Алгебраическая статистика - это использование алгебры для продвижения статистики. Алгебра была полезна для плана эксперимента, оценки параметров и проверки гипотез.
Традиционно алгебраическая статистика была связана с планом экспериментов и многомерным анализом (особенно временной ряд ). В последние годы термин «алгебраическая статистика» иногда ограничивался, иногда использовался для обозначения использования алгебраической геометрии и коммутативной алгебры в статистике.
В прошлом статистики использовал алгебру для продвижения исследований в области статистики. Некоторая алгебраическая статистика привела к развитию новых тем в алгебре и комбинаторике, таких как схемы ассоциаций.
Например, Рональд А. Фишер, Генри Б. Манн и Розмари А. Бейли применили абелевы группы к плану экспериментов. Экспериментальные планы были также изучены с аффинной геометрией над конечными полями, а затем с введением схем ассоциации R. К. Боз. Ортогональные массивы были введены C. Р. Рао также за экспериментальные разработки.
Инвариантные меры на локально компактных группах давно используются в статистической теории, особенно в многомерной анализ. Теорема факторизации Беллинга и большая часть работ по (абстрактному) гармоническому анализу были направлены на лучшее понимание разложения Волда из стационарных случайных процессов, что важно в статистике временных рядов.
Объединив предыдущие результаты теории вероятностей для алгебраических структур, Ульф Гренандер разработал теорию «абстрактного вывода». Абстрактный вывод Гренандера и его теория паттернов полезны для пространственной статистики и анализа изображений ; эти теории основаны на теории решеток.
Частично упорядоченные векторные пространства и векторные решетки используются в статистической теории. Гаррет Биркгоф метризовал положительный конус, используя проективную метрику Гильберта, и доказал теорему Йенча, используя теорему сжимающего отображения . Результаты Биркгофа были использованы для оценки максимальной энтропии (что можно рассматривать как линейное программирование в бесконечных измерениях ) Джонатаном Борвейн и его коллеги.
Векторные решетки и конические меры были введены в теорию статистических решений Люсьеном Ле Камом.
В последние годы термин «алгебраическая статистика» стал использоваться более ограниченно, чтобы обозначить использование алгебраической геометрии и коммутативной алгебры для изучения проблем, связанных с дискретными случайные величины с пространствами конечных состояний. Коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия находят применение в статистике, потому что многие обычно используемые классы дискретных случайных величин можно рассматривать как алгебраические разновидности.
Рассмотрим случайную величину X, которая может принимать значения 0, 1, 2. Такая переменная полностью характеризуется тремя вероятностями
и эти числа удовлетворяют
И наоборот, любые три таких числа однозначно определяют случайная величина, поэтому мы можем идентифицировать случайную величину X с кортежем (p 0,p1,p2)∈R.
Теперь предположим, что X является биномиальной случайной величиной с параметром q и n = 2, т.е. X представляет количество успехов, когда повторение определенного эксперимента два раза, причем каждый эксперимент имеет индивидуальную вероятность успеха q. Тогда
и нетрудно показать, что кортежи (p 0,p1,p2), которые возникают таким образом, в точности удовлетворяют
Последнее является полиномиальным уравнением, определяющим алгебраическое многообразие (или поверхность) в R, и это многообразие, когда оно пересекается с симплексом , заданным как
дает кусок алгебраической кривой, который может быть отождествлен с набором всех переменных Бернулли с 3 состояниями. Определение параметра q сводится к нахождению одной точки на этой кривой; проверка гипотезы о том, что данная переменная X является Бернулли, сводится к проверке того, лежит ли определенная точка на этой кривой или нет.
Алгебраическая геометрия также недавно нашла применения в теории статистического обучения, включая обобщение Информационный критерий Акаике от до сингулярных статистических моделей.