В классической математике аналитическая геометрия, а также известная как координатная геометрия или декартова геометрия, это изучение геометрии с использованием системы координат. Это контрастирует с синтетической геометрией.
Аналитическая геометрия используется в физике и инженерии, а также в авиации, ракетной технике, космическая наука и космический полет. Это основа большинства современных областей геометрии, включая алгебраическую, дифференциальную, дискретную и вычислительную геометрию.
Обычно декартова система координат применяется для управления уравнениями для плоскостей, прямых линий и квадратов, часто в двух, а иногда и в трех измерениях. Геометрически изучаются евклидова плоскость (двухмерный ) и евклидово пространство (трехмерное ). Как преподают в школьных учебниках, аналитическая геометрия может быть объяснена более просто: она связана с определением и представлением геометрических форм числовым способом и извлечением числовой информации из числовых определений и представлений форм. То, что алгебра действительных чисел может использоваться для получения результатов о линейном континууме геометрии, опирается на аксиому Кантора – Дедекинда.
Греческий математик Менехм решал задачи и доказывал теоремы от usi ng метод, который имел сильное сходство с использованием координат, и иногда утверждали, что он ввел аналитическую геометрию.
Аполлоний Пергский в О детерминированном разделе имел дело с проблемами способом, который можно назвать аналитической геометрией одного измерения; с вопросом о нахождении точек на линии, которые были в соотношении с другими. Аполлоний в «Кониках» развил метод, который настолько похож на аналитическую геометрию, что иногда думают, что его работа опередила работу Декарта примерно на 1800 лет. Его применение опорных линий, диаметра и касательной по существу не отличается от нашего современного использования системы координат, где расстояния, измеренные по диаметру от точки касания, являются абсциссами, а отрезки, параллельные касательной и пересекаемые между ними. ось и кривая - ординаты. Он далее развил отношения между абсциссами и соответствующими ординатами, которые эквивалентны риторическим уравнениям кривых. Однако, хотя Аполлоний был близок к развитию аналитической геометрии, ему не удалось это сделать, поскольку он не принимал во внимание отрицательные величины, и в каждом случае система координат накладывалась на заданную кривую апостериори, а не априори. То есть уравнения определялись кривыми, а кривые не определялись уравнениями. Координаты, переменные и уравнения были вспомогательными понятиями, применяемыми к конкретной геометрической ситуации.
Персидский математик XI века математик Омар Хайям видел тесная связь между геометрией и алгеброй, и двигался в правильном направлении, когда помог сократить разрыв между числовой и геометрической алгеброй своим геометрическим решением общих кубических уравнений, но решающий шаг был сделан позже с Декартом. Омару Хайяму приписывают определение основ алгебраической геометрии, а его книга «Трактат о демонстрациях проблем алгебры» (1070), в которой изложены принципы алгебры, является частью тела персидской математики, которая была в итоге передан в Европу. Благодаря его основательному геометрическому подходу к алгебраическим уравнениям, Хайям можно считать предшественником Декарта в изобретении аналитической геометрии.
Аналитическая геометрия была независимо изобретена Рене Декартом. и Пьер де Ферма, хотя Декарту иногда дают единоличную заслугу. Декартова геометрия, альтернативный термин, используемый для аналитической геометрии, названа в честь Декарта.
Декарт добился значительного прогресса в использовании этих методов в эссе под названием La Geometrie (Геометрия), одном из трех сопроводительных эссе (приложений), опубликованных в 1637 году вместе с его «Рассуждениями о методе справедливости». Направление собственного разума и поиск истины в науках, обычно называемые Беседы о методе. «Геометрия», написанная на его родном французском языке, и ее философские принципы послужили основой для исчисления в Европе. Первоначально работа не была хорошо принята, отчасти из-за множества пробелов в аргументах и сложных уравнений. Только после перевода на латынь и добавления комментария ван Скутена в 1649 году (и дальнейшей работы после этого) шедевр Декарта получил должное признание.
Пьер де Ферма также был пионером в развитии аналитической геометрии. Хотя это и не было опубликовано при его жизни, рукописная форма Ad locos planos et solidos isagoge (Введение в плоскость и твердые места) циркулировала в Париже в 1637 году, незадолго до публикации «Бесед Декарта». Четко написанное и хорошо принятое Введение также заложило основу для аналитической геометрии. Ключевое различие между подходами Ферма и Декарта заключается в точке зрения: Ферма всегда начинал с алгебраического уравнения, а затем описывал геометрическую кривую, которая ему удовлетворяла, тогда как Декарт начинал с геометрических кривых и выводил их уравнения как одно из нескольких свойств кривых.. Вследствие этого подхода Декарту пришлось иметь дело с более сложными уравнениями, и ему пришлось разработать методы для работы с полиномиальными уравнениями более высокой степени. Леонард Эйлер первым применил метод координат для систематического изучения пространственных кривых и поверхностей.
