Код Гоппа

В математика, алгебро-геометрический код (AG-код ), иначе известный как код Гоппа, является общим типом линейного код, построенный с использованием алгебраической кривой $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$над конечным полем $F\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\}\}$. Такие коды ввел Валерий Денисович Гоппа. В частных случаях они могут быть интересными. Их не следует путать с двоичными кодами Гоппа, которые используются, например, в криптосистеме Мак-Элиса.

• 1 Конструкция
• 2 Функциональный код
• 3 Остаточный код
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Традиционно AG-код строится из несингулярной проективной кривой Xнад конечное поле $F\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\}\}$с использованием ряда фиксированных различных $F\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\}\; \}$-рациональные точки на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}$:

$P:\; =\; \{P\; 1,\dots ,\; P\; n\}\; \subset \; X\; (F\; q).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}:\; =\; \backslash \; \{P\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; P\_\; \{n\}\; \backslash \}\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; (\backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\}).\}$

Пусть $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$будет делителем на X с опорой , состоящей только из рациональных точек. и это не пересекается с $P\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{i\}\}$. Таким образом, $P\; \cap \; supp\; \; (G)\; =\; \varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \backslash \; cap\; \backslash \; operatorname\; \{supp\}\; (G)\; =\; \backslash \; varnothing\}$

По теореме Римана – Роха существует уникальное конечномерное векторное пространство, $L\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (G)\}$, относительно делителя $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$. Векторное пространство является подпространством функционального поля из X.

. Есть два основных типа AG-кодов, которые могут быть построены с использованием вышеуказанной информации.

Код функции (или двойной код ) относительно кривой X, делитель $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$и набор $P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\}$строятся следующим образом.

Пусть $D\; =\; P\; 1\; +\; \cdots \; +\; P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; P\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; P\_\; \{n\}\}$, будет делителем с $P\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{i\}\}$определено, как указано выше. Обычно мы обозначаем код Гоппы C(D,G). Теперь мы знаем все, что нам нужно для определения кода Гоппы:

$C\; (D,\; G)\; =\; \{(f\; (P\; 1),\dots ,\; f\; (P\; n)):\; f\; \in \; L\; (G)\}\; \subset \; F\; qn\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; С\; (D,\; G)\; =\; \backslash \; влево\; \backslash \; \{\backslash \; влево\; (е\; (P\_\; \{1\}),\; \backslash \; ldots,\; f\; (P\_\; \{n\})\; \backslash \; вправо)\; \backslash :\; \backslash \; е\; \backslash \; в\; L\; (G)\; \backslash \; вправо\; \backslash \; \}\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\}\; ^\; \{n\}\}$

Для фиксированного базиса $f\; 1,\dots ,\; fk\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{k\}\}$для L (G) над $F\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\}\}$, соответствующий код Гоппа в $F\; qn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\}\; ^\; \{n\}\}$растянуто на $F\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_\; \{q\}\}$векторами

$(fi\; (P\; 1),\dots ,\; fi\; (P\; n))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (f\_\; \{i\}\; (P\_\; \{1\}),\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{i\}\; (P\_\; \{n\})\; \backslash \; right)\; \}$

Следовательно,

$[f\; 1\; (P\; 1)\; \cdots \; f\; 1\; (P\; n)\; ⋮\; ⋮\; fk\; (P\; 1)\; \cdots \; fk\; (P\; n)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; f\_\; \{1\}\; (P\_\; \{1\})\; \backslash \; cdots\; f\_\; \{1\}\; (P\_\; \{n\})\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; f\_\; \{k\}\; (P\_\; \{1\})\; \backslash \; cdots\; f\_\; \{k\}\; (P\_\; \{n\})\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

- порождающая матрица для $C\; (D,\; G).\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (D,\; G).\}$

Эквивалентно, он определяется как изображение

$\{\alpha :\; L\; (G)\; \to \; F\; nf\; \mapsto \; (f\; (P\; 1),\dots ,\; f\; (P\; n))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; \backslash \; alpha:\; L\; (G)\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \backslash \; f\; \backslash \; mapsto\; (f\; (P\_\; \{1\}),\; \backslash \; ldots,\; f\; (P\_\; \{\; n\}))\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Ниже показано, как параметры кода соотносятся с классическими параметрами линейных систем делителей D на C (см. Riemann – Roch теорема подробнее). Обозначение ℓ (D) означает размерность L (D).

