Альтернативы общей теории относительности

редактировать

Предлагаемые теории гравитации

Альтернативы общей теории относительности являются физические теории теории, которые пытаются описать явление гравитации в конкуренции с теорией Эйнштейна общей теории относительности. Было много разных попыток построить идеальную теорию гравитации.

. Эти попытки можно разделить на четыре большие категории в зависимости от их объема. В этой статье мы обсуждаем простые альтернативы общей теории относительности, которые не связаны с квантовой механикой или объединением сил. Другие теории, которые действительно построили теорию, используя принципы квантовой механики, известны как теории квантованной гравитации. В-третьих, есть теории, которые пытаются объяснить гравитацию и другие силы одновременно; они известны как классические теории единого поля. Наконец, самые амбициозные теории как описать гравитацию в терминах квантовой механики, так и объединить силы; они называются теории всего.

Ни одна из этих альтернатив общей теории относительности не получила широкого признания. Несмотря на множество тестов общей теории относительности. Напротив, многие ранние альтернативы были окончательно опровергнуты. Однако некоторые из альтернативных теорий гравитации поддерживаются меньшинством физиков, и эта тема остается предметом интенсивных исследований в теоретической физике.

Содержание

1 История теории гравитации через общую теорию относительности
- 1.1 Общая теория относительности
2 Мотивации
3 Обозначения в этой статье
4 Классификация теорий
5 Теории с 1917 по 1980-е годы
- 5.1 Теории скалярного поля
- 5.2 Биметрические теории
- 5.3 Квазилинейные теории
- 5.4 Тензорные теории
  - 5.4.1 Старобинский
  - 5.4.2 Гаусс - Бонне
  - 5.4.3 Четвертая производная гравитация Стелля
  - 5.4.4 f (R)
  - 5.4.5 Бесконечная производная гравитация
  - 5.4.6 Лавлок
- 5.5 Скалярно-тензорные теории
- 5.6 Вектор-тензорные теории
- 5.7 Другие метрические теории
- 5.8 Неметрические теории
6 Современные теории с 1980-х годов по настоящее время
- 6.1 Мотивации
- 6.2 Космологическая постоянная и квинтэссенция
- 6.3 Теории Фарнса
- 6.4 Релятивистский MOND
- 6.5 Теории Моффата
  - 6.5.1 Скаляр-тензор-вектор или гравитация
- 6.6 Бесконечная производная гравитации
7 Проверка альтернатив общей теории относительности
- 7.1 Самосогласованность
- 7.2 Полнота
- 7.3 Классические тесты
- 7.4 Согласие с ньютоновской механикой и специальной теорией относительности
- 7.5 Принцип эквивалентности Эйнштейна
- 7.6 Параметрический постньютоновский формализм
- 7.7 Сильная гравитация и гравитационные волны
- 7.8 Космологические тесты
8 Результаты проверки теорий
- 8.1 Параметрические постньютоновские параметры для диапазона теорий
- 8.2 Теории, не прошедшие проверки другие проверки
9 Сноски
10 Ссылки

История теории гравитации через общую теорию относительности

В то время, когда она была опубликована в 17 веке, Теория гравитации Исаака Ньютона была самой точной теорией гравитации. С тех пор был предложен ряд альтернатив. Теории, которые используются в формулировке общей теории относительности в 1915 году, обсуждаются в истории теории гравитации.

Общая теория относительности

Эта теория является тем, что мы теперь называем «общей теорией относительности »(включено сюда для сравнения). Полностью отбрасывая метрику Минковского, Эйнштейн получает:

δ ∫ ds = 0 {\ displaystyle \ delta \ int ds = 0 \,}

\ дельта \ int ds = 0 \,

ds 2 = g μ ν dx μ dx ν {\ displaystyle {ds} ^ { 2} = g _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu} \,}

{\ displaystyle { ds} ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu} \,}

R μ ν = 8 π G c 4 (T μ ν - 1 2 g μ ν T) {\ Displaystyle R _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ left (T _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1 } {2}} g _ {\ mu \ nu} T \ right) \,}

R _ {{\ mu \ nu}} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ left (T _ {{\ mu \ nu}} - {\ frac {1} {2}} g _ {{\ mu \ nu}} T \ right) \,

, что также может быть записано как

T μ ν = c 4 8 π G (R μ ν - 1 2 g μ ν R). {\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {c ^ {4} \ более 8 \ pi G} \ left (R ^ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g ^ { \ mu \ nu} R \ right) \,.}

T ^ {{\ mu \ nu}} = {c ^ {4} \ более 8 \ pi G} \ left (R ^ {{\ mu \ nu}} - {\ frac {1} {2}} g ^ {{\ mu \ nu}} R \ right) \,.

За пять дней до того, как Эйнштейн представил последнее уравнение выше, Гильберт представил статью, содержащую почти идентичное уравнение. См. спор о приоритете относительности. Гильберт был первым, кто правильно сформулировал действие Эйнштейна - Гильберта для общей теории относительности:

S = c 4 16 π G ∫ R - gd 4 x + S m {\ displaystyle S = {c ^ { 4} \ более 16 \ pi G} \ int R {\ sqrt {-g}} \ d ^ {4} x + S_ {m} \,}

{\ displaystyle S = {c ^ {4} \ более 16 \ pi G} \ int R {\ sqrt {-g}} \ d ^ {4} x + S_ {m} \,}

где $G {\ displaystyle G \,}$ $G \,$ - гравитационная постоянная Ньютона, $R = R μ μ {\ displaystyle R = R _ {\ mu} ^ {~ \ mu} \,}$ $R = R _ {{\ mu}} ^ {{~ \ mu}} \,$ - Кривизна Риччи пространство, $g = det (g μ ν) {\ displaystyle g = \ det (g _ {\ mu \ nu}) \,}$ $g = \ det (g _ {\ mu \ nu}}) \,$ и $S m { \ displaystyle S_ {m} \,}$ $S_ {m} \,$ - это действие из-за массы.

Общая теория относительности - это тензорная теория, все уравнения содержат тензоры. С другой стороны, теории Нордстрема являются скалярными, потому что гравитационное поле является скаляром. Далее в этой статье вы найдете скалярно-тензорные теории, которые содержат скалярное поле общей теории относительности, а также недавно были разработаны варианты других полей теории.

Мотивации

После того, как ОТО были предприняты попытки либо улучшения теории, разработанные до ОТО, либо улучшить саму ОТО. Было предпринято множество различных попыток, например, добавление спина к общей теории относительности, объединение метрики по отношению к расширению Вселенной-временем, получение дополнительной свободы путем добавления еще одного элемента. По крайней мере, одна теория мотивирована желанием альтернативу общей теории относительности, свободную от сингулярностей.

Экспериментальные тесты улучшались вместе с теориями. Многие из различных стратегий, которые были разработаны вскоре после отказа от общей теории относительности, были разработаны многие из различных стратегий, которые были разработаны вскоре после отказа от общей теории относительности, и когда любой тест покажет несогласие с общей теорией относительности.

К 1980-м годам растущая точность экспериментальных тестов подтвердила общую теорию относительности; не осталось конкурентов, кроме тех, которые включают общую теорию относительности как частный случай. Кроме того, вскоре после этого теоретики переключились на теорию струн, которая начинала казаться многообещающей, но с тех пор потеряла популярность. В середине 1980-х годов несколько экспериментов предполагали, что гравитация была добавлена пятой силы (или, в одном случае, пятой, шестой и седьмой сил), действующей в диапазоне нескольких метров. Последующие эксперименты устранилища.

Мотивы для более поздних альтернативных теорий почти все космологические, связанные с такими конструкциями, как «инфляция », «темная материя » и «, или заменяющие их. темная энергия ". Исследование аномалии Pioneer вызвало возобновление общественного интереса к альтернативе общей теории относительности.

Обозначение в статье

$c {\ displaystyle c \;}$ $c \;$ - скорость света, $G {\ displaystyle G \;}$ $G \;$ - гравитационная постоянная. «Геометрические переменные »

Латинские индексы идут от 1 до 3, греческие индексы идут от 0 до 3. Используется соглашение о суммировании Эйнштейна.

$η μ ν {\ displaystyle \ eta _ { \ mu \ nu} \;}$ $\ eta _ {{\ mu \ nu}} \;$ - метрика Минковского. $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \;}$ $g _ {{\ mu \ nu}} \;$ - тензор, обычно метрический тензор . У них есть подпись (-, +, +, +).

Частичное дифференцирование записывается как $∂ μ φ { \ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ varphi \;}$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ varphi \;}$ или $φ, μ {\ displaystyle \ varphi _ {, \ mu} \;}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {, \ mu} \;}$ . Ковариантное дифференцирование за писывается $∇ μ φ {\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} \ varphi \;}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} \ varphi \;}$ или $φ; мк {\ Displaystyle \ varphi _ {; \ mu} \;}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {; \ mu} \;}$ .

Классификация теорий

Теории гравитации можно условно разделить на несколько категорий. Большинство описанных здесь теорий имеют:

и 'действие ' (см. принцип наименьшего действия, вариационный принцип, основанный на концепции действия)
a плотность лагранжиана
a метрика

Если теория имеет лагранжеву плотность для гравитации, скажем $L {\ displaystyle L \,}$ $L \,$ , то гравитационная часть действия $S {\ displaystyle S \,}$ $S \,$ является интегралом этого:

S = ∫ L - gd 4 x {\ displaystyle S = \ int L {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

S = \ int L {\ sqrt {-g}} \, {\ mathrm {d}} ^ {4} x

В этом уравнении обычно, хотя и не обязательно, $g = - 1 {\ displaystyle g = -1 \,}$ $g = -1 \,$ на пространственной бесконечности при использовании декартовых координат. Например, действие Эйнштейна - Гильберта использует

L ∝ R {\ displaystyle L \, \ propto \, R}

L \, \ propto \, R

, где R - скалярная кривизна, a мера кривизны пространства.

Почти каждая теория, описанная в этой статье, имеет действие. Это эффективный из известных способов автоматическое использование наиболее эффективных методов использования энергии, быстроты и углового момента; хотя легко построить действие, в котором эти законы сохраняются. Канонические методы предоставления дополнительных возможностей для реализации. Исходная версия 1983 года MOND не имел действия.

Некоторые теории имеют действие, но не имеют лагранжевой плотности. Хороший пример - Уайтхед, действие там называется нелокальным.

Теория гравитации является «метрической теорией» тогда и только тогда, когда ей можно дать математическое представление, в котором выполняются два условия:. Условие 1: существует симметричный метрический тензор $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \,}$ $г _ {{\ му \ ню}} \,$ из подписи (-, +, +, +), которая определяет правильную длину и измерения собственного времени обычным специальной общей теории относительности:

d τ 2 = - g μ ν dx μ dx ν {\ displaystyle {d \ tau} ^ {2} = - g _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu} \,}

{d \ tau} ^ {2 } = - g _ {{\ mu \ nu}} \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu} \,

где есть суммирование по индексам $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ и $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ .. Условие 2: напряженное и вещество поля, на которые сила тяжести реагирует в соответствии с уравнением:

0 = ∇ ν T μ ν = T μ ν, ν + Γ σ ν μ T σ ν + Γ σ ν ν T μ σ {\ Displaystyle 0 = \ nabla _ {\ nu} T ^ {\ mu \ nu} = {T ^ {\ mu \ nu}} _ {, \ nu} + \ Gamma _ {\ sigma \ nu} ^ {\ mu} T ^ {\ sigma \ nu} + \ Gamma _ {\ sigma \ nu} ^ {\ nu} T ^ {\ mu \ sigma} \,}

0 = \ nabla _ {\ nu} T ^ {{\ mu \ nu}} = {T ^ {{\ mu \ nu}}} _ {{, \ nu} } + \ Gamma _ {{\ sigma \ nu}} ^ {{\ mu}} T ^ {{\ sigma \ nu}} + \ Gamma _ {{\ sigma \ nu}} ^ {{\ nu}} T ^ {{\ mu \ sigma}} \,

где $Т μ ν {\ Displaystyle Т ^ {\ м u \ nu} \,}$ $T ^ {{\ mu \ nu}} \,$ - тензор энергии-напряжения для всего вещества и негравитационных полей, и где $∇ ν {\ displaystyle \ nabla _ {\ nu}}$ $\ nabla _ {{\ nu}}$ - ковариантная производная по метрике и $Γ σ ν α {\ displaystyle \ Gamma _ {\ sigma \ nu} ^ {\ alpha} \,}$ $\ Gamma _ {{\ sigma \ nu}} ^ {{\ alpha}} \,$ - это символ Кристоффеля. Тензор напряжения-энергии также должен удовлетворять условию энергии.

Метрические теории включают (от простейших до наиболее сложных):

теории скалярного поля (включая конформно плоские пространства теории и стратифицированные теории с конформно плоскими срезами)
- Бергман
- Колеман
- Эйнштейн (1912)
- Теория Эйнштейна - Фоккера
- Ли - Лайтман –Ni
- Литтлвуд
- Ni
- теория гравитации Нордстрёма (первая разработанная метрическая теория гравитации)
- Пейдж - Таппер
- Папапетру
- Розен (1971)
- Уитроу - Мордух
- теория гравитации Йилмаза (попытка исключения из теории горизонты событий.)
Квазилинейные теории (включая линейную фиксированную шкалу)
- Боллини-Джамбиаги-Тиомно
- Дезер-Лоран
- Теория гравитации Уайтхеда (предназначенная для использования только запаздывающих потенциалов )
тензорных теорий
- Общая теория относительности Э йнштейна
- (позволяет лагранжиану зависеть от контрактов второго порядка тензора кривизны Римана)
- f (R) гравитация (позволяет лагранжиану зависеть от более высоких степеней скаляра Риччи)
- гравитация Гаусса - Бонне
- теория гравитации Лавлока (позволяет лагранжиану зависеть от сжатия тензора кривизны Римана более высокого порядка)
- Теорема о бесконечной производной гравитации
Скалярно-тензорные теории
- Бекенштейн
- Бергман - Ваггонер
- Теория Бранса - Дике (наиболее известная альтернатива общей теории относительности, предназначенная для лучшего применения принципа Маха)
- Джордан
- Нордтведт
- Тири
- Хамелеон
- Прессурон
Вектор -тензорные теории
- Хеллингс– Нордтведт
- Уилл - Нордтведт
Биметрические теории
- Лайтман - Ли
- Растолл
- Розен (1975)
Другие метрические теории

(см. Раздел Современные теории ниже)

Неметрические теории

Белинфанте - Сихарт
Эйнштейн - Картан теория (предназначенная для обработки спин-орбитального углового момента между странами)
Кустаанхеймо (1967)
Телепараллелизм
Калибровочная теория гравитации

Здесь уместно сказать несколько слов о принципе Маха, потому что некоторые из этих теорий основаны на принципе Маха (например, Уайтхед), и многие упоминают об этом мимоходом (например, Эйнштейн - Гроссманн, Бранс - Дике). Принцип Маха можно представить себе на полпути между Ньютоном и Эйнштейном. Это происходит следующим образом:

Ньютон: Абсолютное пространство и время.
Мах: Система отсчета происходит от распределения материи во Вселенной.
Эйнштейн: Нет системы отсчета.