В аналитической геометрии плоскости задается система координат, в которой каждая точка имеет пару координат вещественного числа. Аналогично, в евклидовом пространстве заданы координаты, где каждая точка имеет три координаты. Значение координат зависит от выбора начальной точки отсчета. Используется множество систем координат, но наиболее распространенными являются следующие:
Наиболее распространенной системой координат является Декартова система координат, где каждая точка имеет координату x, представляющую ее горизонтальное положение, и координату y, представляющую ее вертикальное положение. Обычно они записываются как упорядоченная пара (x, y). Эту систему можно также использовать для трехмерной геометрии, где каждая точка в евклидовом пространстве представлена упорядоченной тройкой координат (x, y, z).
В полярных координатах каждая точка плоскости представлена ее расстоянием r от начала координат и ее углом θ, при этом θ обычно измеряется против часовой стрелки от положительной оси x. Используя это обозначение, точки обычно записываются как упорядоченная пара (r, θ). Можно преобразовывать назад и вперед между двумерными декартовыми и полярными координатами, используя следующие формулы: . Эта система может быть обобщена на трехмерное пространство за счет использования цилиндрических или сферических координат.
В цилиндрических координатах каждая точка пространства представлена своей высотой z, ее радиусом r от ось z и угол θ, который его проекция на плоскость xy составляет относительно горизонтальной оси.
В сферических координатах каждая точка в пространстве представлена ее расстоянием ρ от начала координат, углом θ его проекция на плоскость xy по отношению к горизонтальной оси и угол φ, который он составляет по отношению к оси z. В физике названия углов часто меняются местами.
В аналитической геометрии любое уравнение, включающее координаты, задает подмножество плоскости, а именно набор решений для уравнения или геометрическое место. Например, уравнение y = x соответствует набору всех точек на плоскости, у которых координата x и координата y равны. Эти точки образуют линию , и y = x называется уравнением для этой линии. Как правило, линейные уравнения, включающие x и y, определяют линии, квадратные уравнения задают конические сечения, а более сложные уравнения описывают более сложные фигуры.
Обычно одно уравнение соответствует кривой на плоскости. Это не всегда так: тривиальное уравнение x = x задает всю плоскость, а уравнение x + y = 0 задает только одну точку (0, 0). В трех измерениях одно уравнение обычно дает поверхность , а кривая должна быть указана как пересечение двух поверхностей (см. Ниже) или как система параметрических уравнения. Уравнение x + y = r - это уравнение для любой окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом r.
Линии в декартовой плоскости или, в более общем смысле, в аффинных координатах, могут быть описаны алгебраически с помощью линейных уравнений. В двух измерениях уравнение для невертикальных линий часто задается в форме пересечения наклона :
где:
Аналогично тому, как линии в двумерном пространстве описываются с использованием формы точечного наклона для их уравнений, плоскости в трехмерном пространстве имеют естественное описание с использованием точки на плоскости и вектора, ортогонального к ней (вектор нормали ), чтобы указать ее "наклон".
В частности, пусть будет вектором положения некоторой точки , и пусть ненулевой вектор. Плоскость, определяемая этой точкой и вектором, состоит из этих точек с вектором положения , так что вектор, нарисованный от до , перпендикулярен . Вспоминая, что два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, отсюда следует, что желаемая плоскость может быть описана как набор всех точек такое, что
(Точка здесь означает скалярное произведение, а не скалярное умножение.) В расширении это становится
, что является точечно-нормальной формой уравнение плоскости. Это просто линейное уравнение :
И наоборот, это легко показать что если a, b, c и d - константы и не все a, b и c равны нулю, то график уравнения
- плоскость, имеющая вектор как обычно. Это знакомое уравнение для плоскости называется общей формой уравнения плоскости.
В трех измерениях линии не могут быть описаны одним линейным уравнением, поэтому они часто описываются параметрическими уравнениями :
где:
В декартовой системе координат график квадратного уравнения с двумя переменными всегда является коническим сечением, хотя оно может быть вырожденным, и все конические сечения возникают таким образом. Уравнение будет иметь вид
Поскольку масштабирование всех шести констант дает одно и то же геометрическое место нулей, можно рассматривать коники как точки в пятимерном проективном пространстве
Конические сечения, описываемые этим уравнением, можно классифицировать с помощью дискриминанта
Если коника невырожденная, то:
A квадрику или квадрику поверхность, это двумерная поверхность в трехмерном пространстве, определенная как геометрическое место нулей квадратичного многоугольника . именной. В координатах x 1, x 2,x3общая квадрика определяется алгебраическим уравнением
Квадрические поверхности включают эллипсоиды (включая сферу ), параболоиды, гиперболоиды, цилиндры, конусы и плоскости.
В аналитической геометрии, геометрические понятия, такие как расстояние и угол мера, определяются с помощью формул . Эти определения предназначены для согласования с лежащей в основе евклидовой геометрией. Например, при использовании декартовых координат на плоскости, расстояние между двумя точками (x 1, y 1) и (x 2, y 2) определяется формулой
который можно рассматривать как версию пифагорейского Теорема. Точно так же угол между линией и горизонтали можно определить по формуле
, где m - наклон прямой.
В трех измерениях расстояние определяется обобщением теоремы Пифагора:
, а угол между двумя векторами задается скалярным произведением . Скалярное произведение двух евклидовых векторов A и B определяется как
где θ - угол между A и B.