Предложение A. Размерность кода Гоппа $C\; (D,\; G)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (D,\; G)\}$равна $k\; =\; \ell \; (G)\; -\; \ell \; (G\; -\; D).\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; \backslash \; ell\; (G)\; -\; \backslash \; ell\; (GD).\}$

Доказательство. Поскольку $C\; (D,\; G)\; \cong \; L\; (G)\; /\; ker\; \; (\alpha ),\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (D,\; G)\; \backslash \; cong\; L\; (G)\; /\; \backslash \; ker\; (\backslash \; alpha),\}$мы должны показать, что

$ker\; \; (\alpha )\; =\; L\; (G\; -\; D).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ker\; (\backslash \; alpha)\; =\; L\; (GD).\}$

Пусть $f\; \in \; ker\; \; (\alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; \backslash \; ker\; (\backslash \; alpha)\}$тогда $е\; (п\; 1)\; =\; \cdots \; =\; е\; (п\; п)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (P\_\; \{1\})\; =\; \backslash \; cdots\; =\; f\; (P\_\; \{n\})\; =\; 0\}$так что $div\; \; (f)>D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; (f)>D\}$. Таким образом, $f\; \in \; L\; (G\; -\; D).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; L\; (GD).\}$И наоборот, предположим, что $f\; \in \; L\; (G\; -\; D),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; L\; (GD),\}$, затем $div\; \; (f)>D\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; (f)>D\}$с

(G не« исправляет »проблемы с $-\; D\; \{\backslash \; displaystyle\; -D\}$, поэтому f должен сделать это вместо этого.) Отсюда следует, что $f\; (P\; 1)\; =\; \cdots \; =\; f\; (P\; n)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (P\_\; \{1\})\; =\; \backslash \; cdots\; =\; f\; (P\_\; \{\; n\})\; =\; 0.\}$

Предложение B. Минимальное расстояние между двумя кодовыми словами равно $d\; ⩾\; n\; -\; deg\; \; (G).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; geqslant\; n-\; \backslash \; deg\; (G).\}$

Доказательство. Предположим, что вес Хэмминга из $\alpha \; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; (f)\}$- д. Это означает, что для $n\; -\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; nd\}$индексы $i\; 1,\dots ,\; in\; -\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; i\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; i\_\; \{nd\}\}$мы имеем $f\; (P\; ik)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (P\_\; \{i\_\; \{k\}\})\; =\; 0\}$для $k\; \in \; \{1,\dots ,\; n\; -\; d\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; in\; \backslash \; \{1,\; \backslash \; ldots,\; nd\; \backslash \}.\}$Тогда $f\; \in \; L\; (G\; -\; P\; i\; 1\; -\; \cdots \; -\; P\; in\; -\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; в\; L\; (G-P\_\; \{i\_\; \{1\}\}\; -\; \backslash \; cdots\; -P\_\; \{i\_\; \{nd\}\})\}$и

$div\; \; (f)\; +\; G\; -\; P\; i\; 1\; -\; \cdots \; -\; P\; в\; -\; d>0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; (f)\; +\; G-P\_\; \{i\_\; \{1\}\}\; -\; \backslash \; cdots\; -P\_\; \{i\_\; \{nd\}\}>0.\}$

Принимая степени с обеих сторон и отмечая, что

$град\; \; (div\; \; (е))\; знак\; равно\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (\backslash \; operatorname\; \{div\}\; (f))\; =\; 0,\}$

получаем

$deg\; \; (G)\; -\; (n\; -\; d)\; ⩾\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; deg\; (G)\; -\; (nd)\; \backslash \; geqslant\; 0.\}$

поэтому

$d\; \ge \; n\; -\; deg\; \; (G).\; \{\backslash \; Displaystyle\; d\; \backslash \; geq\; n-\; \backslash \; deg\; (G).\}$

Код остатка может быть определен как двойник кода функции или как остаток некоторых функций в $P\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{i\}\}$.

• Key One Chung, Goppa Codes, декабрь 2004 г., факультет математики, Университет штата Айова.

• Дипломная работа по алгебраической геометрии Теория кодирования
• Коды Гоппы Кей Уан Чанг