Функция неоднозначности

При обработке сигналов импульсного радара и сонара функция неоднозначности - двумерная функция задержки распространения $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$и доплеровской частоты $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \}$, $\chi \; (\tau ,\; е)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\backslash \; tau,\; f)\}$. Он представляет собой искажение возвращенного импульса из-за приемника согласованного фильтра (обычно, но не исключительно, используемого в радаре сжатия импульсов ) отраженного сигнала от движущаяся цель. Функция неоднозначности определяется свойствами pulse и фильтра, а не каким-либо конкретным целевым сценарием.

Существует множество определений функции неоднозначности; некоторые ограничены узкополосными сигналами, а другие подходят для описания задержки и доплеровского отношения широкополосных сигналов. Часто определение функции неоднозначности дается как квадрат величины других определений (Вейсс). Для заданного комплекса основной полосы импульса $s\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (t)\}$функция узкополосной неоднозначности задается как

$\chi \; (\tau ,\; е)\; знак\; равно\; \int \; -\; \infty \; \infty \; s\; (t)\; s\; \ast \; (t\; -\; \tau )\; ei\; 2\; \pi \; ftdt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\backslash \; tau,\; f)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}\; s\; (t)\; s\; ^\; \{*\}\; (t-\; \backslash \; tau)\; e\; ^\; \{i2\; \backslash \; pi\; ft\}\; \backslash ,\; dt\}$

где $\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; ^\; \{*\}\}$обозначает комплексное сопряжение, а $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$является мнимой единицей. Обратите внимание, что для нулевого доплеровского сдвига ($f\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; 0\}$) это сокращается до автокорреляции из $s\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (t)\}$. Более сжатый способ представления функции неоднозначности состоит в изучении одномерных «разрезов» с нулевой задержкой и нулевым Доплером; то есть $\chi \; (0,\; f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (0,\; f)\}$и $\chi \; (\tau ,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\backslash \; tau,\; 0)\; \}$соответственно. Выходной сигнал согласованного фильтра как функция времени (сигнал, который можно было бы наблюдать в радиолокационной системе) является доплеровским срезом с постоянной частотой, задаваемой доплеровским сдвигом цели: $\chi \; (\tau ,\; f\; D)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\backslash \; tau,\; f\_\; \{D\})\}$.

Содержание

• 1 Предпосылки и мотивация
• 2 Связь с частотно-временными распределениями
• 3 Функция широкополосной неоднозначности
• 4 Идеальная функция неоднозначности
• 5 Свойства
• 6 Прямоугольный импульс
• 7 LFM-импульс
• 8 Функции мультистатической неоднозначности
• 9 См. Также
• 10 Ссылки
• 11 Дополнительная литература

Предпосылки и мотивация

Импульсно-доплеровский радар оборудование отправляет серию радиочастотных импульсов. Каждый импульс имеет определенную форму (форму волны) - какой длины импульс, какова его частота, изменяется ли частота во время импульса и т. Д. Если волны отражаются от одного объекта, детектор увидит сигнал, который в простейшем случае является копией исходного импульса, но с задержкой на определенное время $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$- связанный с расстоянием до объекта - и смещенный на определенную частоту $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- связанный со скоростью объекта (Доплеровский сдвиг ). Если исходная форма излучаемого импульсного сигнала имеет вид $s\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (t)\}$, то обнаруженный сигнал (без учета шума, затухания и искажения, а также широкополосных поправок) будет:

$s\; \tau ,\; f\; (t)\; \equiv \; s\; (t\; -\; \tau )\; ei\; 2\; \pi \; ft.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \_\; \{\backslash \; tau,\; f\}\; (t)\; \backslash \; Equiv\; s\; (t-\; \backslash \; tau)\; e\; ^\; \{i2\; \backslash \; pi\; ft\}.\}$

Обнаруженный сигнал никогда не будет точно равен любому $s\; \tau ,\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \_\; \{\backslash \; tau,\; f\}\}$из-за шума. Тем не менее, если обнаруженный сигнал имеет высокую корреляцию с $s\; \tau ,\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \_\; \{\backslash \; tau,\; f\}\}$, для определенной задержки и доплеровского сдвига $(\tau ,\; f)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; tau,\; f)\}$, тогда это означает, что существует объект с $(\tau ,\; f)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; tau,\; f)\}$. К сожалению, эта процедура может привести к ложным срабатываниям, т. Е. Неправильным значениям $(\tau \; \prime ,\; f\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; tau\; \text{'},\; f\text{'})\}$, которые, тем не менее, коррелировал с обнаруженным сигналом. В этом смысле обнаруженный сигнал может быть неоднозначным.