Пока все экспериментальные свидетельства на неправильность принципа Маха, но это не исключено полностью.

Теории с 1917 по 1980-е годы

Этот раздел включает альтернативы общей теории относительности после общей теории относительности, но до наблюдений за вращением галактик, которые приводят к гипотезе «темной материи ». Здесь рассматриваются следующие (см. Уилл Лэнг):

теории с 1917 по 1980-е годы.
Год (ы) публикации	Автор (ы)	Название теории	Тип теории
1922	Альфред Норт Уайтхед	Теория Уайтхеда гравитация	Квазилинейная
1922, 1923	Эли Картан	Теория Эйнштейна - Картана	Неметрическая
1939	Маркус Фирц, Вольфганг Паули
1943	Джордж Дэвид Биркгоф
1948	Эдвард Артур Милн
1948	Ив Тири
1954	Ахиллес Папапетру		Скалярное поле
1953	Дадли Э. Литтлвуд		Скалярное поле
1955	Паскуаль Джордан
1956	Отто Бергманн		Скалярное поле
1957	Фредерик Белинфанте, Джеймс К.. Swihart
1958, 1973	Хусейн Йилмаз	Йилмаз теория гравитации
1961	Карл Х. Бранс, Роберт Х. Дике	Бранс– Теория Дике	Тензор скаляра
1960, 1965	Джеральд Джеймс Уитроу, Г.Е. Мордуч		Скалярное поле
1966	[de ]
1967	[de ], VS Nuotio
1968	Стэнли Дезер, BE Laurent		Квазилинейный
1968	С. Пейдж, Б. О. Дж. Таппер		Скалярное поле
1968	Питер Бергманн		Скалярный тензор
1970	С. Дж. Боллини, Дж. Дж. Джамбиаги, Дж. Тиомно		Квазилинейный
1970	Кеннет Нордтведт
1970	Роберт В. Вагонер		Скалярный тензор
1971	Натан Розен		Скалярное поле
1975	Натан Розен		Биметрический
1972, 1973	Ни Вей-тоу		Скалярное поле
1972	Клиффорд Мартин Уилл, Кеннет Нордтведт		Вектор-тензор
1973	Рональд Хеллингс, Кеннет Нордтведт		Вектор-тензор
1973	Алан Лайтман, Дэвид Л. Ли		Скалярное поле
1974	Дэвид Л. Ли, Алан Лайтман, Ни Вэй-тоу
1977	Джейкоб Бекенштейн		Тензор скаляра
1978	Б. М. Баркер		Скалярный тензор
1979	П. Расталл		Биметрический

Эти теории представлены здесь без космологической постоянной или добавленной скалярной системы, специально не использованной в одном или из них. Проект по космологии сверхновых и Группа поиска сверхновых с высоким Z. Как добавить космологическую постоянную или квинтэссенцию к теории, обсуждается в разделе «Современные теории» (см. Также действие Эйнштейна - Гильберта ).

Теории скалярного поля

Теории скалярного поля Нордстрема уже обсуждались. Формулы Литтлвуда, Бергмана, Йилмаза, Уитроу и Мордуха, Пейджа и Таппера следуют общей формуле, приведенной Пейджем и Таппером.

Согласно Пейджу и Тапперу, которые обсуждают все это, кроме Нордстрёма, общая теория скалярного поля исходит из принципа наименьшего действия:

δ ∫ f (φ c 2) ds = 0 {\ displaystyle \ delta \ int f \ left ({\ tfrac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) \, ds = 0}

{\ displaystyle \ delta \ int f \ left ({\ tfrac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) \, ds = 0}

где скалярное поле,

φ = GM r {\ displaystyle \ varphi = {\ frac {GM} {r}}}

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {GM} {r}}}

и c может зависеть или не зависеть от $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ .

В Nordström

f (φ / c 2) знак равно ехр ⁡ ( - φ / с 2), с знак равно с ∞ {\ Displaystyle е (\ varphi / c ^ {2}) = \ ехр (- \ varphi / c ^ {2}), \ qquad c = c_ {\ infty} }

{\ displaystyle f (\ varphi / c ^ {2}) = \ exp (- \ varphi / c ^ {2}), \ qquad c = c _ {\ infty}}

В Литтлвуде и Бергманне

f (φ c 2) = exp ⁡ (- φ c 2 - (c / φ 2) 2 2) c = c ∞ {\ displaystyle f \ left ({\ frac { \ varphi} {c ^ {2}}} \ right) = \ exp \ left (- {\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} - {\ frac {(c / \ varphi ^ {2}) ^ {2}} {2}} \ right) \ qquad c = c _ {\ infty} \,}

{\ displaystyle f \ left ({\ f rac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) = \ exp \ left (- {\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} - {\ frac {(c / \ varphi ^ {2}) ^ {2}} {2}} \ right) \ qquad c = с _ {\ infty} \,}

В Уитроу и Мордуч,

f (φ c 2) = 1, с 2 знак равно с ∞ 2-2 φ {\ Displaystyle е \ влево ({\ гидроразр ыва {\ varphi} {с ^ {2}}} \ справа) = 1, \ qquad c ^ {2} = c _ {\ infty} ^ {2} -2 \ varphi \,}

{\ displaystyle f \ left ({\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) = 1, \ qquad c ^ {2} = c _ {\ infty} ^ {2} -2 \ varphi \,}

В Уитроу и Мордуч,

е (φ c 2) = ехр ⁡ (- φ c 2), c 2 = c ∞ 2 - 2 φ {\ displaystyle f \ left ({\ frac {\ varphi} {c ^ {2}))}} \ right) = \ exp \ left (- {\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right), \ qquad c ^ {2} = c _ {\ infty} ^ {2} -2 \ varphi \,}

{\ displaystyle f \ left ({\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) = \ exp \ left (- {\ frac {\ varphi} {c ^ {2 }}} \ справа), \ qquad c ^ {2} = c _ {\ infty} ^ {2} -2 \ varphi \,}

В Пейдж и Таппер,

f (φ c 2) = φ c 2 + α (φ c 2) 2, c ∞ 2 c 2 = 1 + 4 (φ c ∞ 2) + (15 + 2 α) (φ c ∞ 2) 2 {\ displaystyle f \ left ({\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ varphi} { c ^ {2}}} + \ alpha \ left ({\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2}, \ qquad {\ frac {c _ {\ infty} ^ { 2}} {c ^ {2}}} = 1 + 4 \ left ({\ frac {\ varphi} {c _ {\ infty} ^ {2}}} \ right) + (15 + 2 \ alpha) \ left ({\ frac {\ varphi} {c _ {\ infty} ^ {2}}} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle f \ left ({\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} + \ альфа \ влево ({\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2}, \ qquad {\ frac {c _ {\ infty} ^ {2}} {c ^ {2} }} = 1 + 4 \ left ({\ frac {\ varphi} {c _ {\ infty} ^ {2}}} \ right) + (15 + 2 \ alpha) \ left ({\ frac {\ varphi} {c _ {\ infty} ^ {2}}} \ right) ^ {2}}

Пейдж и Таппер соответствуют теории Йилмаза второму порядку, когда $α = - 7/2 {\ displaystyle \ alpha = -7 / 2}$ $\ альфа = -7 / 2$ .

Гравитационное отклонение света должно быть равным нулю, когда c постоянна. Учитывая, что переменная c и нулевое отклонение света противоречат эксперименту, перспективы успешной скалярной теории гравитации выглядят очень маловероятными. Кроме того, если параметры скалярной теории настроены так, чтобы отклонение света было правильным, то гравитационное красное смещение, вероятно, будет неправильным.

Ни обобщил некоторые теории, а также создал еще две. В первом случае ранее существовавшие координаты пространства-времени и универсального времени специальной теории относительности взаимодействуют с веществом и негравитационными полями, создавая скалярное поле. Это скалярное поле действует вместе со всеми остальными, создавая метрику.

Действие:

S = 1 16 π G ∫ d 4 x - g L φ + S m {\ displaystyle S = {1 \ более 16 \ pi G} \ int d ^ {4 } Икс {\ sqrt {-g}} L _ {\ varphi} + S_ {m}}

{\ displaystyle S = {1 \ более 16 \ pi G} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} L _ {\ varphi} + S_ {m}}

L φ = φ R - 2 г μ ν ∂ μ φ ∂ ν φ {\ displaystyle L _ {\ varphi} = \ varphi R-2g ^ {\ mu \ nu} \, \ partial _ {\ mu} \ varphi \, \ partial _ {\ nu} \ varphi}

{\ Displaystyle L _ {\ varphi} = \ varphi R-2g ^ {\ mu \ nu} \, \ partial _ {\ mu} \ varphi \, \ partial _ {\ nu} \ varphi }

Misner et al. дает это без члена $φ R {\ displaystyle \ varphi R}$ ${\ displaystyle \ varphi R}$ . $S m {\ displaystyle S_ {m}}$ $S_m$ - действие материи.

◻ φ знак равно 4 π T μ ν [η μ ν е - 2 φ + (е 2 φ + е - 2 φ) ∂ μ t ∂ ν t] {\ displaystyle \ Box \ varphi = 4 \ pi T ^ {\ mu \ nu} \ left [\ eta _ {\ mu \ nu} e ^ {- 2 \ varphi} + \ left (e ^ {2 \ varphi} + e ^ {- 2 \ varphi} \ right) \, \ partial _ {\ mu} t \, \ partial _ {\ nu} t \ right]}

{\ displaystyle \ Box \ varphi = 4 \ pi T ^ {\ mu \ nu} \ left [\ eta _ {\ mu \ nu} e ^ {- 2 \ varphi} + \ left ( е ^ {2 \ varphi} + е ^ {-2 \ varphi} \ right) \, \ partial _ {\ mu} t \, \ partial _ {\ nu} t \ right]}

t - координата всемирного времени. Эта теория непротиворечива и полна. Но движение Солнечной системы через Вселенную приводит к серьезным расхождениям с экспериментом.

Во второй теории Ni есть две произвольные функции $f (φ) {\ displaystyle f (\ varphi)}$ ${\ displaystyle f ( \ varphi)}$ и $k (φ) {\ displaystyle k (\ varphi)}$ ${\ displaystyle К (\ varphi)}$ , которые связаны с метрикой следующим образом:

ds 2 = e - 2 f (φ) dt 2 - e 2 f (φ) [dx 2 + dy 2 + dz 2] {\ displaystyle ds ^ {2} = e ^ {- 2f (\ varphi)} dt ^ {2} -e ^ {2f (\ varphi)} \ left [dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} \ right]}

{\ displaystyle ds ^ {2} = e ^ {- 2f (\ varphi)} dt ^ {2} -e ^ {2f (\ varphi)} \ left [dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} \ right]}

η μ ν ∂ μ ∂ ν φ = 4 π ρ ∗ К (φ) {\ Displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ varphi = 4 \ pi \ rho ^ {*} k (\ varphi)}

{\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ varphi = 4 \ pi \ rho ^ {*} к (\ varphi)}

Ni цитирует Розена как имеющего два скалярных поля $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ и $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ , которые связаны с метрикой следующим образом:

ds 2 = φ 2 dt 2 - ψ 2 [dx 2 + dy 2 + dz 2] { \ Displaystyle ds ^ {2} = \ varphi ^ {2} \, dt ^ {2} - \ psi ^ {2} \ left [dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} \ right ]}

{\ displaystyle ds ^ { 2} = \ varphi ^ {2} \, dt ^ {2} - \ psi ^ {2} \ left [dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} \ right]}

В Папапетру гравитационная часть лагранжиана:

L φ = e φ (1 2 e - φ ∂ α φ ∂ α φ + 3 2 e φ ∂ 0 φ ∂ 0 φ) {\ displaystyle L _ {\ varphi} = e ^ {\ varphi} \ l eft ({\ tfrac {1} {2}} e ^ {- \ varphi} \, \ partial _ {\ alpha} \ varphi \, \ partial _ {\ alpha} \ varphi + {\ tfrac {3} {2 }} e ^ {\ varphi} \, \ partial _ {0} \ varphi \, \ partial _ {0} \ varphi \ right)}

{\ displaystyle L _ {\ varphi} = e ^ {\ varphi} \ left ({\ tfrac {1} {2}} e ^ {- \ varphi} \, \ partial _ {\ alpha} \ varphi \, \ partial _ {\ alpha} \ varphi + {\ tfrac {3} {2}} e ^ {\ varphi} \, \ partial _ {0} \ varphi \, \ partial _ {0} \ varphi \ right)}

В Папапетру есть второе скалярное поле $χ {\ displaystyle \ chi}$ $\ chi$ . Гравитационная часть лагранжиана теперь равна:

L φ = e 1 2 (3 φ + χ) (- 1 2 e - φ ∂ α φ ∂ α φ - e - φ ∂ α φ ∂ χ φ + 3 2 е - χ ∂ 0 φ ∂ 0 φ) {\ displaystyle L _ {\ varphi} = e ^ {{\ frac {1} {2}} (3 \ varphi + \ chi)} \ left (- {\ tfrac {1 } {2}} e ^ {- \ varphi} \, \ partial _ {\ alpha} \ varphi \, \ partial _ {\ alpha} \ varphi -e ^ {- \ varphi} \, \ partial _ {\ alpha } \ varphi \, \ partial _ {\ chi} \ varphi + {\ tfrac {3} {2}} e ^ {- \ chi} \, \ partial _ {0} \ varphi \, \ partial _ {0} \ varphi \ right) \,}

{\ displaystyle L _ {\ varphi} = e ^ {{\ frac {1} {2}} (3 \ varphi + \ chi)} \ left (- {\ tfrac {1} {2 }} e ^ {- \ varphi} \, \ partial _ {\ alpha} \ varphi \, \ partial _ {\ alpha} \ varphi -e ^ {- \ varphi} \, \ partial _ {\ alpha} \ varphi \, \ partial _ {\ chi} \ varphi + {\ tfrac {3} {2}} e ^ {- \ chi} \, \ partial _ {0} \ varphi \, \ partial _ {0} \ varphi \ справа) \,}

Биметрические теории

Биметрические теории содержат как нормальную тензорную метрику, так и метрику Минковского (или метрику постоянной кривизны), а также могут содержать другие скалярные или векторные поля.

Биметрическая теория Розена (1975) Действие следующее:

S = 1 64 π G ∫ d 4 x - η η μ ν g α β g γ δ (g α γ | μ g α δ | ν - 1 2 г α β | μ г γ δ | ν) + S м {\ Displaystyle S = {1 \ более 64 \ pi G} \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {- \ eta} } \ eta ^ {\ mu \ nu} g ^ {\ alpha \ beta} g ^ {\ gamma \ delta} (g _ {\ alpha \ gamma | \ mu} g _ {\ alpha \ delta | \ nu} - \ textstyle {\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta | \ mu} g _ {\ gamma \ delta | \ nu}) + S_ {m}}

{\ Displaystyle S = {1 \ более 64 \ pi G} \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {- \ eta}} \ eta ^ {\ mu \ nu} g ^ {\ альфа \ бета} г ^ {\ гамма \ дельта} (г _ {\ альфа \ гамма | \ му} г _ {\ альфа \ дельта | \ ню} - \ textstyle {\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta | \ mu} g _ {\ gamma \ delta | \ nu}) + S_ {m}}

◻ η g μ ν - g α β η γ δ g μ α | γ g ν β | δ знак равно - 16 π G г / η (T μ ν - 1 2 г μ ν T) {\ Displaystyle \ Box _ {\ eta} g _ {\ mu \ nu} -g ^ {\ alpha \ beta} \ eta ^ {\ gamma \ delta} g _ {\ mu \ alpha | \ gamma} g _ {\ nu \ beta | \ delta} = - 16 \ pi G {\ sqrt {g / \ eta}} (T _ {\ mu \ nu} - \ textstyle {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} T) \,}

\ Box _ {\ eta} g_ {{\ mu \ nu}} - g ^ {{\ alpha \ beta}} \ eta ^ {{\ gamma \ delta}} g _ {{\ mu \ alpha | \ gamma}} g _ {{\ nu \ beta | \ delta}} = - 16 \ pi G {\ sqrt {g / \ eta}} (T _ {{\ mu \ nu}} - \ textstyle {\ frac {1} {2}} g _ {{\ mu \ Nu}} T) \,

Лайтман – Ли разработал метрическую теорию, основанную на неметрической теории Белинфанте и Свихарта. Результат известен как теория BSLL. Дано тензорное поле $B μ ν {\ displaystyle B _ {\ mu \ nu} \,}$ $B _ {{\ mu \ nu}} \,$ , $B = B μ ν η μ ν {\ displaystyle B = B _ {\ mu \ nu} \ eta ^ { \ mu \ nu} \,}$ $B = B _ {{\ mu \ nu}} \ eta ^ {{\ mu \ nu}} \,$ и две константы $a {\ displaystyle a \,}$ $a \,$ и $f {\ displaystyle f \,}$ $f \,$ действие:

S = 1 16 π G ∫ d 4 x - η (a B μ ν | α B μ ν | α + f B, α B, α) + S m {\ displaystyle S = {1 \ более 16 \ pi G} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {- \ eta}} (aB ^ {\ mu \ nu | \ alpha} B _ {\ mu \ nu | \ alpha} + fB _ {, \ alpha} B ^ {, \ alpha}) + S_ {m}}

{\ displaystyle S = {1 \ более 16 \ pi G} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {- \ eta}} (aB ^ {\ mu \ nu | \ alpha} B _ {\ mu \ nu | \ alpha} + fB _ {, \ alpha} B ^ {, \ alpha}) + S_ {m}}

и тензор энергии-импульса получается из:

a ◻ η B μ ν + f η μ ν ◻ η B = - 4 π G г / η T α β (∂ g α β ∂ B μ ν) {\ displaystyle a \ Box _ {\ eta} B ^ {\ mu \ nu} + f \ eta ^ {\ mu \ nu} \ Box _ {\ eta} B = -4 \ pi G {\ sqrt {g / \ eta}} \, T ^ {\ alpha \ beta} \ left ({\ frac {\ partial g _ {\ alpha \ beta} } {\ partial B _ {\ mu} \ nu}} \ right)}

{\ displaystyle a \ Box _ {\ eta} B ^ {\ mu \ nu} + f \ eta ^ {\ mu \ nu} \ Box _ {\ eta} B = -4 \ pi G {\ sqrt {g / \ eta}} \, T ^ {\ alpha \ beta} \ left ({\ frac {\ partial g _ {\ alpha \ beta}} {\ partial B _ {\ mu} \ nu} } \ right)}

В Расталле метрика является алгебраической функцией метрики Минковского и векторного поля. Действие:

S = 1 16 π G ∫ d 4 x - g F (N) K μ; ν K μ; ν + S м {\ Displaystyle S = {1 \ более 16 \ pi G} \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {-g}} F (N) K ^ {\ mu; \ nu} K_ {\ mu; \ nu} + S_ {m}}

{\ displaystyle S = {1 \ более 16 \ pi G} \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {-g}} F (N) K ^ {\ mu; \ nu} К _ {\ mu; \ Nu} + S_ {m}}

где

F (N) = - N 2 + N {\ displaystyle F (N) = - {\ frac {N} {2 + N} }}

{\ displaystyle F (N) = - {\ frac {N} {2 + N}}}

N = g μ ν K μ K ν {\ displaystyle N = g ^ {\ mu \ nu} K _ {\ mu} K _ {\ nu} \;}

{\ displaystyle N = g ^ {\ mu \ nu} K _ {\ mu} K _ {\ nu} \; }

(см. Волю для уравнения поля для $T μ ν {\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} \;}$ $T ^ {{\ mu \ nu}} \;$ и $K μ {\ displaystyle K _ {\ mu} \; }$ $K _ {\ mu } \;$ ).

Квазилинейные теории

В Уайтхеде построена физическая метрика $g {\ displaystyle g \;}$ $g\;$ (по Synge ) алгебраически из метрики Минковского $η {\ displaystyle \ eta \;}$ $\ eta \;$ и материальных переменных, так что у него даже нет скалярного поля. Конструкция такова:

g μ ν (x α) = η μ ν - 2 ∫ Σ - y μ - y ν - (w -) 3 [- g ρ u α d Σ α] - {\ displaystyle g_ { \ mu \ nu} (x ^ {\ alpha}) = \ eta _ {\ mu \ nu} -2 \ int _ {\ Sigma ^ {-}} {y _ {\ mu} ^ {-} y _ {\ nu } ^ {-} \ over (w ^ {-}) ^ {3}} \ left [{\ sqrt {-g}} \ rho u ^ {\ alpha} \, d \ Sigma _ {\ alpha} \ right ] ^ {-}}

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} (x ^ {\ alpha}) = \ eta _ {\ mu \ nu} -2 \ int _ {\ Sigma ^ {-}} {y _ {\ mu} ^ {-} y _ {\ nu} ^ {-} \ over (w ^ {-}) ^ {3}} \ left [{\ sqrt {-g}} \ rho u ^ {\ alpha} \, d \ Sigma _ {\ alpha} \ right] ^ {-}}

где верхний индекс (-) указывает величины, оцененные в прошлом $η {\ displaystyle \ eta \;}$ $\ eta \;$ световой конус точки поля $x α {\ displaystyle x ^ {\ alpha} \;}$ $x ^ {\ alpha} \;$ и

(y μ) - = x μ - (x μ) -, (y μ) - (y μ) - = 0, вес - знак равно (y μ) - (u μ) -, (u μ) = dx μ d σ, d σ 2 = η μ ν dx μ dx ν {\ displaystyle {\ begin {align} (y ^ {\ mu }) ^ {-} = x ^ {\ mu} - (x ^ {\ mu}) ^ {-}, \ qquad (y ^ {\ mu}) ^ {-} (y _ {\ mu}) ^ {-} = 0, \\ [5pt] w ^ {-} = (y ^ {\ mu}) ^ {-} (u _ {\ mu}) ^ {-}, \ qquad (u _ {\ mu}) = {\ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ sigma}}, \\ [5pt] d \ sigma ^ {2} = \ eta _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu } \, dx ^ {\ nu} \ en d {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (y ^ {\ mu}) ^ {-} = x ^ {\ mu} - (x ^ {\ mu}) ^ {-}, \ qquad (y ^ {\ mu}) ^ {-} (y _ {\ mu}) ^ {-} = 0, \\ [5pt] w ^ {-} = (y ^ {\ mu}) ^ {-} (u _ {\ mu}) ^ {-}, \ qquad (u _ {\ mu}) = {\ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ sigma}}, \\ [5pt] d \ sigma ^ {2} = \ eta _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu} \ end {align}}}

Тем не менее, построение метрики (из неметрической теории) с использованием "контракта длины" Ионный анзац подвергается критике.

Дезер и Лоран и Боллини – Джамбиаджи – Тиомно - линейные теории с фиксированной калибровкой. Используя подход квантовой теории поля, объедините пространство-время Минковского с калибровочно-инвариантным действием тензорного поля со спином два (т.е. гравитона) $h μ ν {\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} \;}$ $h _ {{\ mu \ nu}} \;$ для определения

g μ ν = η μ ν + h μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + h _ {\ mu \ nu} \;}

g _ {{\ mu \ nu}} = \ eta _ {{\ mu \ nu}} + h _ {{\ mu \ nu}} \;

Действие:

S = 1 16 π G ∫ d 4 x - η [2 h | ν μ ν h μ λ | λ - 2 ч | ν μ ν h λ | μ λ + h ν | μ ν h λ λ | μ - h μ ν | λ h μ ν | λ] + S м {\ Displaystyle S = {1 \ более 16 \ pi G} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {- \ eta}} \ left [2h_ {| \ nu} ^ {\ mu \ ню} h _ {\ mu \ lambda} ^ {| \ lambda} -2h_ {| \ nu} ^ {\ mu \ nu} h _ {\ lambda | \ mu} ^ {\ lambda} + h _ {\ nu | \ mu } ^ {\ nu} h _ {\ lambda} ^ {\ lambda | \ mu} -h ^ {\ mu \ nu | \ lambda} h _ {\ mu \ nu | \ lambda} \ right] + S_ {m} \ ;}

{\ displaystyle S = {1 \ более 16 \ pi G} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {- \ eta}} \ left [2h_ {| \ nu} ^ {\ mu \ nu} h _ {\ mu \ lambda} ^ {| \ лямбда} -2h_ {| \ nu} ^ {\ mu \ nu} h _ {\ lambda | \ mu} ^ {\ lambda} + h _ {\ nu | \ mu} ^ {\ nu} h _ {\ lambda} ^ {\ lambda | \ mu} -h ^ {\ mu \ nu | \ lambda} h _ {\ mu \ nu | \ lambda} \ right] + S_ {m} \;}

Тождество Бьянки, связанное с этой частичной калибровочной инвариантностью, неверно. Теории линейной фиксированной калибровки стремятся исправить это, нарушив калибровочную инвариантность гравитационного воздействия путем введения дополнительных гравитационных полей, которые связаны с $h μ ν {\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} \;}$ $h _ {{\ mu \ nu}} \;$ .

A космологической константа может быть введена в квазилинейную теорию простым приемом замены фона Минковского на пространство-время де Ситтера или пространство-время де Ситтера, как было предложено Г. Темплом в 1923. Предложения Темпла о том, как это сделать, были подвергнуты критике CB Rayner в 1955 году.

Тензорные теории

общая теория относительности Эйнштейна - простейшая правдоподобная теория гравитации, которая может быть на основе только одного симметричного тензорного поля (метрического тензора ). Другие включают: гравитацию Старобинского (R + R ^ 2), гравитацию Гаусса – Бонне, f (R) гравитацию и теорию гравитации Лавлока.

Старобинский

Старобинская гравитация, предложенная Алексеем Старобинским, имеет лагранжиан

L = - g [R + R 2 6 M 2] {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ sqrt {-g}} \ left [R + {\ frac {R ^ {2}} {6M ^ {2}}} \ right]}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ sqrt {-g}} \ left [R + {\ frac {R ^ {2}} {6M ^ {2}}} \ right]}

и использовался для объяснения инфляции в форме Старобинского инфляция.

Гаусс – Бонне

Гаусс – Бонне действует

L = - g [R + R 2 - 4 R μ ν R μ ν + R μ ν ρ σ R μ ν ρ σ]. {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ sqrt {-g}} \ left [R + R ^ {2} -4R ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} + R ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} R _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ right].}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ sqrt {-g}} \ left [R + R ^ {2} -4R ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} + R ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} R _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ right].}

где коэффициенты дополнительных членов выбраны так, что действие сводится к общей теории относительности в 4-х пространственно-временных измерениях и дополнительные термины становятся нетривиальными только тогда, когда вводятся дополнительные измерения.

Четвертая производная гравитации Стелле

Четвертая производная гравитации Стелле, которая является обобщением гравитации Гаусса – Бонне, имеет действие

L = - g [R + f 1 R 2 + f 2 R μ ν R μ ν + f 3 R μ ν ρ σ R μ ν ρ σ]. {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ sqrt {-g}} \ left [R + f_ {1} R ^ {2} + f_ {2} R ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} + f_ {3} R ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} R _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ right].}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ sqrt {- g}} \ left [R + f_ {1} R ^ {2} + f_ {2} R ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} + f_ {3} R ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} R _ { \ mu \ nu \ rho \ sigma} \ right].}

f (R)

f (R) гравитация имеет действие

L = - gf (R) {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ sqrt {-g}} f (R)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ sqrt {-g}} f (R)}

и представляет собой семейство теорий, каждый из которых определяется отдельной функцией скаляра Риччи. Гравитация Старобинского на самом деле является теорией $f (R) {\ displaystyle f (R)}$ $f (R)$ .

Бесконечная производная гравитации

Бесконечная производная гравитации - это ковариантная теория гравитации, квадратичная по кривизне, без кручения и инвариантная по четности,

L = - g [M p 2 R + R f 1 (◻ M s 2) R + R μ ν f 2 (◻ M s 2) R μ ν + R μ ν ρ σ f 3 (◻ M s 2) R μ ν ρ σ]. {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ sqrt {-g}} \ left [M_ {p} ^ {2} R + Rf_ {1} \ left ({\ frac {\ Box} {M_ {s } ^ {2}}} \ right) R + R ^ {\ mu \ nu} f_ {2} \ left ({\ frac {\ Box} {M_ {s} ^ {2}}} \ right) R_ { \ mu \ nu} + R ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} f_ {3} \ left ({\ frac {\ Box} {M_ {s} ^ {2}}} \ right) R _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ right].}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ sqrt {-g}} \ left [M_ {p} ^ {2} R + Rf_ {1} \ left ({\ frac {\ Box} {M_ {s} ^ {2}}} \ right) R + R ^ {\ mu \ nu} f_ {2} \ left ({\ frac {\ Box} {M_ {s} ^ {2}} } \ right) R _ {\ mu \ nu} + R ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} f_ {3} \ left ({\ frac {\ Box} {M_ {s} ^ {2}}} \ right) R _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ right].}

2 f 1 (◻ M s 2) + f 2 (◻ M s 2) + 2 f 3 (◻ M s 2) = 0, {\ displaystyle 2f_ {1} \ left ({\ frac {\ Box} {M_ {s} ^ {2}}} \ right) + f_ {2} \ left ({\ frac {\ Box} {M_ {s } ^ {2}}} \ right) + 2f_ {3} \ left ({\ frac {\ Box} {M_ {s} ^ {2}}} \ right) = 0,}

{\ displaystyle 2f_ {1} \ left ({\ frac {\ Box} {M_ {s} ^ {2}}} \ right) + f_ {2} \ left ({\ frac {\ Box} {M_ {s} ^ {2}}} \ right) + 2f_ {3} \ left ({\ frac {\ Box} {M_ {s} ^ {2}}} \ right) = 0,}

для того, чтобы уверен, что в пропагаторе гравитона вокруг фона Минковского распространяются только безмассовые компоненты со спином −2 и спином −0. Действие становится нелокальным за пределами шкалы $M s {\ displaystyle M_ {s}}$ ${\ displaystyle M_ {s}}$ и восстанавливается до общей теории относительности в инфракрасном диапазоне для энергий ниже нелокального масштаба $M s {\ displaystyle M_ {s}}$ ${\ displaystyle M_ {s}}$ . В ультрафиолетовом режиме на расстояниях и временных масштабах ниже нелокальных, $M s - 1 {\ displaystyle M_ {s} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle M_ {s} ^ {- 1}}$ , гравитационное взаимодействие ослабевает достаточно, чтобы разрешить точечная особенность, которая означает, что сингулярность Шварцшильда потенциально может быть разрешена в теориях гравитации с бесконечной производной.

Лавлок

Гравитация Лавлока имеет действие

L = - g (α 0 + α 1 Р + α 2 (р 2 + р α β μ ν R α β μ ν - 4 R μ ν R μ ν) + α 3 O (R 3)), {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ sqrt {-g}}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left(R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^ {\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)+\alpha _{3}{\mathcal {O}}(R^{3})),}

\ mathcal {L} = \ sqrt {-g} \ (\ alpha _ {0} + \ alpha _ {1} R + \ alpha _ {2} \ left (R ^ {2} + R _ {\ alpha \ beta \ mu \ nu} R ^ {\ alpha \ beta \ mu \ nu} -4R _ {\ му \ ню} R ^ {\ му \ nu} \ right) + \ alpha _ {3} \ mathcal {O} (R ^ {3})),

and can be thought of as a generalisation of general relativity.

Scalar-tensor theories

These all contain at least one free parameter, as opposed to general relativity which has no free parameters.

Although not normally considered a Scalar-Tensor theory of gravity, the 5 by 5 metric of Kaluza–Klein reduces to a 4 by 4 metric and a single scalar. So if the 5th element is treated as a scalar gravitational field instead of an electromagnetic field then Kaluza–Klein can be considered the progenitor of Scalar-Tensor theories of gravity. This was recognised by Thiry.

Scalar-Tensor theories include Thiry, Jordan, Brans and Dicke, Bergman, Nordtveldt (1970), Wagoner, Bekenstein and Barker.

The action $S {\displaystyle S\;}$ $S \;$ is based on the integral of the Lagrangian $L φ {\displaystyle L_{\varphi }\;}$ ${\ displaystyle L _ {\ varphi} \ ;}$ .

S = 1 16 π G ∫ d 4 x − g L φ + S m {\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\;}

{\ displaystyle S = {1 \ более 16 \ pi G} \ int d ^ {4} x {\ sqrt { - g}} L _ {\ varphi} + S_ {m} \;}

L φ = φ R − ω ( φ) φ g μ ν ∂ μ φ ∂ ν φ + 2 φ λ ( φ) {\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-{\omega (\varphi) \over \varphi }g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi +2\varphi \lambda (\varphi)\;}

{\ displaystyle L _ {\ varphi} = \ varphi R - {\ omega (\ varphi) \ over \ varphi} g ^ {\ му \ ну} \, \ partial _ {\ mu} \ varphi \, \ partial _ {\ nu} \ varphi +2 \ varphi \ lambda (\ varphi) \;}

S m = ∫ d 4 x g G N L m {\displaystyle S_{m}=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,G_{N}L_{m}\;}

{\ displaystyle S_ {m} = \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {g}} \, G_ {N} L_ {m } \;}

T μ ν = d e f 2 g δ S m δ g μ ν {\displaystyle T^{\mu \nu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {2 \over {\sqrt {g}}}{\delta S_{m} \over \delta g_{\mu \nu }}}

T ^ {{\ mu \ nu}} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ {2 \ over { \ sqrt {g}}} {\ delta S_ {m} \ over \ delta g _ {{\ mu \ nu}}}

where $ω ( φ) {\displaystyle \omega (\varphi)\;}$ ${\ displaystyle \ omega (\ varphi) \;}$ is a different dimensionless f unction for each different scalar-tensor theory. The function $λ ( φ) {\displaystyle \lambda (\varphi)\;}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ varphi) \;}$ plays the same role as the cosmological constant in general relativity. $G N {\displaystyle G_{N}\;}$ $G_ {N} \;$ is a dimensionless normalization constant that fixes the present-day value of $G {\displaystyle G\;}$ $G \;$ . An arbitrary potential can be added for the scalar.

The full version is retained in Bergman and Wagoner. Special cases are:

Nordt vedt, $λ = 0 {\ displaystyle \ lambda = 0 \;}$ $\ lambda = 0 \;$

Поскольку $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ в то время все равно считалось нулевым, это не считались существенной разницей. Роль космологической постоянной в более современных работах обсуждается в разделе Космологическая постоянная.

Бранса – Дикке, $ω {\ displaystyle \ omega \;}$ $\ omega \;$ постоянная

Теория переменной массы Бекенштейна. Начиная с параметров $r {\ displaystyle r \;}$ $р \;$ и $q {\ displaystyle q \;}$ $q \;$ , найденных из космологического решения, $φ = [1 - qf (φ)] е (φ) - r {\ displaystyle \ varphi = [1-qf (\ varphi)] f (\ varphi) ^ {- r} \;}$ ${\ displaystyle \ varphi = [1-qf (\ varphi)] е (\ varphi) ^ {- r} \;}$ определяет функцию $f {\ displaystyle f \;}$ $f \;$ , затем

ω (φ) = - 3 2 - 1 4 f (φ) [(1 - 6 q) qf ( φ) - 1] [r + (1 - r) qf (φ)] - 2 {\ displaystyle \ omega (\ varphi) = - \ textstyle {\ frac {3} {2}} - \ textstyle {\ frac { 1} {4}} f (\ varphi) [(1-6q) qf (\ varphi) -1] [r + (1-r) qf (\ varphi)] ^ {- 2} \;}

{\ displaystyle \ omega (\ varphi) = - \ textstyle {\ frac {3} {2}} - \ textstyle {\ frac {1} {4}} f (\ varphi) [(1-6q) qf (\ varphi) -1] [r + (1-r) qf (\ varphi)] ^ {- 2} \; }

Баркер теория постоянной G

ω (φ) = 4-3 φ 2 φ - 2 {\ displaystyle \ omega (\ varphi) = {\ frac {4-3 \ varphi} {2 \ varphi -2}}}

{\ displaystyle \ omega (\ varphi) = {\ frac {4-3 \ varphi} {2 \ varphi -2}}}

Настройка $ω (φ) {\ displaystyle \ omega (\ varphi) \;}$ ${\ displaystyle \ omega (\ varphi) \;}$ позволяет скалярно десять жалкие теории стремятся к общей теории относительности в пределах $ω → ∞ {\ displaystyle \ omega \ rightarrow \ infty \;}$ $\ omega \ rightarrow \ infty \;$ в текущую эпоху. Однако в ранней Вселенной могли быть значительные отличия от общей теории относительности.

Пока общая теория относительности подтверждается экспериментом, нельзя полностью исключить общие скалярно-тензорные теории (включая Бранса – Дике), но поскольку эксперименты продолжают более точно подтверждать общую теорию относительности, и параметры должны быть доработаны так, чтобы предсказания более точно соответствовали предсказаниям общей теории относительности.

Приведенные выше примеры являются частными случаями теории Хорндески, наиболее общего лагранжиана, построенного из метрического тензора и скалярного поля, приводящего к уравнениям движения второго порядка в 4-мерном пространстве. Было показано, что существуют жизнеспособные теории помимо Хорндески (с уравнениями движения более высокого порядка).

Векторно-тензорные теории

Прежде чем мы начнем, Уилл (2001) сказал: «Многие альтернативные метрические теории Разработанные в 1970-х и 1980-х годах, можно было рассматривать как теории "соломенного человека", изобретенные для доказательства существования таких теорий или для иллюстрации определенных свойств. Немногие из них можно рассматривать как хорошо мотивированные теории с точки зрения, скажем, теория поля или физика элементарных частиц. Примерами являются векторные энзорные теории, изученные Уиллом, Нордтведтом и Хеллингсом ».

Хеллингс и Нордтведт, Уилл и Нордтвед являются векторно-тензорными теориями. В дополнение к метрическому тензору существует временноподобное поле $K μ. \ displaystyle K _ {\ mu}.}$ ${\ displaystyle K _ {\ mu}.}$ Гравитационное действие:

S = 1 16 π G ∫ d 4 x - g [R + ω K μ K μ R + η K μ K ν R μ ν - ϵ F μ ν F μ ν + τ К μ; ν K μ; ν] + S m {\ displaystyle S = {\ frac {1} {16 \ pi G}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \ left [R + \ omega K _ {\ mu} K ^ {\ mu} R + \ eta K ^ {\ mu} K ^ {\ nu} R _ {\ mu \ nu} - \ эпсилон F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu } + \ тау К _ {\ му; \ ню} К ^ {\ му; \ nu} \ right] + S_ {m}}

{\ displaystyle S = {\ frac {1} {16 \ pi G}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \ left [R + \ omega K _ {\ mu} K ^ {\ mu} R + \ eta K ^ {\ mu} K ^ {\ nu} R _ {\ mu \ nu} - \ epsilon F _ {\ му \ ну} F ^ {\ му \ ню} + \ тау K _ {\ му; \ ню} К ^ {\ му; \ nu} \ right] + S_ {m}}

где $ω, η, ϵ, τ {\ displaystyle \ omega, \ eta, \ epsilon, \ tau}$ ${\ displaystyle \ omega, \ eta, \ epsilon, \ tau}$ - константы, а

F μ ν = K ν; μ - K μ; ν. {\ Displaystyle F _ {\ му \ ню} = К _ {\ ню; \ mu} -K _ {\ mu; \ nu}.}

{\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} = K _ {\ nu; \ mu} -K _ {\ mu; \ nu}.}

(см. Уравнения поля для

T μ ν {\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu}}

T ^ { \ mu \ nu}

K μ. {\ displaystyle K _ {\ mu}.}

{\ displaystyle K _ {\ mu}.}

)

Уилл и Нордтведт - особый случай, когда

ω = η = ϵ = 0; τ = 1 {\ displaystyle \ omega = \ eta = \ epsilon = 0; \ quad \ tau = 1}

{\ displaystyle \ omega = \ eta = \ epsilon = 0; \ quad \ tau = 1}

Хеллингс и Нордтведт - особый случай, когда

τ = 0; ϵ = 1; η = - 2 ω {\ displaystyle \ tau = 0; \ quad \ epsilon = 1; \ quad \ eta = -2 \ omega}

{\ displaystyle \ tau = 0; \ quad \ epsilon = 1; \ quad \ eta = -2 \ omega}

Эти тензорные теории полуконсервативны, что означает, что они удовлетворяют законам сохранения и текущего количества движения, но могут иметь предпочтительные эффекты системы отсчета. Когда $ω = η = ϵ = τ = 0 {\ displaystyle \ omega = \ eta = \ epsilon = \ tau = 0}$ ${\ displaystyle \ omega = \ eta = \ epsilon = \ тау = 0}$ , они сводятся к общей теории относительности, так что пока общая теория относительности подтверждена экспериментально нельзя исключить общие векторно-тензорные теории.

Другие метрические теории

Были предложены другие метрические теории; дело Бекенштейна обсуждается в разделе «Современные теории».

Неметрические теории

Теория Картана особенно интересна как потому, что это неметрическая теория, так и потому, что она очень старая. Статус теории Картана неясен. Уилл утверждает, что все неметрические теории устраняются принципом эквивалентности Эйнштейна. Уилл (2001) смягчает это, объясняя экспериментальные проверки неметрических теорий против принципа эквивалентности Эйнштейна. Misner et al. утверждает, что теория Картана является единственной неметрической теорией, которая выдержала все экспериментальные испытания до этой даты, и Турышев перечисляет теорию Картана среди немногих, которые пережили все экспериментальные испытания до этой даты. Ниже представлен краткий набросок теории Картана, изложенной Траутманом.

Картан простое обобщение теории гравитации Эйнштейна. Он использует модель пространства-времени с метрическим тензором и линейной «связью», совместимую с метрикой, но не обязательно симметричную. Тензор кручения связи связан с плотностью собственного углового момента. Независимо от Картана аналогичные идеи были выдвинуты Скиамой, Кибблом в период с 1958 по 1966 год, кульминацией которых стал обзор Хел и др. За 1976 год.

Первоначальное описание дано в терминах дифференциальных форм, но в настоящей статье оно заменено более привычным языком тензоров (потери риск точности). Как и в общей теории относительности, лагранжиан состоит из безмассовой и массовой частей. Лагранжиан для безмассовой части равенство:

L = 1 32 π G Ω ν μ g ν ξ x η x ζ ε ξ μ η ζ Ω ν μ = d ω ν μ + ω ξ η ∇ x μ = - ω ν μ Икс ν {\ Displaystyle {\ begin {align} L = {1 \ более 32 \ pi G} \ Omega _ {\ nu} ^ {\ mu} g ^ {\ nu \ xi} x ^ {\ eta} x ^ {\ zeta} \ varepsilon _ {\ xi \ mu \ eta \ zeta} \\ [5pt] \ Omega _ {\ nu} ^ {\ mu} = d \ omega _ {\ nu} ^ {\ mu} + \ omega _ {\ xi} ^ {\ eta} \\ [5pt] \ nabla x ^ {\ mu} = - \ omega _ {\ nu} ^ {\ mu} x ^ {\ nu} \ end { align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} L = {1 \ более 32 \ pi G} \ Omega _ {\ nu} ^ {\ mu} g ^ {\ nu \ xi} x ^ {\ eta} x ^ {\ zeta} \ varepsilon _ {\ xi \ mu \ eta \ zeta} \ \ [5pt] \ Omega _ {\ nu} ^ {\ mu} = d \ omega _ {\ nu} ^ {\ mu} + \ omega _ {\ xi} ^ {\ eta} \\ [5pt] \ набла x ^ {\ mu} = - \ omega _ {\ nu} ^ {\ mu} x ^ {\ nu} \ end {align}}}

$ω ν μ {\ displaystyle \ omega _ {\ nu} ^ {\ mu} \;}$ $\ omega _ {\ nu} ^ {\ mu} \;$ - это линейная связь. $ε ξ μ η ζ {\ displaystyle \ varepsilon _ {\ xi \ mu \ eta \ zeta} \;}$ $\ varepsilon _ {{\ xi \ mu \ eta \ zeta}} \;$ - полностью антисимметричный псевдотензор (символ Леви-Чивиты ) с $ε 0123 = - g {\ displaystyle \ varepsilon _ {0123} = {\ sqrt {-g}} \;}$ $\ varepsilon _ {{0123 }} = {\ sqrt {-g}} \;$ и $g ν ξ {\ displaystyle g ^ {\ nu \ xi} \,}$ $g ^ {{\ nu \ xi}} \,$ - обычный метрический тензор. Предполагаемая, что линейная связь является метрической, можно устранить нежелательную свободу, присущую неметрическую теории. Тензор энергии-напряжения вычисляется по формуле:

T μ ν = 1 16 π G (g μ ν η η ξ - g ξ μ η η ν - g ξ ν η η μ) Ω ξ η {\ displaystyle T ^ { \ mu \ nu} = {1 \ более 16 \ pi G} (g ^ {\ mu \ nu} \ eta _ {\ eta} ^ {\ xi} -g ^ {\ xi \ mu} \ eta _ {\ eta} ^ {\ nu} -g ^ {\ xi \ nu} \ eta _ {\ eta} ^ {\ mu}) \ Omega _ {\ xi} ^ {\ eta} \;}

{\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {1 \ более 16 \ pi G} (g ^ {\ mu \ nu} \ eta _ {\ eta} ^ {\ xi} -g ^ {\ xi \ mu} \ eta _ {\ eta} ^ {\ nu} -g ^ { \ xi \ nu} \ eta _ {\ eta} ^ {\ mu}) \ Omega _ {\ xi} ^ {\ eta} \;}

Пространство кривизна не римановой, но в римановом времени лагранжиан сводился бы к лагранжиану общей теории относительности.

Некоторые уравнения неметрической теории Белинфанте и Свихарта уже обсуждались в разделе биметрические теорий.

Отчетливо неметрическая теория дается калибровочной теорией гравитации, который заменяет метрику в своих полевых уравнениях паровых калибровочных полей в плоском пространстве-времени. С одной стороны, теории достаточно консервативной, поскольку она по существу теории теории Эйнштейна - Картана (или общей теории относительности в пределе исчезающего спина), отличаясь в основном природой ее глобальных решений. С другой стороны, он радикален, потому что заменяет дифференциальную геометрию геометрической алгеброй.

Современные теории 1980-х годов по настоящее время

Этот раздел включает альтернативы общей теории относительности, опубликованные после наблюдений за вращением галактик, которые приводят к гипотезе «темной материи». Нет известного надежного списка для сравнения этих теорий. К числу рассматриваемых здесь домов: Бекенштейн, Моффат, Моффат, Моффат. Эти теории с представленной космологической постоянной или добавленным скалярным или векторным потенциалом.

Мотивы

Мотивации для более поздних альтернатив общей теории относительности почти все космологические, связанные с такими конструкциями, как «инфляция», «темная материя» и «темная энергия», или заменяющие их. Основная идея состоит в том, что гравитация согласуется с общей теорией относительности в нынешнюю эпоху, но, возможно, была совершенно иной в ранней Вселенной.

В 1980-х годах в мире физики постепенно осознание того, что нынешнему сценарию Большого взрыва присущи проблем, включая проблему горизонта и наблюдение, что в ранние времена, когда кварки только формировались, во Вселенной не было достаточно места, чтобы вместить хотя бы один кварк. Теория инфляции была ограничена для преодоления этих трудностей. Другой альтернативой было построение альтернативы общей теории относительности, в которой скорость света была выше в ранней Вселенной. Открытие неожиданных кривых вращения галактик застало всех врасплох. Может ли во Вселенной быть больше массы, чем мы думаем, или сама теория гравитации неверна? Сейчас консенсус состоит в том, что недостающая масса - это «холодная темная материя», но этот консенсус был достигнут только после альтернативных общих теорий теории, и некоторые физики все еще считают, что альтернативные модели гравитации могут дать ответ.

В 1990-х годах исследования сверхновых проявляют ускоренное расширение Вселенной, которое теперь обычно связывают с темной энергией. Это привело к быстрому восстановлению космологической постоянной Эйнштейна, и квинтэссенция появилась как альтернатива космологической постоянной. По крайней мере, одна новая альтернатива общей теории относительности попыталась объяснить результаты исследований сверхновых. Измерение скорости гравитации с помощью события гравитационной волны GW170817 исключило многие альтернативные теории гравитации в объяснения ускоренного расширения. Еще одно наблюдение, вызвало в последнее время интерес к альтернативе общей теории относительности, - это аномалия Пионера. Вскоре было обнаружено, что эту аномалию можно объяснить альтернативой общей теории относительности. В настоящее время считается, что это объясняется неоднородным тепловым излучением.

Космологическая постоянная и квинтэссенция

Космологическая постоянная $Λ {\ displaystyle \ Lambda \;}$ $\ Lambda \;$ - очень старая идея, восходящая к Эйнштейну в 1917 году. Успех модели Вселенной Фридмана, в которой значение $Λ = 0 {\ displaystyle \ Lambda = 0 \;}$ $\ Lambda = 0 \;$ привел к всеобщему признанию, что она равна нулю, но к использованию не- нулевое вернулось с удвоенной силой, когда данные по сверхновым показывают, что расширение Вселенной ускоряется

Во-первых, давайте посмотрим, как это влияет на уравнения ньютоновской гравитации и общей теории относительности. В ньютоновской гравитации добавление космологической постоянной изменяет уравнение Ньютона - Пуассона с:

∇ 2 φ = 4 π ρ G; {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = 4 \ pi \ rho \ G;}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = 4 \ pi \ rho \ G;}

до

∇ 2 φ + 1 2 Λ c 2 = 4 π ρ G; {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi + {\ frac {1} {2}} \ Lambda c ^ {2} = 4 \ pi \ rho \ G;}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi + {\ frac {1} {2}} \ Lambda c ^ {2} = 4 \ pi \ rho \ G;}

В общей теории относительности это изменение Эйнштейна - Действие Гильберта из

S = 1 16 π G ∫ R - gd 4 x + S m {\ displaystyle S = {1 \ более 16 \ pi G} \ int R {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} х \, + S_ {m} \;}

S = {1 \ более 16 \ pi G} \ int R {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x \, + S_ {m} \;

до

S = 1 16 π G ∫ (R - 2 Λ) - gd 4 x + S m {\ displaystyle S = {1 \ более 16 \ pi G} \ int (R-2 \ Lambda) {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x \, + S_ {m} \;}

S = {1 \ более 16 \ pi G} \ int (R -2 \ Lambda) {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x \, + S_ {m} \;

который изменяет уравнение поля

T μ ν знак равно 1 8 π G (R μ ν - 1 2 г μ ν R) {\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {1 \ over 8 \ pi G} \ left (R ^ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g ^ {\ mu \ nu} R \ right) \;} от

T ^ {{\ mu \ nu}} = {1 \ over 8 \ pi G} \ left (R ^ {{\ mu \ nu}} - {\ frac {1} {2}} g ^ {{\ mu \ nu}} R \ right) \;

до

T μ ν = 1 8 π G (R μ ν - 1 2 г μ ν р + г μ ν Λ) {\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {1 \ over 8 \ pi G} \ left (R ^ {\ mu \ nu} - {\ frac {1 } {2}} g ^ {\ mu \ nu} R + g ^ {\ mu \ nu} \ Lambda \ right) \;}

T ^ {{\ mu \ nu}} = {1 \ более 8 \ pi G} \ left (R ^ {{\ mu \ nu}} - {\ frac {1} {2}} g ^ {{\ mu \ nu}} R + g ^ {{\ mu \ nu} }} \ Lambda \ right) \;

В альтернативных теориях гравитации космологическая постоянная может быть добавлена к де йствию в точно так же.

Космологическая постоянная - не единственный способ получить ускоренное расширение Вселенной в альтернативе общей теории относительности. Мы уже видели, как скалярный потенциал $λ (φ) {\ displaystyle \ lambda (\ varphi) \;}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ varphi) \;}$ может быть добавлен к скалярным тензорным теориям. Это также можно сделать любой другой общей теории относительности, которая содержит скалярное поле $φ {\ displaystyle \ varphi \;}$ ${\ displaystyle \ varphi \;}$ , добавив член $λ (φ) {\ displaystyle \ lambda (\ varphi) \;}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ varphi) \;}$ внутри лагранжиана для гравитационной части действия, $L φ {\ displaystyle L _ {\ varphi} \;}$ ${\ displaystyle L _ {\ varphi} \ ;}$ часть

S = 1 16 π G ∫ d 4 Икс - г L φ + S м {\ Displaystyle S = {1 \ более 16 \ pi G} \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {-g}} \, L _ {\ varphi} + S_ {m} \;}

{\ displaystyle S = {1 \ более 16 \ pi G} \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {-g}} \, L _ {\ varphi} + S_ {m} \;}

Бук $λ (φ) {\ displaystyle \ lambda (\ varphi) \;}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ varphi) \;}$ является произвольной функцией скалярного поля, его можно настроить так, чтобы оно давало ускорение, которое велико в ранней Вселенной и мало в нынешнюю эпоху. Это известно как квинтэссенция.

Подобный метод другой теории в качестве альтернативы общей теории относительности, в которой используются поля, включая теории Растолла и векторно-тензорные теории. Член, пропорциональный

K μ K ν g μ ν {\ displaystyle K ^ {\ mu} K ^ {\ nu} g _ {\ mu \ nu} \;}

K ^ {\ mu} K ^ {\ nu} g _ {\ mu \ nu}} \;

, добавляется к лагранжиану для гравита части действия.

Теории Фарнса

В декабре 2018 года астрофизик Джейми Фарнс из Оксфордского университета применил темную жидкость теория, связанная с представлениями о гравитационно отталкивающих отрицательных массах, которые ранее были представлены Альбертом Эйнштейном. Теория может помочь лучше понять большого количества неизвестной темной материи и темной энергии во вселенной .