Преобразования применяются к родительской функции, чтобы превратить ее в новую функцию с аналогичным характеристики.
График изменяется стандартными преобразованиями следующим образом:
Существуют и другие стандартные преобразования, которые обычно не используются изучается в элементарной аналитической геометрии, потому что преобразования изменяют форму объектов способами, которые обычно не рассматриваются. Перекос - это пример преобразования, которое обычно не рассматривается. Дополнительные сведения см. В статье Википедии о аффинных преобразованиях.
. Например, родительская функция имеет горизонтальную и вертикальная асимптота и занимает первый и третий квадрант, и все ее преобразованные формы имеют одну горизонтальную и вертикальную асимптоты и занимают либо 1-й и 3-й, либо 2-й и 4-й квадранты. В общем случае, если , то его можно преобразовать в . В новой преобразованной функции - это коэффициент, который растягивает функцию по вертикали, если он больше 1, или сжимает функцию по вертикали, если он меньше 1, и для отрицательных значений, функция отражается на оси . Значение сжимает график функции по горизонтали, если больше 1, и растягивает функцию по горизонтали, если меньше 1, и как , отражает функцию по оси , когда она отрицательна. Значения и вводят переводы, , вертикальный и горизонтальный. Положительные значения и означают, что функция переводится на положительный конец своей оси, а отрицательное значение - на отрицательный конец.
Преобразования могут применяться к любому геометрическому уравнению, независимо от того, представляет ли уравнение функцию. Преобразования можно рассматривать как отдельные транзакции или комбинации.
Предположим, что - это отношение в самолет. Например,
- это отношение, описывающее единичный круг.
Для двух геометрических объектов P и Q, представленных отношениями и пересечение - это совокупность всех точек , которые находятся в обоих отношениях.
Например, может быть кругом с радиусом 1 и центром : и может быть кругом с радиусом 1 и центром . Пересечение этих двух окружностей представляет собой набор точек, которые делают оба уравнения верными. Выполняет ли точка оба уравнения? Используя для , уравнение для становится или , что верно, поэтому находится в отношении . С другой стороны, все еще используется для уравнение для становится или , что неверно. не находится в , поэтому он не находится на пересечении.
Пересечение и можно найти, решив одновременные уравнения:
Традиционные методы поиска пересечений включают замену и исключение.
Замена: Решите первое уравнение для в терминах , а затем замените выражение для во втором уравнении:
Затем мы заменяем это значение на в другое уравнение и переходите к решению относительно :
Затем мы помещаем это значение в любом из исходных уравнений и решить для :
Итак, у нашего пересечения есть две точки:
Исключение : добавьте (или вычтите) одно уравнение, кратное другому уравнению, чтобы одна из переменных устраняется. В нашем текущем примере, если мы вычтем первое уравнение из второго, мы получим . в первом уравнении вычитается из в второе уравнение не оставляет члена . Переменная удалена. Затем мы решаем оставшееся уравнение для таким же образом, как и в методе подстановки:
Затем мы помещаем это значение в любое из исходных уравнений и решаем для :
Итак, у нашего пересечения есть две точки:
Для конических сечений на пересечении может быть до 4 точек.
Одним из широко изучаемых типов пересечения является пересечение геометрического объекта с и оси координат.
Пересечение геометрического объекта и оси называется - перехват объекта. Пересечение геометрического объекта и оси называется пересечением объекта.
Для строки параметр указывает точку, в которой линия пересекает ось . В зависимости от контекста либо , либо точка называется -перехват.
В геометрии, касательная линия (или просто касательная ) на плоскость кривая в данной точке представляет собой прямую, которая «только касается» кривой в этой точке. Неформально это линия, проходящая через пару бесконечно близких точек на кривой. Более точно, прямая линия называется касательной к кривой y = f (x) в точке x = c на кривой, если прямая проходит через точку (c, f (c)) на кривой и имеет наклон f '(c), где f' - производная функции f. Аналогичное определение применяется к пространственным кривым и кривым в n-мерном евклидовом пространстве.
Когда он проходит через точку пересечения касательной и кривой, называемую точкой касания., касательная линия «идет в том же направлении», что и кривая, и, таким образом, является наилучшим приближением прямой к кривой в этой точке.
Аналогичным образом, касательная плоскость к поверхности в данной точке является плоскостью , которая «просто касается» поверхности в этой точке. Понятие касательной является одним из самых фундаментальных понятий в дифференциальной геометрии и было широко обобщено; см. Касательное пространство.
В геометрии нормаль - это объект, такой как линия или вектор, который равен перпендикуляр к заданному объекту. Например, в двумерном случае нормальная линия к кривой в данной точке является линией, перпендикулярной касательной к кривой в данной точке.
В трехмерном случае нормаль поверхности или просто нормаль к поверхности в точке P является вектор, который находится перпендикулярно к касательной плоскости к этой поверхности в точке P. Слово «нормальный» также используется как прилагательное: прямая нормальная на плоскость , нормальный компонент силы, вектор нормали и т.д. Концепция нормальности обобщается на ортогональность.