Неоднозначность возникает, в частности, когда существует высокая корреляция между $s\; \tau ,\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \_\; \{\backslash \; tau,\; f\}\}$и $s\; \tau \; \prime ,\; f\; \prime \; \{\backslash \; Displaystyle\; s\; \_\; \{\backslash \; tau\; \text{'},\; f\text{'}\}\}$для $(\tau ,\; f)\; \ne \; (\tau \; \prime ,\; f\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; tau,\; f)\; \backslash \; neq\; (\backslash \; тау\; \text{'},\; ф\text{'})\}$. Это мотивирует функцию неоднозначности $\chi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\}$. Определяющим свойством $\chi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\}$является корреляция между $s\; \tau ,\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \_\; \{\backslash \; tau,\; f\}\}$и $s\; \tau \; \prime ,\; f\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \_\; \{\backslash \; tau\; \text{'},\; f\text{'}\}\}$равно $\chi \; (\tau \; -\; \tau \; \prime ,\; f\; -\; f\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; чи\; (\backslash \; тау\; -\; \backslash \; тау\; \text{'},\; f-f\text{'})\}$.

Различные формы импульсов (формы сигналов) $s\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (t)\}$имеют разные функции неоднозначности, и функция неоднозначности важна при выборе того, какой импульс использовать.

Функция $\chi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\}$является комплексной; степень «неоднозначности» связана с ее величиной $|\; \chi \; (\tau ,\; f)\; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; chi\; (\backslash \; tau,\; f)\; |\; ^\; \{2\}\}$.

Связь с частотно-временными распределениями

Функция неоднозначности играет ключевую роль в области времени– обработка частотного сигнала, так как она связана с распределением Вигнера – Вилля двумерным преобразованием Фурье. Это соотношение является фундаментальным для формулировки других частотно-временных распределений : билинейные частотно-временные распределения получаются с помощью двумерной фильтрации в области неоднозначности (то есть неоднозначности функция сигнала). Этот класс распределения может быть лучше адаптирован к рассматриваемым сигналам.

Более того, распределение неоднозначности можно рассматривать как кратковременное преобразование Фурье сигнала с использованием самого сигнала в качестве окна функция. Это замечание было использовано для определения распределения неоднозначности по временной шкале вместо частотно-временной области.

Функция широкополосной неоднозначности

Функция широкополосной неоднозначности $s\; \in \; L\; 2\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; in\; L\; ^\; \{2\}\; (R)\}$- это:

$WB\; ss\; (\tau ,\; \alpha )\; =\; |\; \alpha \; |\; \int \; -\; \infty \; \infty \; s\; (t)\; s\; \ast \; (\alpha \; (t\; -\; \tau ))\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; WB\_\; \{ss\}\; (\backslash \; tau,\; \backslash \; alpha)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; \{\backslash \; alpha\}\; |\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; s\; (t)\; s\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; alpha\; (t-\; \backslash \; tau))\; \backslash ,\; dt\}$

где $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; alpha\}\}$- коэффициент масштабирования по времени принятого сигнала относительно переданного, определяемый по формуле:

$\alpha \; =\; c\; +\; vc\; -\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\; +\; v\}\; \{cv\}\}\}$

для цели, движущейся с постоянной радиальной скоростью v. Отражение сигнала представлено сжатием (или расширением) во времени коэффициентом $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$, который равен эквивалентно сжатию на коэффициент $\alpha \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; ^\; \{-\; 1\}\}$в частотной области (с масштабированием амплитуды). Когда скорость волны в среде значительно превышает скорость цели, как это обычно бывает с радаром, это сжатие по частоте близко аппроксимируется сдвигом по частоте Δf = f <161.>c * v / c (известный как доплеровский сдвиг ). Для узкополосного сигнала это приближение дает указанную выше функцию узкополосной неоднозначности, которую можно эффективно вычислить с помощью алгоритма FFT.

Идеальная функция неоднозначности

Представляющая интерес функция неоднозначности - это двумерная дельта-функция Дирака или функция "кнопки"; то есть функция, которая бесконечна в (0,0) и равна нулю где-либо еще.

$\chi \; (\tau ,\; е)\; знак\; равно\; \delta \; (\tau )\; \delta \; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\backslash \; tau,\; f)\; =\; \backslash \; delta\; (\backslash \; tau)\; \backslash \; delta\; (f)\; \backslash ,\}$

функция неоднозначности такого рода было бы неправильно называть; в нем вообще не было бы двусмысленностей, и отсечки с нулевой задержкой и нулевым доплеровским сдвигом были бы импульсом . Обычно это нежелательно (если у цели есть какой-либо доплеровский сдвиг от неизвестной скорости, она исчезнет с радиолокационного изображения), но если доплеровская обработка выполняется независимо, знание точной доплеровской частоты позволяет измерять расстояние без помех от любых других целей, которые не движется с той же скоростью.

Этот тип функции неоднозначности создается идеальным белым шумом (бесконечной продолжительностью и бесконечной полосой пропускания). Однако это потребует бесконечной мощности и физически невозможно. Нет импульса $s\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (t)\}$, который даст $\delta \; (\tau )\; \delta \; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (\backslash \; tau)\; \backslash \; delta\; (f)\}$из определения функции неоднозначности. Однако приближения существуют, и шумоподобные сигналы, такие как сигналы с двоичной фазовой манипуляцией, использующие последовательности максимальной длины, являются наиболее известными исполнителями в этом отношении.

Свойства

(1) Максимальное значение

$|\; \chi \; (\tau ,\; f)\; |\; 2\; \le \; |\; \chi \; (0,\; 0)\; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; chi\; (\backslash \; tau,\; f)\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; leq\; |\; \backslash \; chi\; (0,0)\; |\; ^\; \{2\}\}$

(2) Симметрия относительно начала координат

$\chi \; (\tau \; е)\; знак\; равно\; ехр\; \; [J\; 2\; \pi \; \tau \; е]\; \chi \; \ast \; (-\; \tau ,\; -\; е)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; чи\; (\backslash \; тау,\; е)\; =\; \backslash \; ехр\; [j2\; \backslash \; пи\; \backslash \; тау\; е]\; \backslash \; чи\; ^\; \{*\}\; (-\; \backslash \; tau,\; -f)\; \backslash ,\}$

(3) Объемная инвариантность

$\int \; -\; \infty \; \infty \; \int \; -\; \infty \; \infty \; |\; \chi \; (\tau ,\; f)\; |\; 2\; d\; \tau \; d\; f\; =\; |\; \chi \; (0,\; 0)\; |\; 2\; знак\; равно\; Е\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; |\; \backslash \; chi\; (\backslash \; tau,\; f)\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau\; \backslash ,\; df\; =\; |\; \backslash \; chi\; (0,0)\; |\; ^\; \{2\}\; =\; E\; ^\; \{2\}\}$

(4) Модуляция линейным ЧМ-сигналом

$Если\; s\; (t)\; \to \; |\; \chi \; (\tau ,\; f)\; |\; тогда\; s\; (t)\; exp\; \; [j\; \pi \; k\; t\; 2]\; \to \; |\; \chi \; (\tau ,\; f\; +\; k\; \tau )\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{If\}\}\; s\; (t)\; \backslash \; rightarrow\; |\; \backslash \; chi\; (\backslash \; tau,\; f)\; |\; \{\backslash \; text\; \{then\}\}\; s\; (t)\; \backslash \; exp\; [j\; \backslash \; pi\; kt\; ^\; \{2\}]\; \{\; \backslash \; rightarrow\}\; |\; \backslash \; chi\; (\backslash \; tau,\; f\; +\; k\; \backslash \; tau)\; |\; \backslash ,\}$

(5) Частотный энергетический спектр

$S\; (f)\; S\; \ast \; (f)\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; \chi \; (\tau ,\; 0)\; е\; -\; J\; 2\; \pi \; \tau \; fd\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (f)\; S\; ^\; \{*\}\; (f)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; chi\; (\backslash \; tau,\; 0)\; e\; ^\; \{\; -j2\; \backslash \; pi\; \backslash \; tau\; f\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau\}$

(6) Верхние границы для $p>2\; \{\backslash \; displaystyle\; p>2\}$и нижние границы для существуют для $pth\; \{\; \backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{th\}\}$интегралы мощности

$\int \; -\; \infty \; \infty \; \int \; -\; \infty \; \infty \; |\; \chi \; (\tau ,\; f)\; |\; pd\; \tau \; df\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; |\; \backslash \; chi\; (\backslash \; tau,\; f)\; |\; ^\; \{p\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau\; \backslash ,\; df\}$.

Эти оценки точны и достигаются тогда и только тогда, когда $s\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (t)\}$является функцией Гаусса.

Прямоугольный импульс

Функция неоднозначности для прямоугольного импульса

Считайте, что это просто le прямоугольный импульс длительностью $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$и амплитудой $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$:

$A\; (u\; (t)\; -\; u\; (t\; -\; \tau ))\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; A\; (u\; (t)\; -u\; (t-\; \backslash \; tau))\; \backslash ,\}$

где $u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (t)\}$- это Ступенчатая функция Хевисайда. Выход согласованного фильтра задается автокорреляцией импульса, который представляет собой треугольный импульс высотой $\tau \; 2\; A\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\; A\; ^\; \{2\}\}$и длительностью $2\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; tau\}$(нулевой доплеровский разрез). Однако, если измеренный импульс имеет сдвиг частоты из-за доплеровского сдвига, выходной сигнал согласованного фильтра искажается в виде функции sinc. Чем больше доплеровский сдвиг, тем меньше пик результирующего синк и тем труднее обнаружить цель.

