Артин проводник

редактировать

Через математика, проводник Артина - это число или идеал, связанный с персонажем группы Галуа местного или global поле, введенное Эмилем Артином (1930, 1931) как выражение, появляющееся в функциональное уравнение L-функции Артина.

Содержание

  • 1 Локальные проводники Артина
  • 2 Глобальные проводники Артина
  • 3 Представление Артина и персонаж Артина
  • 4 Представление Лебедя
  • 5 приложений
  • 6 заметок
  • 7 Ссылки

Локальные проводники Артина

Предположим, что L - конечное расширение Галуа локального поля K с группой Галуа G. Если χ {\ displaystyle \ chi}\ chi - символ G, тогда дирижер Артина в χ {\ displaystyle \ chi}\ chi - это число

f (χ) = ∑ i ≥ 0 гиг 0 (χ (1) - χ (G я)) {\ displaystyle f (\ chi) = \ sum _ {i \ geq 0} {\ frac {g_ {i}} {g_ {0}}} (\ chi (1) - \ chi (G_ {i}))}f (\ chi) = \ sum_ {i \ ge 0} \ frac {g_i} {g_0} (\ chi (1) - \ chi (G_i))

где G i - i-я группа ветвлениянижняя нумерация ) порядка g i, а χ (G i) - среднее значение χ {\ displaystyle \ chi}\ chi на G я. По результату Артина локальный проводник - целое число. Эвристически проводник Артина измеряет, насколько действие высших групп ветвления далеки от тривиальности. В частности, если х неразветвленный, то его артиновский проводник равен нулю. Таким образом, если L неразветвлено над K, то проводники Артина всех х равны нулю.

Дикий инвариант или лебединый проводник символа - это

f (χ) - (χ (1) - χ (G 0)), {\ displaystyle f (\ chi) - (\ chi ( 1) - \ chi (G_ {0})),}f (\ chi) - (\ chi (1) - \ chi (G_0)),

другими словами, сумма членов высшего порядка с i>0.

Глобальные проводники Артина

глобальные проводники Артина представления χ {\ displaystyle \ chi}\ chi группы Галуа G конечное расширение L / K глобальных полей является идеалом поля K, определяемым как

f (χ) = ∏ ppf (χ, p) {\ displaystyle {\ mathfrak {f}} (\ chi) = \ prod _ {p} p ^ {f (\ chi, p)}}\ mathfrak {f} (\ chi) = \ prod_p p ^ { f (\ chi, p)}

где произведение берется по простым числам p из K, а f (χ, p) - локальный проводник Артина ограничения χ {\ displaystyle \ chi}\ chi в группу разложения некоторого простого числа L, лежащего над p. Поскольку локальный проводник Артина равен нулю в неразветвленных простых числах, указанное выше произведение нужно брать только по простым числам, разветвленным в L / K.

Представление Артина и символ Артина

Предположим, что L - конечное расширение Галуа локального поля K с группой Галуа G. Символ Артина aGв G является символом

a G = ∑ χ f (χ) χ {\ displaystyle a_ {G} = \ sum _ {\ chi} f (\ chi) \ chi}a_G = \ sum_ \ chi f (\ chi) \ chi

и представление Артина AGявляется комплексное линейное представление группы G с этим характером. Вейль (1946) попросил о прямом построении представления Артина. Серр (1960) показал, что представление Артина может быть реализовано над локальным полем Qlдля любого простого числа l, не равного характеристике вычета p. Фонтейн (1971) показал, что это может быть реализовано над соответствующим кольцом векторов Витта. Обычно это не может быть реализовано над рациональными числами или над локальным полем Qp, предполагая, что не существует простого способа явно построить представление Артина.

Представление Лебедя

Символ лебедя swGзадается как

sw G = a G - r G + 1 {\ displaystyle sw_ {G} = a_ {G} -r_ {G} +1}{\ displaystyle sw_ {G} = a_ {G} -r_ {G} +1}

где r g - это символ регулярного представления, а 1 - символ тривиального представления. Символ Swan - это символ представления G. Swan (1963) показал, что существует уникальное проективное представление G над l -адические целые числа с символом Лебедь.

Приложения

Проводник Артина появляется в формуле дискриминанта для дискриминанта глобального поля.

Оптимальный уровень в Гипотеза Серра о модульности выражается в терминах проводника Артина.

Проводник Артина появляется в функциональном уравнении L-функции Артина.

Представления Артина и Свана используются для определения проводника эллиптической кривой или абелевой разновидности..

Примечания

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-11 21:57:03
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте