\ pi, 1)}$ (Джон Крисп, Эдди Годел и Берт Уист).
Каждая прямоугольная группа Артина – Титса действует свободно и кокомпактно на конечномерном CAT (0) комплекс куба, его «комплекс Сальветти». В качестве приложения можно использовать прямоугольные группы Артина и их комплексы Сальветти для построения групп с заданными свойствами конечности (Младен Бествина и Ноэль Брэди) см. также (Ян Лири)

Группы Артина – Титса большого типа

Группа Артина – Титса (и группа Кокстера) называется большим типом, если $ms, t ⩾ 3 {\ displaystyle m_ {s, t} \ geqslant 3}$ ${\ displaystyle m_ {s, t} \ geqslant 3}$ для всех ge nerators $s ≠ t {\ displaystyle s \ neq t}$ ${\ displaystyle s \ neq t}$ ; считается, что он имеет сверхбольшой тип, если $мс, t ⩾ 4 {\ displaystyle m_ {s, t} \ geqslant 4}$ ${\ displaystyle m_ {s, t} \ geqslant 4}$ для всех генераторов $s ≠ t {\ displaystyle s \ neq t}$ ${\ displaystyle s \ neq t}$ .
Группы Артина – Титса сверхбольшого типа подходят для теории малого сокращения. В качестве приложения группы Артина – Титса сверхбольшого типа не имеют кручения и имеют разрешимую проблему сопряжения (Кеннет Аппель и Пол Шупп).
Артин– Группы Титсов сверхбольшого типа являются биавтоматическими (Дэвид Пайфер).
Группы Артина большого типа являются короткопрофильными автоматическими с регулярными геодезическими (Дерек Холт и Сара Рис).

Другие типы

Многие другие семейства групп Артина – Титса были идентифицированы и исследованы. Здесь мы упоминаем два из них.

Группа Артина – Титса $⟨S ∣ R⟩ {\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$ $\ langle S \ mid R \ rangle$ называется типа FC ("флаг комплекс "), если для каждого подмножества $S '{\ displaystyle S'}$ $S'$ из $S {\ displaystyle S}$ $S$ , такого что $мс, t ≠ ∞ {\ displaystyle m_ {s, t} \ neq \ infty}$ ${\ displaystyle m_ {s, t} \ neq \ infty}$ для всех $s, t {\ displaystyle s, t}$ ${\ displaystyle s, t}$ в $S ′ {\ displaystyle S '}$ $S'$ , группа $⟨S ′ ∣ R ∩ S ′ 2⟩ {\ displaystyle \ langle S' \ mid R \ cap S '{} ^ {2} \ rangle}$ $\langle S'\mid R\cap S'{}^{2}\rangle$ сферического типа. Такие группы действуют кокомпактно на кубическом комплексе CAT (0), и, как следствие, можно найти рациональную нормальную форму для их элементов и вывести решение проблемы слов (Джо Альтобелли и Чарни). Альтернативная нормальная форма обеспечивается редукцией по множеству фракций, которая дает уникальное выражение с помощью неприводимой мультифракции, непосредственно расширяющей выражение с помощью несократимой дроби в сферическом случае (Дехорного).
Группа Артина – Титса называется аффинного типа, если ассоциированная группа Кокстера аффинная. Они соответствуют расширенным диаграммам Дынкина четырех бесконечных семейств $A ~ n {\ displaystyle {\ widetilde {A}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {A}} _ {n}}$ для $n ⩾ 1 {\ displaystyle n \ geqslant 1}$ ${\ displaystyle n \ geqslant 1}$ , $B ~ n {\ displaystyle {\ widetilde {B}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {B}} _ {n}}$ , $C ~ n {\ displaystyle {\ widetilde {C}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {C}} _ {n}}$ для $n ⩾ 2 {\ displaystyle n \ geqslant 2}$ $n \ geqslant 2$ и $D ~ n {\ displaystyle {\ widetilde {D}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {D}} _ {n}}$ для $n ⩾ 3 {\ displaystyle n \ geqslant 3}$ ${\ displaystyle n \ geqslant 3}$ и пяти спорадических типов $E ~ 6 {\ displaystyle {\ widetilde {E}} _ {6} }$ ${\ displaystyle {\ widetilde {E}} _ {6}}$ , $E ~ 7 {\ displaystyle {\ widetilde {E}} _ {7}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {E}} _ {7} }$ , $E ~ 8 {\ displaystyle {\ widetilde {E}} _ {8}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {E}} _ {8}}$ , $F ~ 4 { \ displaystyle {\ widetilde {F}} _ {4}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {F}} _ {4}}$ , et $G ~ 2 {\ displaystyle {\ widetilde {G}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {G }} _ {2}}$ . Аффинные группы Артина – Титса относятся к евклидову типу: ассоциированная группа Кокстера действует геометрически на евклидовом пространстве. Как следствие, их центр тривиален, а их проблема слов разрешима (Джон Маккаммонд и Роберт Салуэй). В 2019 году было объявлено доказательство гипотезы $K (π, 1) {\ displaystyle K (\ pi, 1)}$ ${\ displaystyle K (\ pi, 1)}$ для всех аффинных групп Артина – Титса (Марио Сальветти и Джованни Паолини).

См. Также

Ссылки

Далее чтение

Чарни, Рут (2007), «Введение в прямоугольные группы Артина», Geometriae Dedicata, 125 (1): 141–158, arXiv : math / 0610668, doi : 10.1007 / s10711-007-9148-6, MR 2322545
Godelle, Eddy; Пэрис, Луис (2012), Основные вопросы о группах Артина – Титса, Серия CRM, 14, Ed. Norm., Pisa, pp. 299–311, doi : 10.1007 / 978-88-7642-431-1_13, ISBN 978-88 -7642-430-4, MR 3203644
Маккаммонд, Джон (2017), «Таинственная геометрия групп Артина», конспект лекций Winter Braids, 4 (Winter Braids VII (Кан, 2017)): 1–30, doi : 10.5802 / wbln.17, MR 3922033
Флорес, Рамон; Каробай, Деларам; Коберда, Томас (2019). «Алгоритмические задачи в прямоугольных группах Артина: сложность и приложения». Журнал алгебры. 519 : 111–129. arXiv : 1802.04870. doi :10.1016/j.jalgebra.2018.10.023. MR 3874519.