В общем, прямоугольный импульс не является желательной формой волны с точки зрения сжатия импульса, потому что функция автокорреляции слишком короткая по амплитуде, что затрудняет обнаружение целей в шуме, и слишком широкая по времени, что затрудняет различение нескольких перекрывающихся целей.

LFM-импульс

Функция неоднозначности для LFM-импульса

Обычно используемый радар или импульс сонара - это импульс с линейной частотной модуляцией (LFM) (или "чирикать"). Его преимущество заключается в большей ширине полосы при сохранении короткой длительности импульса и постоянной огибающей. Постоянная огибающая LFM-импульс имеет функцию неоднозначности, аналогичную функции прямоугольного импульса, за исключением того, что он искажен в плоскости задержки-Доплера. Незначительные доплеровские рассогласования для LFM-импульса не меняют общую форму импульса и очень мало уменьшают амплитуду, но они, похоже, сдвигают импульс во времени. Таким образом, нескомпенсированный доплеровский сдвиг изменяет видимую дальность действия цели; это явление называется доплеровской связью по дальности.

Функции мультистатической неоднозначности

Функция неоднозначности может быть расширена до мультистатических радаров, которые включают в себя несколько несовместимых передатчиков и / или приемников (и могут включать бистатический радар в качестве особый случай).

Для этих типов радаров простая линейная зависимость между временем и дальностью, которая существует в моностатическом случае, больше не применяется, а вместо этого зависит от конкретной геометрии, то есть относительного местоположения передатчика (ов), приемника (s) и цель. Следовательно, функцию мультистатической неоднозначности обычно полезно определять как функцию двух- или трехмерных векторов положения и скорости для данной мультистатической геометрии и передаваемой формы волны.

Так же, как функция моностатической неоднозначности естественным образом выводится из согласованного фильтра, функция мультистатической неоднозначности выводится из соответствующего оптимального мультистатического детектора, т. Е. Того, который максимизирует вероятность обнаружения при фиксированной вероятности ложной тревоги через совместное обработка сигналов на всех приемниках. Природа этого алгоритма обнаружения зависит от того, коррелируют ли целевые колебания, наблюдаемые каждой бистатической парой в мультистатической системе, взаимной корреляцией. Если это так, оптимальный детектор выполняет фазово-когерентное суммирование принятых сигналов, что может привести к очень высокой точности определения местоположения цели. В противном случае оптимальный детектор выполняет некогерентное суммирование принятых сигналов, что дает выигрыш от разнесения. Такие системы иногда называют радарами MIMO из-за теоретического сходства информации с системами связи MIMO.

См. Также

• Согласованный фильтр
• Сжатие импульсов
• РЛС с импульсным доплером.
• Цифровая обработка сигналов
• Филип Вудворд

Ссылки

Дополнительная литература

• Ричардс, Марк А. Основы обработки радиолокационных сигналов. McGraw – Hill Inc., 2005. ISBN 0-07-144474-2.
• Ипатов, Валерий П. Спектр распространения и CDMA. Wiley Sons, 2005. ISBN 0-470-09178-9
• Черняк В.С. Основы многопозиционных радиолокационных систем, CRC Press, 1998.
• Соломон В. Голомб и Гуан Гун. Дизайн сигнала для хорошей корреляции: для беспроводной связи, криптографии и радара. Cambridge University Press, 2005.
• М. Солтаналиан. Дизайн сигналов для активного зондирования и связи. Упсальские диссертации факультета естественных наук и технологий (напечатано Эландерсом Свериге А.Б.), 2014.
• Надав Леванон и Эли Мозесон. Радиолокационные сигналы. Вайли. com, 2004.
• Аугусто Обри, Антонио Де Майо, Бо Цзян и Шучжун Чжан. «Формирование функции неоднозначности для когнитивного радара с помощью комплексной оптимизации четвертой степени.» IEEE Transactions on Signal Processing 61 (2013): 5603-5619.
• Моджтаба Солтаналиан и Петре Стойка. «Вычислительный дизайн последовательностей с хорошими корреляционными свойствами.» IEEE Transactions on Signal Processing, 60.5 (2012): 2180-2193.
• G. Крётч, М. А. Гомес-Мендес, Transformada Discreta de Ambigüedad, Revista Mexicana de Física, Vol. 63. С. 505--515 (2017). «Transformada Discreta de Ambigüedad ».