. Теория основа концепции отрицательной массы. и повторно ввести тензор создания Фреда Хойла, чтобы заставить создать материю только для частиц с отрицательной массой. Таким образом, частицы с отрицательной массой окружают галактики и оказывают на них давление, напоминая темную материю. Эти предполагаемые частицы взаимно отталкиваются друг от друга, они раздвигаются Вселенную, напоминая темную энергию. Создание материи позволяет плотности постоянной постоянной функции времени, и поэтому выглядит как космологическая постоянная. Уравнения поля Эйнштейна видоизменяются следующим образом:

R μ ν - 1 2 R g μ ν = 8 π G c 4 (T μ ν + + T μ ν - + C μ ν) {\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} Rg _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ left (T _ {\ mu \ nu} ^ {+} + T _ {\ mu \ nu} ^ {-} + C _ {\ mu \ nu} \ right)}

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} Rg _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ left (T _ {\ mu \ nu} ^ {+ } + T _ {\ mu \ nu} ^ {-} + C _ {\ mu \ nu} \ right)}

Согласно бритве Оккама, теория Фарнеса является более простым альтернативой традиционной модели LambdaCDM, поскольку обе темные энергии и темная материя (две гипотезы) решающей с использованием одной жидкости с отрицательной массой (одна гипотеза). Теория будет непосредственно проверена с помощью крупнейшего в мире радиотелескопа Массив квадратных километров, который должен появиться в 2022 году.

Релятивистский МОНД

Первоначальная теория МОНД Милгром был разработан в 1983 году как альтернатива «темной материи». Отклонения от всемирного тяготения Ньютона регулируются шкалой ускорения, а не шкалой расстояний. MOND успешно объясняет наблюдение Талли-Фишера о том, что светимость галактики должна масштабироваться как степень скорости вращения. Это также объясняет, почему разница в карликовых галактиках особенно велика.

Вначале с MOND было несколько проблем.

Он не включает релятивистские эффекты
Он нарушает закон сохранения энергии, энергии и углового момента
Он противоречит тому, что дает разные галактические орбиты для газа и звезд
нем не указывалось, как рассчитать гравитационное линзирование от скоплений галактик.

К 1984 году проблемы 2 и 3 были решены путем введения лагранжиана (AQUAL ). Релятивистская версия этого, основанная на скалярно-тензорной теории, была отвергнута, потому что она позволяетла волнам в скалярном поле распространяться быстрее света. Лагранжиан нерелятивистской формы равенства:

L = - a 0 2 8 π G f [| ∇ φ | 2 a 0 2] - ρ φ {\ displaystyle L = - {a_ {0} ^ {2} \ over 8 \ pi G} f \ left \ lbrack {\ frac {| \ nabla \ varphi | ^ {2}} {a_ {0} ^ {2}}} \ right \ rbrack - \ rho \ varphi}

{\ displaystyle L = - {a_ {0} ^ {2} \ over 8 \ pi G} f \ left \ lbrack {\ frac {| \ nabla \ varphi | ^ {2}} {a_ {0} ^ {2}}} \ right \ rbrack - \ rho \ varphi}

В релятивистской версии этого есть:

L = - a 0 2 8 π G f ~ ( ℓ 0 2 г μ ν ∂ μ φ ∂ ν φ) {\ displaystyle L = - {a_ {0} ^ {2} \ over 8 \ pi G} {\ tilde {f}} \ left (\ ell _ {0 } ^ {2} g ^ {\ mu \ nu} \, \ partial _ {\ mu} \ varphi \, \ partial _ {\ nu} \ varphi \ right)}

{\ displaystyle L = - {a_ {0} ^ {2} \ over 8 \ pi G} {\ tilde {f}} \ left (\ ell _ {0} ^ {2} g ^ {\ mu \ nu} \, \ partial _ {\ mu} \ varphi \, \ partial _ {\ nu} \ varphi \ right)}

с нестандартным массовым воздействием. Здесь $f {\ displaystyle f}$ $f$ и $f ~ {\ displaystyle {\ tilde {f}}}$ ${\ tilde {f}}$ - произвольные функции, выбранные для придания ньютоновскому и MOND поведения в правильные пределы, а $l 0 = c 2 / a 0 {\ displaystyle l_ {0} = c ^ {2} / a_ {0} \;}$ $l_ {0 } = c ^ {2} / a_ {0} \;$ - масштаб длины MOND. В 1988 году второе скалярное поле (PCC) устранило проблемы с более ранней версией скалярного тензора, но вступило в конфликт с прецессией перигелия Меркурия и гравитационным линзированием галактиками и скоплениями. К 1997 году MOND был успешно включен в стратифицированную релятивистскую теорию [Сандерс], но, поскольку это предпочтительная фрейм-теория, у нее есть свои проблемы. Бекенштейн представил тензорно-векторно-скалярную модель (TeVeS). Он имеет два скалярных поля $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ и $σ {\ displaystyle \ sigma \;}$ $\ sigma \;$ и новое поле $U α {\ displaystyle U _ {\ alpha}}$ $U _ {\ alpha}$ . Действие разделено на части для гравитации, скаляров, вектора и массы.

S = S g + S s + S v + S m {\ displaystyle S = S_ {g} + S_ {s} + S_ {v} + S_ {m}}

S = S_g + S_s + S_v + S_m

Гравитационная составляющая такая же как в общей теории относительности.

S s = - 1 2 ∫ [σ 2 h α β φ, α φ, β + 1 2 G ℓ 0 - 2 σ 4 F (k G σ 2)] - gd 4 x S v = - K 32 π G ∫ [g α β g μ ν U [α, μ] U [β, ν] - 2 λ K (g μ ν U μ U ν + 1)] - gd 4 x S m = ∫ L (g ~ μ ν, е α, f | μ α,…) - GD 4 Икс {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} S_ {s} = - {\ frac {1} {2}} \ int \ left [\ sigma ^ {2} h ^ {\ alpha \ beta} \ varphi _ {, \ alpha} \ varphi _ {, \ beta} + {\ frac {1} {2}} G \ ell _ {0} ^ {- 2 } \ sigma ^ {4} F (kG \ sigma ^ {2}) \ right] {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x \\ [5pt] S_ {v} = - {\ frac {K} {32 \ pi G}} \ int \ left [g ^ {\ alpha \ beta} g ^ {\ mu \ nu} U _ {[\ alpha, \ mu]} U _ {[\ beta, \ nu]} - {\ frac {2 \ lambda} {K}} \ left (g ^ {\ mu \ nu} U _ {\ mu} U _ {\ nu} +1 \ right) \ right] {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x \\ [5pt] S_ {m} = \ int L \ left ({\ tilde {g}} _ {\ mu \ nu}, f ^ {\ alpha}, f_ {| \ mu} ^ {\ alpha}, \ ldots \ right) {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено} S_ {s} = - {\ frac {1} {2}} \ int \ left [\ sigma ^ {2} h ^ {\ alpha \ beta } \ varphi _ {, \ alpha} \ varphi _ {, \ beta} + {\ frac {1} {2}} G \ ell _ {0} ^ {- 2} \ sigma ^ {4} F (kG \ sigma ^ {2}) \ right] {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x \\ [5pt] S_ {v} = - {\ frac {K} {32 \ pi G}} \ int \ left [g ^ {\ alpha \ beta} g ^ {\ mu \ nu} U _ {[\ alpha, \ mu]} U _ {[\ beta, \ nu]} - {\ frac {2 \ лямбда} {K}} \ left (g ^ {\ mu \ nu} U _ {\ mu} U _ {\ nu} +1 \ right) \ right] {\ sqrt {-g}} \, d ^ { 4} x \\ [5pt] S_ {m} = \ int L \ left ({\ tilde {g}} _ {\ mu \ nu}, f ^ {\ alpha}, f_ {| \ mu} ^ { \ alpha}, \ ldots \ right) {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x \ end {выровнено}}}

где

час α β знак равно г α β - U α U β {\ Displaystyle h ^ {\ альфа \ бета} = г ^ {\ альфа \ бета} -U ^ {\ альфа} U ^ {\ beta}}

h ^ {\ alpha \ beta} = g ^ {\ alpha \ beta} -U ^ \ альфа U ^ \ бета

г ~ α β = е 2 φ г α β + 2 U α U β зп ⁡ (2 φ) {\ displaystyle {\ tilde {g}} ^ {\ alpha \ beta} = е ^ {2 \ varphi} g ^ {\ alpha \ beta} + 2U ^ {\ alpha} U ^ {\ beta} \ sinh (2 \ varphi) }

{\ displaystyle {\ tilde {g}} ^ {\ alpha \ beta} = e ^ {2 \ varphi} g ^ {\ alpha \ beta} + 2U ^ {\ alpha} U ^ {\ бета} \ sinh (2 \ varphi)}

$k, K {\ displaystyle k, K}$ $k, K$ - константы, квадратные скобки в индексах $U [α, μ] {\ displaystyle U _ {[\ alpha, \ mu]} }$ $U _ {[\ alpha, \ mu]}$ изменит антисимметризацию, $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ - множитель Лагранжа (вычисленный в другом месте), а L - лагранжиан, переведенный из плоского пространства-времени в метрику $г ~ α β {\ displaystyle {\ tilde {g}} ^ {\ alpha \ beta}}$ $\ tilde g ^ {\ alpha \ beta}$ . Обратите внимание, что G не обязательно наблюдаемой гравитационной постоянной $G N e w t o n {\ displaystyle G_ {Newton}}$ $G_ { {Ньютон}}$ . F - произвольная функция, и

F (μ) = 3 4 μ 2 (μ - 2) 2 1 - μ {\ displaystyle F (\ mu) = {\ frac {3} {4}} {\ mu ^ {2} (\ mu -2) ^ {2} \ over 1- \ mu}}

F (\ mu) = \ frac {3} {4} {\ mu ^ 2 (\ mu-2) ^ 2 \ более 1- \ mu}

приведен в качестве примера с правильной асимптотикой; обратите внимание, как он становится неопределенным, когда $μ = 1 {\ displaystyle \ mu = 1}$ $\ mu = 1$

Параметрические постньютоновские параметры этой теории вычисляются в, что показывает, что все ее параметры равны параметрам общей теории относительности, за исключением

α 1 = 4 GK ((2 K - 1) e - 4 φ 0 - e 4 φ 0 + 8) - 8 α 2 = 6 G 2 - K - 2 G (K + 4) e 4 φ 0 (2 - K) 2 - 1 {\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha _ {1} = {\ frac {4G} {K}} \ left ((2K-1) e ^ {- 4 \ varphi _ {0}} - e ^ {4 \ varphi _ {0}} + 8 \ right) -8 \\ [5pt] \ alpha _ {2} = {\ frac {6G} {2-K}} - {\ frac {2G (K + 4) e ^ {4 \ varphi _ {0}}} {(2-K) ^ {2}}} - 1 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha _ {1} = {\ frac {4G} {K}} \ left ((2K-1) e ^ {-4 \ varphi _ { 0}} - e ^ {4 \ varphi _ {0}} + 8 \ right) -8 \\ [5pt] \ alpha _ {2} = {\ frac {6G} {2- K}} - {\ гидроразрыв {2G (K + 4) e ^ {4 \ varphi _ {0}}} {(2-K) ^ {2}}} - 1 \ end {align}}}

оба из которых выражают в геометрических единицах, где $c = GN ewtonian = 1 {\ displaystyle c = G_ {Newtonian} = 1}$ $c = G _ {{Ньютон}} = 1$ ; поэтому

G - 1 = 2 2 - K + k 4 π. {\ displaystyle G ^ {- 1} = {\ frac {2} {2-K}} + {\ frac {k} {4 \ pi}}.}

G ^ {- 1} = \ frac {2} {2-K} + \ frac {k} {4 \ pi}.

Теории Моффата

Дж. У. Моффат разработал несимметричную теорию гравитации. Это не метрическая теория. Сначала было заявлено, что он не содержит горизонта черной дыры, но Бурко и Ори обнаружили, что несимметричная теория гравитации может содержать черные дыры. Позже Моффат утверждал, что его также применяли для объяснения кривых вращения галактик без обращения к «темной материи». Дамур, Дезер и Макарти раскритиковали несимметричную теорию гравитации, заявив, что она имеет неприемлемое асимптотическое поведение.

Математика не сложна, но взаимосвязана, поэтому ниже приводится лишь краткий набросок. Начиная с несимметричного тензора $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \;}$ $g _ {{\ mu \ nu}} \;$ , плотность лагранжиана разбивается на

L = LR + LM {\ displaystyle L = L_ {R} + L_ {M} \;}

L = L_ {R} + L_ {M} \ ;

где $LM {\ displaystyle L_ {M} \;}$ $L_ {M} \;$ то же самое, что и для материи в общей теории относительности.

LR = - г [R (W) - 2 λ - 1 4 μ 2 г μ ν g [μ ν]] - 1 6 г μ ν W μ W ν {\ displaystyle L_ {R} = {\ sqrt {-g}} \ left [R (W) -2 \ lambda - {\ frac {1} {4}} \ mu ^ {2} g ^ {\ mu \ nu} g _ {[\ mu \ nu]} \ right] - {\ frac {1} {6}} g ^ {\ mu \ nu} W _ {\ mu} W _ {\ nu} \;}

L_ {R} = {\ sqrt {-g} } \ left [R (W) -2 \ lambda - {\ frac 14} \ mu ^ {2} g ^ {{\ mu \ nu}} g _ {{[\ mu \ nu]}} \ right] - {\ frac 16} g ^ {{\ mu \ nu}} W _ {\ mu} W _ {\ nu} \;

где $R (W) {\ displaystyle R (W) \;}$ $R (W) \;$ - член кривизны, аналогичный, но не равный кривизне Риччи в общей теории относительности, $λ {\ displaystyle \ lambda \;}$ $\ lambda \;$ и $μ 2 {\ displaystyle \ mu ^ {2} \;}$ $\ mu ^ {2} \;$ - космологические константы, $g [ν μ] {\ displaystyle g _ {[\ nu \ mu]} \;}$ $g _ {{[\ nu \ mu]}} \;$ - антисимметричная часть $g ν μ {\ displaystyle g _ {\ nu \ mu} \;}$ $g _ {{\ nu \ mu}} \;$ . $W μ {\ displaystyle W _ {\ mu} \;}$ $W_ {\ mu} \;$ представляет собой соединение, и его немного сложно объяснить, потому что оно определено рекурсивно. Однако $W μ ≈ - 2 г [μ ν], ν {\ displaystyle W _ {\ mu} \ приблизительно -2g _ {[\ mu \ nu]} ^ {, \ nu} \;}$ $W _ {\ mu} \ приблизительно -2g _ {{[\ mu \ nu]}} ^ {{, \ nu}} \;$

Haugan и Кауфманн использовал поляризационные измерения света, излучаемого галактиками, чтобы наложить резкие ограничения на величину некоторых параметров несимметричной теории гравитации. Они также использовали эксперименты Хьюза-Древера, чтобы ограничить оставшиеся степени свободы. Их ограничение на восемь порядков острее, чем предыдущие оценки.

Теория метрической косой тензорной гравитации Моффата (MSTG) способна предсказывать кривые вращения галактик без темной материи или MOND, и утверждает, что она также может объяснить гравитационное линзирование скоплений галактик без темной материи. У него есть переменная $G {\ displaystyle G \;}$ $G \;$ , возрастающая до окончательного постоянного значения примерно через миллион лет после большого взрыва.

Теория, кажется, содержит асимметричный тензор $A μ ν {\ displaystyle A _ {\ mu \ nu} \;}$ $А _ {{\ mu \ nu}} \;$ поле и ток источника $J μ { \ displaystyle J _ {\ mu} \;}$ $J _ {\ mu} \;$ вектор. Действие разделено на:

S = SG + SF + SFM + SM {\ displaystyle S = S_ {G} + S_ {F} + S_ {FM} + S_ {M} \;}

S = S_ {G} + S_ {F} + S _ {{FM}} + S_ {M} \;

Оба члены гравитации и массы совпадают с членами ОТО с космологической постоянной. Действие телесного поля и взаимодействие материи телесного поля:

SF = ∫ d 4 x - g (1 12 F μ ν ρ F μ ν ρ - 1 4 μ 2 A μ ν A μ ν) {\ displaystyle S_ {F} = \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {-g}} \ left ({\ frac {1} {12}} F _ {\ mu \ nu \ rho} F ^ {\ mu \ nu \ rho} - {\ frac {1} {4}} \ mu ^ {2} A _ {\ mu \ nu} A ^ {\ mu \ nu} \ right) \;}

S_ {F} = \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {-g}} \ left ({\ frac 1 {12}} F _ {{\ mu \ nu \ rho}} F ^ { {\ mu \ nu \ rho}} - {\ frac 14} \ mu ^ {2} A _ {{\ mu \ nu}} A ^ {{\ mu \ nu}} \ right) \;

SFM = ∫ d 4 Икс ϵ α β μ ν A α β ∂ μ J ν {\ Displaystyle S_ {FM} = \ int d ^ {4} x \, \ epsilon ^ {\ alpha \ beta \ mu \ nu} A _ {\ alpha \ beta } \ partial _ {\ mu} J _ {\ nu} \;}

S _ {{FM}} = \ int d ^ {4} x \, \ epsilon ^ {{\ alpha \ beta \ mu \ nu}} A _ {{\ alpha \ beta}} \ частичный _ {\ mu} J _ {\ nu} \;

где

F μ ν ρ = ∂ μ A ν ρ + ∂ ρ A μ ν {\ displaystyle F _ {\ mu \ nu \ rho } = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu \ rho} + \ partial _ {\ rho} A _ {\ mu \ nu}}

F _ {{\ mu \ nu \ rho}} = \ partial _ {\ mu} A _ {{\ nu \ rho}} + \ partial _ {\ rho} A _ {{\ mu \ nu}}

и $ϵ α β μ ν {\ displaystyle \ epsilon ^ {\ alpha \ beta \ mu \ nu} \;}$ $\ epsilon ^ {{\ alpha \ beta \ mu \ nu}} \;$ - это символ Леви-Чивиты. Связь с телом - это связь Паули, она калибровочно инвариантна для любого тока источника. Источник тока выглядит как фермионное поле материи, связанное с барионным и лептонным числами.

Скалярно-тензорно-векторная гравитация

Моффат Скалярно-тензорно-векторная гравитация содержит тензорное, векторное и три скалярных поля. Но уравнения довольно просты. Действие разделено на: $S = SG + SK + SS + SM {\ displaystyle S = S_ {G} + S_ {K} + S_ {S} + S_ {M}}$ ${\ displaystyle S = S_ {G} + S_ {K} + S_ {S} + S_ {M}}$ с термины для гравитации, векторное поле $K μ, {\ displaystyle K _ {\ mu},}$ ${\ displaystyle K _ {\ mu},}$ скалярные поля $G, ω, μ {\ displaystyle G, \ omega, \ mu}$ ${\ displaystyle G, \ omega, \ mu}$ и масс. $S G {\ displaystyle S_ {G}}$ $S_ {G}$ - это стандартный гравитационный термин, за исключением того, что $G {\ displaystyle G}$ $G$ перемещается внутри интеграла.

S K = - ∫ d 4 x - g ω (1 4 B μ ν B μ ν + V (K)), где B μ ν = ∂ μ K ν - ∂ ν K μ. {\ displaystyle S_ {K} = - \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {-g}} \ omega \ left ({\ frac {1} {4}} B _ {\ mu \ nu} B ^ {\ mu \ nu} + V (K) \ right), \ qquad {\ text {where}} \ quad B _ {\ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} K _ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} K _ {\ mu}.}

{\ displaystyle S_ {K} = - \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {-g}} \ omega \ left ({\ frac {1} {4}} B _ {\ mu \ nu} B ^ {\ mu \ nu} + V (K) \ right), \ qquad {\ tex t {где}} \ quad B _ {\ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu } K _ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} K _ {\ mu}.}

SS = - ∫ d 4 x - g 1 G 3 (1 2 g μ ν ∇ μ G ∇ ν G - V (G)) + 1 G (1 2 г μ ν ∇ μ ω ∇ ν ω - V (ω)) + 1 μ 2 G (1 2 г μ ν ∇ μ μ ∇ ν μ - V (μ)). {\ displaystyle S_ {S} = - \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {-g}} {\ frac {1} {G ^ {3}}} \ left ({\ frac {1} {2}} g ^ {\ mu \ nu} \, \ nabla _ {\ mu} G \, \ nabla _ {\ nu} GV (G) \ right) + {\ frac {1} {G}} \ left ({\ frac {1} {2}} g ^ {\ mu \ nu} \, \ nabla _ {\ mu} \ omega \, \ nabla _ {\ nu} \ omega -V (\ omega) \ right) + {1 \ over \ mu ^ {2} G} \ left ({\ frac {1} {2}} g ^ {\ mu \ nu} \, \ nabla _ {\ mu} \ mu \, \ nabla _ {\ nu} \ mu -V (\ mu) \ right).}

{\ displaystyle S_ {S} = - \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {-g}} {\ frac {1} {G ^ {3}}} \ left ({ \ frac {1} {2}} g ^ {\ mu \ nu} \, \ nabla _ {\ mu} G \, \ nabla _ {\ nu} GV (G) \ right) + {\ frac {1} {G}} \ left ({\ frac {1} {2}} g ^ {\ mu \ nu} \, \ nabla _ {\ mu} \ omega \, \ nabla _ {\ nu} \ omega -V ( \ omega) \ right) + {1 \ over \ mu ^ {2} G} \ left ({\ frac {1} {2}} g ^ {\ mu \ nu} \, \ nabla _ {\ mu} \ mu \, \ nabla _ {\ nu} \ mu -V (\ mu) \ right).}

Выбрана потенциальная функция для векторного поля:

V (K) = - 1 2 μ 2 φ μ φ μ - 1 4 г (φ μ φ μ) 2 {\ Displaystyle V (K) = - {\ frac {1} {2}} \ mu ^ {2} \ varphi ^ {\ mu} \ varphi _ {\ mu} - {\ frac {1} {4}} g \ left (\ varphi ^ {\ mu} \ varphi _ {\ mu} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle V (K) = - {\ frac {1} {2}} \ mu ^ {2} \ var phi ^ {\ mu} \ varphi _ {\ mu} - {\ frac {1} {4}} g \ left (\ varphi ^ {\ mu} \ varphi _ {\ mu} \ right) ^ {2}}

где $g {\ displaystyle g}$ $g$ - константа связи. Предполагаемые функции для скалярных потенциалов не указаны.

Бесконечная производная гравитации

Чтобы удалить призраки в модифицированном пропагаторе, а также получить асимптотическую свободу, Бисвас, Мазумдар и Сигел (2005) рассмотрел вдохновленный строкой бесконечный набор членов с высшими производными

S = ∫ d 4 x - g (R 2 + RF (◻) R) {\ displaystyle S = \ int \ mathrm {d} ^ {4 } x {\ sqrt {-g}} \ left ({\ frac {R} {2}} + RF (\ Box) R \ right)}

{\ displaystyle S = \ int \ mathrm {d} ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \ left ({\ frac {R} {2}} + RF ( \ Box) R \ right)}

где $F (◻) {\ displaystyle F ( \ Box)}$ ${\ displaystyle F (\ Box)}$ - экспонента целой функции от оператора Даламбертиана. Это позволяет избежать сингулярности черной дыры около начала координат, одновременно восстанавливая падение 1 / r потенциала общей теории относительности на больших расстояниях. Лусто и Маццителли (1997) нашли точное решение этой теории, представляющее гравитационный удар - волна.

Проверка альтернатив общей теории относительности

Любая предполагаемая альтернатива общей теории относительности должна пройти множество тестов, чтобы стать приемлемой. Для более подробного описания этих тестов см. Misner et al. Ch.39, Will Table 2.1 и Ni. Большинство таких тестов можно разделить на следующие подразделы.

Самосогласованность

Самосогласованность среди неметрических теорий включает устранение теорий, допускающих тахионы, призрачные полюса и полюса более высокого порядка, а также те, которые имеют проблемы с поведением в бесконечность. Среди метрических теорий самосогласованность лучше всего иллюстрируется описанием нескольких теорий, не прошедших этот тест. Классическим примером является теория поля спин-два Фирца и Паули; уравнения поля подразумевают, что гравитирующие тела движутся по прямым линиям, тогда как уравнения движения утверждают, что гравитация отклоняет тела от движения по прямой. Йилмаз (1971) содержит тензорное гравитационное поле, используемое для построения метрики; это математически непоследовательно, поскольку функциональная зависимость метрики от тензорного поля не определена должным образом.

Полнота

Чтобы быть законченной, теория гравитации должна быть способна анализировать результаты каждого интересующего эксперимента. Следовательно, он должен быть связан с электромагнетизмом и всей другой физикой. Например, любая теория, которая не может предсказать из первых принципов движение планет или поведение атомных часов, является неполной.

Многие ранние теории являются неполными в том смысле, что неясно, должна ли плотность $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , используемая теорией, рассчитываться на основе тензора энергии-импульса $T {\ displaystyle T}$ $T$ as $ρ = T μ ν u μ u ν {\ displaystyle \ rho = T _ {\ mu \ nu} u ^ {\ mu} u ^ {\ nu }}$ $\ rho = T _ {{\ mu \ nu}} u ^ {\ mu} u ^ {\ nu}$ или как $ρ = T μ ν δ μ ν {\ displaystyle \ rho = T _ {\ mu \ nu} \ delta ^ {\ mu \ nu}}$ $\ rho = T _ {{\ mu \ nu}} \ delta ^ {{\ mu \ nu}}$ , где $u {\ displaystyle u}$ $и$ - это четырехскоростной, а $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ - Дельта Кронекера. Теории Тирри (1948) и Джордана являются неполными, если для параметра Джордана $η {\ displaystyle \ eta \;}$ $\ eta \;$ установлено значение -1, и в этом случае они соответствуют теории Бранса-Дикке и так что заслуживают дальнейшего рассмотрения. Милн неполный, потому что он не дает предсказания гравитационного красного смещения. Теории Уитроу и Мордуха, Кустаанхеймо, Кустаанхеймо и Нуотио либо неполны, либо противоречивы. Включение уравнений Максвелла является неполным, если не предполагается, что они наложены на плоский фон пространства-времени, и когда это сделано, они несовместимы, потому что они предсказывают нулевое гравитационное красное смещение, когда используется волновая версия света (теория Максвелла)., и ненулевое красное смещение, когда используется версия частицы (фотон). Другой более очевидный пример - ньютоновская гравитация с уравнениями Максвелла; свет как фотоны отклоняется гравитационными полями (вдвое меньше общей теории относительности), а свет как волны - нет.

Классические тесты

Есть три «классических» теста (датируемых 1910-ми годами или ранее) способности теорий гравитации справляться с релятивистскими эффектами; это гравитационное красное смещение, гравитационное линзирование (обычно проверяется вокруг Солнца) и аномальное смещение перигелия планет. Каждая теория должна воспроизводить наблюдаемые результаты в этих областях, которые до настоящего времени всегда согласовывались с предсказаниями общей теории относительности. В 1964 году Ирвин И. Шапиро обнаружил четвертый тест, названный задержкой Шапиро. Его также обычно считают «классическим» тестом.

Согласие с ньютоновской механикой и специальной теорией относительности

В качестве примера несогласия с ньютоновскими экспериментами теория Биркгофа довольно надежно предсказывает релятивистские эффекты, но требует, чтобы звуковые волны распространялись со скоростью света. Это было следствием предположения, сделанного для упрощения обработки столкновения масс.

