Сложное аналитическое разнообразие

редактировать

В математике, и в частности дифференциальная геометрия и комплексная геометрия, комплексное аналитическое многообразие или комплексное аналитическое пространство является обобщением комплексного многообразия что допускает наличие особенностей. Комплексные аналитические многообразия - это локально окольцованные пространства, которые локально изоморфны локальным модельным пространствам, где локальное модельное пространство - открытое подмножество исчезающего множества конечного множества голоморфных функций.

Определение

Обозначим константу связку в топологическом пространстве со значением $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ как $C _ {\ displaystyle { \ underline {\ mathbb {C}}}}$ $\ underline {{\ mathbb {C }}}$ . A $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ -space - это пространство с локальными кольцами $(X, OX) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$ $(X, {\ mathcal {O}} _ {X})$ , чей структурный пучок является алгеброй над $C _ {\ displaystyle {\ underline {\ mathbb { C}}}}$ $\ underline {{\ mathbb {C }}}$ .

Выберите открытое подмножество $U {\ displaystyle U}$ $U$ некоторого сложного аффинного пространства $C n {\ displaystyle \ mathbb {C } ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n }$ и зафиксируйте конечное число голоморфных функций $f 1,…, fk {\ displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {k}}$ $f_ {1}, \ dots, f_ {k}$ в $U {\ displaystyle U}$ $U$ . Пусть $X = V (f 1,…, fk) {\ displaystyle X = V (f_ {1}, \ dots, f_ {k})}$ $X = V (f_ {1}, \ dots, f_ {k})$ - общее исчезающее множество этих голоморфных функции, то есть $X = {x f 1 (x) = ⋯ = fk (x) = 0} {\ displaystyle X = \ {x \ mid f_ {1} (x) = \ cdots = f_ {k} (x) = 0 \}}$ $X = \ {x \ mid f_ {1} (x) = \ cdots = f_ {k} (x) = 0 \}$ . Определите связку колец на $X {\ displaystyle X}$ $X$ , позволив $OX {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ ${\ mathcal { O}} _ {X}$ быть ограничение на $X {\ displaystyle X}$ $X$ из $OU / (f 1,…, fk) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {U} / (f_ {1 }, \ ldots, f_ {k})}$ ${\ mathcal {O}} _ {U} / (f_ {1}, \ ldots, f_ {k})$ , где $OU {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {U}}$ ${\ mathcal {O}} _ {U}$ - пучок голоморфных функций на $U {\ displaystyle U}$ $U$ . Затем локально окольцованный $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ -space $(X, OX) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$ $(X, {\ mathcal {O}} _ {X})$ - это пространство локальной модели .

A сложное аналитическое многообразие - это локально окольцованное $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ -пространство $(X, OX) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$ $(X, {\ mathcal {O}} _ {X})$ , который локально изоморфен локальному пространству модели.

Морфизмы комплексных аналитических многообразий определяются как морфизмы лежащих в основе локально окольцованных пространств, они также называются голоморфными отображениями.

См. Также

Ссылки

Грауэрт и Реммерт, Комплексные аналитические пространства
Грауэрт, Петернелл и Реммерт, Энциклопедия математических наук 74: Несколько сложных переменных VII