Компактный элемент

В математической области теории порядка компактный элементы или конечные элементы из частично упорядоченного набора - это те элементы, которые не могут быть включены в верхнюю грань любого непустого направленный набор, который еще не содержит членов выше компактного элемента. Это понятие компактности одновременно обобщает понятия конечных множеств в теории множеств, компактных множеств в топологии и конечно порожденных модули в алгебре. (В математике есть и другие понятия компактности.)

Содержание

• 1 Формальное определение
• 2 Примеры
• 3 Алгебраические позы
• 4 Приложения
• 5 Литература

Формальное определение

В частично упорядоченном множестве (P, ≤) элемент c называется компактным (или конечным), если он удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• Для каждого направленного подмножества D из P, если D имеет супремум sup D и c ≤ sup D, то c ≤ d для некоторого элемента d из D.
• Для любого идеала I из P, если I имеет супремум sup I и c ≤ sup I, тогда c является элементом I.

Если ч.у.м. P дополнительно является полурешёткой соединения (т. е. если он имеет двоичную супремум), то эти условия являются эквивалентно следующему утверждению:

• Для каждого подмножества S из P, если S имеет супремум sup S и c ≤ sup S, то c ≤ sup T для некоторого конечного подмножества T из S.

В частности, если c = sup S, то c - верхняя грань конечного подмножества S.

Эти эквивалентности легко проверяются из определений понятий i участие. В случае полурешетки соединения любое множество можно превратить в направленное множество с той же супремумом, замкнувшись под конечной (непустой) супремумом.

При рассмотрении направленных полных частичных порядков или полных решеток дополнительные требования о том, что указанная верхняя граница существует, конечно, могут быть отброшены. Направленная полная полурешетка соединения является почти полной решеткой (возможно, без наименьшего элемента ) - подробности см. В полноте (теория порядка).

Примеры

• Самый простой пример получается путем рассмотрения набора мощности некоторого набора A, упорядоченного по включению подмножества. Внутри этой полной решетки компактные элементы являются в точности конечными подмножествами A. Это оправдывает название «конечный элемент».
• Термин «компактный» объясняется рассмотрением полных решеток открытые наборы некоторого топологического пространства T, также упорядоченные по включению подмножества. Внутри этого порядка компактные элементы - это просто компактные подмножества в T. Действительно, условие компактности в соединениях-полурешетках немедленно переводится в соответствующее определение.
• Если оно существует, наименьший элемент из набора всегда компактен. Возможно, это единственный компактный элемент, как показывает пример реального единичного интервала [0,1] (со стандартным порядком, унаследованным от действительных чисел).

Алгебраические множества

ЧУМ, в котором каждый элемент является супремумом компактных элементов ниже него, называется алгебраическим чумом. Такие множества, которые являются dcpos, часто используются в теории областей.

В качестве важного частного случая алгебраическая решетка является полной решеткой L, так что каждый элемент x из L - супремум компактных элементов ниже x.

Типичный пример (который послужил мотивом для названия «алгебраический») следующий:

Для любой алгебры A (например, группы, кольца, поля, решетки и т. д.; или даже просто набор без каких-либо операций), пусть Sub (A) будет набором всех подструктур A, т. е. всех подмножеств A, которые замкнуты относительно всех операций A (сложение группы, сложение кольца и умножение и т. д.). Здесь понятие подструктуры включает пустую подструктуру в случае, если алгебра A не имеет нулевых операций.

Тогда:

• Множество Sub (A), упорядоченное по включению множества, является решеткой.
• Наибольшим элементом Sub (A) является само множество A.
• Для любых S, T в Sub (A) точная нижняя граница S и T является теоретико-множественным пересечением S и T; наименьшая верхняя граница - это подалгебра, порожденная объединением S и T.
• Множество Sub (A) является даже полной решеткой. Точная нижняя граница любого семейства подструктур - это их пересечение (или A, если семейство пусто).
• Компактные элементы Sub (A) - это в точности конечно порожденные подструктуры A.
• Каждая подструктура является объединением своих конечно порожденных подструктур; следовательно, Sub (A) является алгебраической решеткой.

Также имеет место своего рода обратное: каждая алгебраическая решетка изоморфна Sub (A) для некоторой алгебры A.

Существует еще одна алгебраическая решетка, которая играет важная роль в универсальной алгебре : для каждой алгебры A пусть Con (A) будет множеством всех конгруэнтных отношений на A. Каждая конгруэнция на A является подалгеброй алгебры произведения AxA, поэтому Con (A) ⊆ Sub (AxA). Снова у нас есть

• Con (A), упорядоченный по включению множества, является решеткой.
• Наибольший элемент Con (A) - это множество AxA, которое является конгруэнцией, соответствующей постоянному гомоморфизму. Наименьшее сравнение - это диагональ AxA, соответствующая изоморфизмам.
• Con (A) - полная решетка.
• Компактные элементы Con (A) - это в точности конечно порожденные конгруэнции.
• Con (A) является алгебраической решеткой.

Снова имеет место обратное: по теореме Джорджа Гретцера и Е.Т. Шмидта любая алгебраическая решетка изоморфна Con (A) для некоторая алгебра A.

Приложения

Компактные элементы важны в информатике в семантическом подходе, называемом теория предметной области, где они рассматриваются как вид примитивного элемента: информация, представленная компактными элементами, не может быть получена никаким приближением, которое еще не содержит этого знания. Компактные элементы нельзя аппроксимировать элементами, находящимися строго под ними. С другой стороны, может случиться так, что все некомпактные элементы могут быть получены как направленные супремы компактных элементов. Это желательная ситуация, поскольку набор компактных элементов часто меньше, чем исходный poset - примеры выше иллюстрируют это.

Литература

См. Литературу по теории порядка и теории домена.