Принцип эквивалентности Эйнштейна

Принцип эквивалентности Эйнштейна состоит из трех компонентов. Первый - это уникальность свободного падения, также известная как принцип слабой эквивалентности. Это выполняется, если инертная масса равна гравитационной массе. η - параметр, используемый для проверки максимально допустимого нарушения принципа слабой эквивалентности. Первые испытания принципа слабой эквивалентности были проведены Этвешем до 1900 г. и ограничили η значением менее 5 × 10. Современные тесты уменьшили это значение до менее 5 × 10. Второй - лоренц-инвариантность. В отсутствие гравитационных эффектов скорость света постоянна. Тестовый параметр для этого - δ. Первые тесты на лоренц-инвариантность были выполнены Майкельсоном и Морли до 1890 г. и ограничили δ до значения менее 5 × 10. Современные тесты уменьшили это значение до менее чем 1 × 10. Третий - это локальная позиционная инвариантность, которая включает пространственную и временную инвариантность. Результат любого локального негравитационного эксперимента не зависит от того, где и когда он проводится. Инвариантность пространственного локального положения проверяется с помощью измерений гравитационного красного смещения. Тестовый параметр для этого - α. Верхние пределы этого значения, обнаруженные Паундом и Ребкой в 1960 г., ограничивают значение α менее 0,1. Современные тесты уменьшили это значение до менее чем 1 × 10.

Гипотеза Шиффа утверждает, что любая полная самосогласованная теория гравитации, которая воплощает принцип слабой эквивалентности, обязательно воплощает принцип эквивалентности Эйнштейна. Это, вероятно, будет правдой, если в теории есть полное сохранение энергии. Метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. Этому удовлетворяет очень мало неметрических теорий. Например, неметрическая теория Белинфанте и Свихарта устраняется формализмом THεμ для проверки принципа эквивалентности Эйнштейна. Gauge theory gravity is a notable exception, where the strong equivalence principle is essentially the minimal coupling of the gauge covariant производная.

Параметрический постньютоновский формализм

См. также Тесты общей теории относительности, Misner et al. и Will для получения дополнительной информации.

Работа по разработке стандартизированного, а не специального набора тестов для оценки альтернативных моделей гравитации началась с Эддингтона в 1922 году и привела к стандартному набору параметрических постньютоновских чисел в Нордтведте, Уилле и Уилле и Нордтведте. Каждый параметр измеряет разные аспекты того, насколько теория отклоняется от ньютоновской гравитации. Поскольку здесь мы говорим об отклонении от теории Ньютона, они измеряют только эффекты слабого поля. Эффекты сильных гравитационных полей будут рассмотрены позже.

Вот эти десять: $γ, β, η, α 1, α 2, α 3, ζ 1, ζ 2, ζ 3, ζ 4. {\ displaystyle \ gamma, \ beta, \ eta, \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ alpha _ {3}, \ zeta _ {1}, \ zeta _ {2}, \ zeta _ {3}, \ zeta _ {4}.}$ ${\ displaystyle \ gamma, \ beta, \ eta, \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ alpha _ {3}, \ zeta _ {1}, \ zeta _ {2}, \ zeta _ {3}, \ zeta _ {4}.}$

$γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ - мера кривизны пространства, равная нулю для ньютоновской гравитации и единице для общей теории относительности.
$β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ - это показатель нелинейности в добавлении гравитационных полей, один для общей теории относительности.
$η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ - проверка предпочтительного эффекты местоположения.
$α 1, α 2, α 3 {\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ alpha _ {3}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ alpha _ {3}}$ измерить степень и характер «эффекты предпочтительного кадра». Любая теория гравитации, в которой хотя бы один из трех отличен от нуля, называется теорией предпочтительной системы отсчета.
$ζ 1, ζ 2, ζ 3, ζ 4, α 3 {\ displaystyle \ zeta _ {1}, \ zeta _ {2}, \ zeta _ {3}, \ zeta _ {4}, \ alpha _ {3}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {1}, \ zeta _ {2}, \ zeta _ {3}, \ zeta _ {4}, \ alpha _ {3}}$ измеряют степень и характер нарушений в глобальных законах сохранения. Теория гравитации обладает 4 законами сохранения для энергии-импульса и 6 для углового момента, только если все пять равны нулю.

Сильная гравитация и гравитационные волны

Параметрические постньютоновские законы - это всего лишь мера эффектов слабого поля. Эффекты сильной гравитации можно увидеть в компактных объектах, таких как белые карлики, нейтронные звезды и черные дыры. Экспериментальные тесты, такие как стабильность белых карликов, скорость замедления вращения пульсаров, орбиты двойных пульсаров и существование горизонта черной дыры, могут быть использованы в качестве альтернативных тестов общей теории относительности. Общая теория относительности предсказывает, что гравитационные волны распространяются со скоростью света. Многие альтернативы общей теории относительности говорят, что гравитационные волны распространяются быстрее света, что, возможно, нарушает причинно-следственную связь. После обнаружения слияния нейтронных звезд GW170817 с помощью нескольких сообщений, когда световые и гравитационные волны движутся с одинаковой скоростью с ошибкой 1/10, многие из этих модифицированных теорий гравитации были исключены.

Космологические тесты

Многие из них были разработаны недавно. Для тех теорий, которые стремятся заменить темную материю, кривую вращения галактики, соотношение Талли-Фишера, более высокую скорость вращения карликовых галактик и гравитационное линзирование из-за скоплений галактик действует как ограничение. Для теорий, которые стремятся заменить инфляцию, размер ряби в спектре космического микроволнового фонового излучения является самым строгим тестом. Для теорий, которые включают или стремятся заменить темную энергию, результаты яркости сверхновой и возраст Вселенной могут использоваться в качестве тестов. Еще одно испытание - это плоскостность Вселенной. В общей теории относительности комбинация барионной материи, темной материи и темной энергии в сумме делает Вселенную абсолютно плоской. По мере повышения точности экспериментальных тестов альтернативы общей теории относительности, призванные заменить темную материю или темную энергию, должны будут объяснить, почему.

Результаты проверки теорий

Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий

(Подробнее см. Уилл и Ни. Миснер и др. Приводят таблицу для перевода параметры от обозначения Ni до обозначения Уилла)

Общей теории относительности сейчас более 100 лет, и в течение которых одна альтернативная теория гравитации за другой не могла согласиться с все более точными наблюдениями. Одним из наглядных примеров является параметризованный постньютоновский формализм. В следующей таблице перечислены параметрические постньютоновские значения для большого количества теорий. Если значение в ячейке совпадает со значением в заголовке столбца, то полная формула слишком сложна для включения в нее.

	$γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$	$β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$	$ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$	$α 1 {\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ $\ alpha _ {1}$	$α 2 {\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alpha _ {2}$	$α 3 {\ displaystyle \ alpha _ {3}}$ $\ alpha _ {3}$	$ζ 1 {\ displayst yle \ zeta _ {1}}$ $\ zeta _ {1}$	$ζ 2 {\ displaystyle \ zeta _ {2}}$ $\ zeta _ {2}$	$ζ 3 {\ displaystyle \ zeta _ {3}}$ $\ zeta _ {3 }$	$ζ 4 {\ displaystyle \ zeta _ {4}}$ $\ zeta _ {4}$
Общая теория относительности Эйнштейна	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
Скалярно-тензорные теории
Бергманн, Ваггонер	$1 + ω 2 + ω {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1+ \ omega} {2+ \ omega}}}$ $\ textstyle {\ frac {1+ \ omega} {2+ \ omega}}$	$β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
Нордтведт, Бекенштейн	$1 + ω 2 + ω {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1+ \ omega} {2+ \ omega}}}$ $\ textstyle {\ frac {1+ \ omega} {2+ \ omega}}$	$β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
Бранс - Дик	$1 + ω 2 + ω {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1+ \ omega} {2+ \ omega}}}$ $\ textstyle {\ frac {1+ \ omega} {2+ \ omega}}$	1	0	0	0	0	0	0	0	0
Векторно-тензорные теории
Хеллингс-Нордтведт	$γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$	$β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$	0	$α 1 {\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ $\ alpha _ {1}$	$α 2 {\ displaystyle \ альфа _ {2}}$ $\ alpha _ {2}$	0	0	0	0	0
Уилл-Нордтведт	1	1	0	0	$α 2 {\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alpha _ {2}$	0	0	0	0	0
Биметрические теории
Розен	1	1	0	0	$c 0 / c 1-1 {\ displaystyle c_ {0} / c_ {1} -1}$ $c_ {0} / c_ {1} -1$	0	0	0	0	0
Растолл	1	1	0	0	$α 2 {\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alpha _ {2}$	0	0	0	0	0
Лайтман - Ли	$γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$	$β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$	0	$α 1 {\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ $\ alpha _ {1}$	$α 2 {\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alpha _ {2}$	0	0	0	0	0
Стратифицированные теории
Ли-Лайтман-Ни	$ac 0 / c 1 {\ displaystyle ac_ {0} / c_ {1}}$ $ac_ {0} / c_ {1}$	$β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$	$ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$	$α 1 {\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ $\ alpha _ {1}$	$α 2 {\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alpha _ {2}$	0	0	0	0	0
Ni	$ac 0 / c 1 {\ displaystyle ac_ {0} / c_ {1}}$ $ac_ {0} / c_ {1}$	$bc 0 {\ displaystyle bc_ {0}}$ $bc_ {0}$	0	$α 1 {\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ $\ alpha _ {1}$	$α 2 {\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alpha _ {2}$	0	0	0	0	0
Теории скалярного поля
Эйнштейн (1912) {Не общий теория относительности}	0	0		-4	0	-2	0	-1	0	0 †
Уитроу –Мордуч	0	-1		-4	0	0	0	−3	0	0 †
Розен	$λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$	$3 4 + λ 4 {\ displaystyle \ textstyle {\ fr ac {3} {4}} + \ textstyle {\ frac {\ lambda} {4}}}$ $\ textstyle {\ frac {3} {4}} + \ textstyle {\ frac {\ lambda} {4}}$		$- 4-4 λ {\ displaystyle -4-4 \ lambda}$ $-4-4 \ lambda$	0	-4	0	-1	0	0
Папетру	1	1		-8	-4	0	0	2	0	0
Ni ( стратифицированный)	1	1		-8	0	0	0	2	0	0
Йилмаз (1962)	1	1		-8	0	-4	0	-2	0	-1 †
Пейдж-Таппер	$γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$	$β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$		$- 4–4 γ { \ displaystyle -4-4 \ gamma}$ $-4-4 \ gamma$	0	$- 2-2 γ {\ displaystyle -2-2 \ gamma}$ $-2-2 \ gamma$	0	$ζ 2 {\ displaystyle \ zeta _ {2}}$ $\ zeta _ {2}$	0	$ζ 4 {\ displaystyle \ zeta _ {4}}$ $\ zeta _ {{4}}$
Нордстрём	$- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$	$1 2 {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2}}}$ $\ textstyle {\ frac 12}$		0	0	0	0	0	0	0 †
Нордстрем, Эйнштейн-Фоккер	$- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$	$1 2 {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2}}}$ $\ textstyle {\ frac 12}$		0	0	0	0	0	0	0
Ni (плоский)	$- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$	$1 - q {\ displaystyle 1-q}$ $1-q$		0	0	0	0	$ζ 2 {\ displaystyle \ zeta _ {2}}$ $\ zeta _ {2}$	0	0 †
Whitrow - Morduch	$- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$	$1 - q {\ displaystyle 1-q}$ $1-q$		0	0	0	0	q	0	0 †
Литтлвуд, Бергман	$- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$	$1 2 {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2}}}$ $\ textstyle {\ frac 12}$		0	0	0	0	-1	0	0 †

† Теория непол на, и $ζ 4 {\ displaystyle \ zeta _ {4}}$ $\ zeta _ {{4}}$ может принимать одно из двух значений. Отображается значение, наиболее близкое к нулю.

Все экспериментальные тесты пока согласуются с общей теорией относительности, и поэтому параметрический постньютоновский анализ исключает все теории скалярного поля в таблице. Полный список параметров постньютоновских параметров недоступен для Уайтхеда, Дезера-Лорана, Боллини-Джамбиаджи-Тиомино, но в этих трех случаях $β = ξ {\ displaystyle \ beta = \ xi}$ $\ beta = \ xi$ , что сильно противоречит общей теории относительности и экспериментальным результатам. В частности, эти теории предсказывают неправильные амплитуды земных приливов. (Небольшая модификация теории Уайтхеда позволяет избежать этой проблемы. Однако эта модификация предсказывает эффект Нордтведта, который был экспериментально ограничен.)

Теории, не прошедшие другие тесты

Стратифицированные теории Ни, Ли Лайтмана и Ни не могут быть начаты, потому что все они не могут быть объяснены продвижением перигелия Меркурия. Биметрические теории Лайтмана и Ли, Розена и Расталла не проходят некоторые проверки, связанные с сильными гравитационными полями. Теории скалярного тензора включают общую теорию относительности как частный случай, но согласуются с параметрическими постньютоновскими значениями общей теории относительности только тогда, когда они равны общей теории относительности с точностью до экспериментальной ошибки. По мере того как экспериментальные тесты становятся более точными, отклонение скалярно-тензорных теорий от общей теории относительности сводится к нулю. То же самое и с векторно-тензорными теориями: отклонение векторно-тензорных теорией от общей теории относительности сведено к нулю. Кроме того, векторно-тензорные теории полуконсервативны; они имеют ненулевое значение для $α 2 {\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alpha _ {2}$ , которое может иметь измеримое влияние на земные приливы. Неметрические теории, такие как Белинфанте и Свихарт, обычно не проверяются с экспериментальными проверками принципа эквивалентности Эйнштейна. И это не оставляет в качестве вероятной действительной альтернативы общей теории относительности ничего, кроме, возможно, Картана. Так было до тех пор, пока космологические открытия не подтолкнули к развитию современных альтернатив.

Сноски

Ссылки