Почти непересекающиеся множества

редактировать

В математике два множества почти не пересекаются, если их пересечение в каком-то смысле мало; разные определения «малого» приведут к разным определениям «почти непересекающегося».

Определение

Наиболее распространенный вариант - принять "маленький" за конечный. В этом случае два множества почти не пересекаются, если их пересечение конечно, т.е. если

| A ∩ B | < ∞. {\displaystyle \left|A\cap B\right|<\infty.}\ left | A \ cap B \ right | <\ infty.

(Здесь '| X |' обозначает мощность X, а '< ∞' means 'finite'.) For example, the closed intervals [0, 1] and [1, 2] are almost disjoint, because their intersection is the finite set {1}. However, the unit interval [0, 1] and the set of rational numbers Q почти не пересекаются, поскольку их пересечение бесконечно.

Это определение распространяется на любой набор наборов. Набор наборов попарно почти не пересекается или почти не пересекается, если любые два различных набора в коллекции почти не пересекаются. Часто префикс «попарно» отбрасывается, и попарно почти непересекающийся набор называется просто «почти непересекающимся».

Формально, пусть I будет индексным набором, и для каждого i в I пусть A i - множество. Тогда набор множеств {A i : i in I} почти не пересекается, если для любых i и j в I

A i ≠ A j ⇒ | A i ∩ A j | < ∞. {\displaystyle A_{i}\neq A_{j}\quad \Rightarrow \quad \left|A_{i}\cap A_{j}\right|<\infty.}A_ {i} \ neq A_ {j} \ quad \ Rightarrow \ quad \ left | A_ {i} \ cap A_ {j} \ right | <\ infty.

Например, набор всех линий, проходящих через начало координат в R, почти не пересекается, потому что любые две из них пересекаются только в начале координат. Если {A i } равно почти непересекающийся набор, состоящий из более чем одного набора, то очевидно, что его пересечение конечно:

⋂ i ∈ IA i < ∞. {\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}<\infty.}\ bigcap _ {{i \ in I}} A_ {i} <\ infty.

Однако обратное неверно - t пересечение коллекции

{{1, 2, 3,…}, {2, 3, 4,…}, {3, 4, 5,…},…} {\ displaystyle \ {\ {1, 2,3, \ ldots \}, \ {2,3,4, \ ldots \}, \ {3,4,5, \ ldots \}, \ ldots \}}\ {\ {1,2,3, \ ldots \}, \ {2,3,4, \ ldots \}, \ {3,4,5, \ ldots \}, \ ldots \}

пусто, но коллекция почти не пересекаются; на самом деле пересечение любых двух различных множеств в этом наборе бесконечно.

Возможные мощности максимального почти непересекающегося семейства на множестве ω {\ displaystyle \ omega}\ omega натуральных чисел были объектом интенсивных исследование. Минимальный бесконечный такой кардинал является одной из классических Кардинальных характеристик континуума.

Другие значения

Иногда «почти непересекающийся» используется в каком-то другом смысле или в смысле меры теория или топологическая категория. Вот несколько альтернативных определений «почти непересекающихся», которые иногда используются (аналогичные определения применимы к бесконечным коллекциям):

  • Пусть κ будет любым кардинальным числом. Тогда два множества A и B почти не пересекаются, если мощность их пересечения меньше κ, т.е. если
| A ∩ B | < κ. {\displaystyle \left|A\cap B\right|<\kappa.}\ left | A \ cap B \ right | <\ kappa.
Случай κ = 1 - это просто определение непересекающихся множеств ; случай
κ = ℵ 0 {\ displaystyle \ kappa = \ aleph _ {0}}\ kappa = \ aleph _ {0}
- это просто определение почти непересекающегося, данное выше, где пересечение A и B конечно.
  • Пусть m - полная мера на пространстве с мерой X. Тогда два подмножества A и B в X почти не пересекаются, если их пересечение является нулевым множеством, т.е. если
m (A ∩ B) = 0. {\ displaystyle m (A \ cap B) = 0.}m (A \ cap B) = 0.
Ссылки
Последняя правка сделана 2021-06-11 01:39:15
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте