Строка с расширенными действительными числами

редактировать

В математике аффинно расширенная система действительных чисел получается из вещественное число система $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ путем добавления двух элементов: $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ и $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ (читается как положительная бесконечность и отрицательная бесконечность соответственно), где бесконечности рассматриваются как действительные числа. Это полезно при описании алгебры на бесконечностях и различных ограничивающих поведений в исчислении и математическом анализе, особенно в теории меры и интегрирование. Аффинно расширенная система действительных чисел обозначается $R ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ $\ overline {\ mathbb {R}}$ или $[- ∞, + ∞] {\ displaystyle [- \ infty, + \ infty]}$ $[- \ infty, + \ infty]$ или $R ∪ {- ∞, + ∞} {\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ .

Когда значение ясно из контекста, символ $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ часто записывается просто как $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ .

1 Мотивация
- 1.1 Ограничения
- 1.2 Измерение и интегрирование
2 Порядок и топологические свойства
3 Арифметические операции
4 Алгебраические свойства
5 Разное
6 См. Также
7 Ссылки
8 Дополнительная литература

Мотивация

Пределы

Часто бывает полезно описать поведение функции $f (x) {\ displaystyle f (x) }$ $f (x)$ в качестве аргумента $x {\ displaystyle x}$ $x$ или значения функции $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ в некотором смысле становится «бесконечно большим». Например, рассмотрим функцию

f (x) = x - 2. {\ displaystyle f (x) = x ^ {- 2}.}

f (x) = x ^ {- 2}.

График этой функции имеет горизонтальную асимптоту при y = 0. Геометрически, при движении все дальше вправо вдоль $x {\ displaystyle x}$ $x$ -axis, значение $1 x 2 {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {x ^ {2}}}}$ ${ \ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {x ^ {2}}}}$ приближается к нулю. Это ограничение аналогично пределу функции при действительном числе, за исключением того, что нет действительного числа, для которого $x {\ displaystyle x}$ $x$ приближается.

Путем соединения элементов $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ и $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ с $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , он позволяет сформулировать «предел на бесконечности» с топологическими свойствами, аналогичными свойствам для $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ .

Чтобы сделать вещи полностью формальными, определение последовательностей Коши из $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ позволяет определять $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ как набор всех последовательностей ${an} {\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ рациональных чисел, таких как что каждый $M ∈ R {\ displaystyle M \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R}}$ связан с соответствующим $N ∈ N {\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$ $N \ in {\ mathbb {N}}$ , для которого $an>M {\ displaystyle a_ {n}>M}$ $a_{n}>M$ для всех $n>N {\ displaystyle n>N}$ $n>N$ . Аналогичным образом можно построить определение $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ .

Измерение и интегрирование

В теории меры часто бывает полезно разрешить наборы, которые имеют бесконечную меру, и интегралы, значение которых может быть бесконечным.

Такие меры возникают естественным образом из расчетов. Например, при присвоении меры $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , который соответствует обычной длине интервалов, этот показатель должен быть больше любого конечного настоящий номер. Кроме того, при рассмотрении несобственных интегралов, таких как

∫ 1 ∞ dxx {\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x}}}

\ int_1 ^ {\ infty} \ frac {dx} {x}

возникает значение «бесконечность». Наконец, часто бывает полезно рассмотреть предел последовательности функций, такой как

fn (x) = {2 n (1 - nx), если 0 ≤ x ≤ 1 n 0, если 1 n < x ≤ 1 {\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),{\t_dv{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,{\t_dv{if }}{\frac {1}{n}}

f_n (x) = \ begin {cases} 2n (1-nx), \ t_dv {if} 0 \ le x \ le \ frac {1} {n} \\ 0, \ t_dv {if} \ frac {1} {n} <x \ le 1 \ end {cases}

Без разрешения функций принимать бесконечные значения такие важные результаты, как теорема о монотонной сходимости и теорема о доминирующей сходимости, не имели бы смысла.

Порядок и топологические свойства

Аффинно расширенную систему действительных чисел можно превратить в полностью упорядоченное множество, определив $- ∞ ≤ a ≤ + ∞ { \ displaystyle - \ infty \ leq a \ leq + \ infty}$ $- \ infty \ leq a \ leq + \ infty$ для всех $a {\ displaystyle a}$ $a$ . С этой топологией порядка , $R ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ $\ overline \ mathbb R$ имеет желаемое свойство компактности : каждое подмножество $R ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ $\ overline \ mathbb R$ имеет супремум и infimum (инфимум пустого набора имеет вид $+ ∞, {\ displaystyle + \ infty,}$ ${\ displaystyle + \ infty,}$ , а его верхняя грань равна $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ ). Кроме того, с этой топологией $R ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ $\ overline \ mathbb R$ гомеоморфен единичному интервалу $[0, 1] {\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ . Таким образом, топология является метризуемой, соответствующей (для данного гомеоморфизма) обычной метрике на этом интервале. Не существует метрики, которая является расширением обычной метрики на $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ .

. В этой топологии набор $U {\ displaystyle U}$ $U$ является окрестностью из $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ , если и только если он содержит набор ${x: x>a} {\ displaystyle \ {x: x>a \}}$ $\{x : x>a \}$ для некоторого действительного числа $a {\ displaystyle a}$ $a$ . Понятие окрестности $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ можно определить аналогично. Используя эту характеристику расширенных реальных окрестностей, специально определенные ограничивают для $x {\ displaystyle x}$ $x$ , стремясь к $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ и $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ , а также специально определенные концепции пределов, равные $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ и $- ∞ {\ displaystyle - \ inft y}$ $- \ infty$ , свести к общему топологическому определению пределов.

Арифметические операции

Арифметические операции $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ могут быть частично расширены до $R ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ $\ overline \ mathbb {R}$ следующим образом:

a + ∞ = + ∞ + a = + ∞, a ≠ - ∞ a - ∞ = - ∞ + a = - ∞, a ≠ + ∞ a ⋅ (± ∞) = ± ∞ ⋅ a = ± ∞, a ∈ (0, + ∞] a ⋅ (± ∞) = ± ∞ ⋅ a = ∓ ∞, a ∈ [- ∞, 0) a ± ∞ = 0, a ∈ R ± ∞ a = ± ∞, a ∈ (0, + ∞) ± ∞ a = ∓ ∞, a ∈ (- ∞, 0) {\ displaystyle {\ begin {align} a + \ infty = + \ infty + a = + \ infty, a \ neq - \ infty \\ a- \ infty = - \ infty + a = - \ infty, a \ neq + \ infty \\ a \ cdot (\ pm \ infty) = \ pm \ infty \ cdot a = \ pm \ infty, a \ in (0, + \ infty] \\ a \ cdot (\ pm \ infty) = \ pm \ infty \ cdot a = \ mp \ infty, a \ in [- \ infty, 0) \\ {\ frac {a} {\ pm \ infty}} = 0, a \ in \ mathbb {R} \\ {\ frac {\ pm \ infty } {a}} = \ pm \ infty, a \ in (0, + \ infty) \\ {\ frac {\ pm \ infty} {a}} = \ mp \ infty, a \ in (- \ infty, 0) \ end {align}}}

\ begin {align} a + \ infty = + \ infty + a = + \ infty, a \ neq - \ infty \\ a - \ infty = - \ infty + a = - \ infty, a \ neq + \ infty \\ a \ cdot (\ pm \ infty) = \ pm \ infty \ cdot a = \ pm \ infty, a \ in (0, + \ infty] \\ a \ cdot (\ pm \ infty) = \ pm \ infty \ cdot a = \ mp \ infty, a \ in [- \ infty, 0) \\ \ frac {a} {\ pm \ infty} = 0, a \ in \ mathbb {R} \\ \ frac {\ pm \ infty} {a} = \ pm \ infty, a \ in (0, + \ infty) \\ \ frac {\ pm \ infty} {a} = \ mp \ infty, a \ в (- \ infty, 0) \ end {align}

Для возведения в степень см. Возведение в степень # Пределы полномочий. Здесь « $a + ∞ {\ displaystyle a + \ infty}$ $a + \ infty$ » означает как « $a + (+ ∞) {\ displaystyle a + (+ \ infty)}$ $a + (+ \ infty)$ "и" $a - (- ∞) {\ displaystyle a - (- \ infty)}$ $a - (- \ infty)$ ", а" $a - ∞ {\ displaystyle a- \ infty}$ $a - \ infty$ "означает как" $a - (+ ∞) {\ displaystyle a - (+ \ infty)}$ $а - (+ \ infty)$ ", так и" $a + (- ∞) {\ displaystyle a + (- \ infty)}$ $a + (- \ infty)$ ".

Выражения $∞ - ∞, 0 × (± ∞) {\ displaystyle \ infty - \ infty, 0 \ times (\ pm \ infty)}$ $\ infty - \ infty, 0 \ times (\ pm \ infty)$ и $± ∞ / ± ∞ {\ displaystyle \ pm \ infty / \ pm \ infty}$ $\ pm \ infty / \ pm \ infty$ (называемые неопределенными формами ) обычно оставляют undefined. Эти правила основаны на законах для бесконечных пределов. Однако в контексте теории вероятностей или меры $0 × ± ∞ {\ displaystyle 0 \ times \ pm \ infty}$ $0 \ times \ pm \ infty$ часто определяется как $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ .

При работе как с положительными, так и с отрицательными расширенными действительными числами выражение $1/0 {\ displaystyle 1/0}$ $1/0$ обычно остается неопределенным, потому что, хотя верно, что для каждой действительной ненулевой последовательности $f {\ displaystyle f}$ $f$ , который сходится к $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ , обратная последовательность $1 / f {\ displaystyle 1 / f}$ $1 / f$ в конечном итоге содержится в каждой окрестности ${∞, - ∞} {\ displaystyle \ {\ infty, - \ infty \}}$ ${\ displaystyle \ {\ infty, - \ infty \}}$ , неверно, что последовательность $1 / f {\ displaystyle 1 / f}$ $1 / f$ должно само сходиться либо к $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ , либо к $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ . Другими словами, если непрерывная функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ достигает нуля при определенном значении $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ { 0}$ , то не обязательно, что $1 / f {\ displaystyle 1 / f}$ $1 / f$ стремится к $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ или $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ в пределах, равных $x {\ displaystyle x}$ $x$ , стремится к $x 0 {\ displaystyle х_ {0}}$ $x_ { 0}$ . Это относится к ограничениям функции идентичности $f (x) = x {\ displaystyle f (x) = x}$ $f ( x) = x$ , когда $x {\ displaystyle x}$ $x$ стремится к 0, а из $f (x) = x 2 sin ⁡ (1 / x) {\ displaystyle f (x) = x ^ {2} \ sin (1 / x)}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} \ sin (1 / x)}$ (для последней функции ни $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ , ни $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ является пределом $1 / f (x), {\ displaystyle 1 / f (x),}$ ${\ displaystyle 1 / f (x),}$ , даже если учитываются только положительные значения x).

Однако в контекстах, где рассматриваются только неотрицательные значения, часто удобно определять $1/0 = + ∞ {\ displaystyle 1/0 = + \ infty}$ ${\ displaystyle 1/0 = + \ infty}$ . Например, при работе со степенным рядом радиус сходимости степенного ряда с коэффициентами $an {\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ равен часто определяется как величина, обратная предельному супремуму последовательности ${| а п | 1 / n} {\ displaystyle \ {| a_ {n} | ^ {1 / n} \}}$ ${\ displaystyle \ {| a_ {n} | ^ {1 / n} \}}$ . Таким образом, если разрешить $1/0 {\ displaystyle 1/0}$ $1/0$ принимать значение $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ , тогда можно используйте эту формулу независимо от того, равен ли предел-супремум $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ или нет.

Алгебраические свойства

С этими определениями $R ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ $\ overline \ mathbb {R}$ равно не даже полугруппа, не говоря уже о группе, кольце или поле, как в случае $R { \ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . Однако у него есть несколько удобных свойств:

$a + (b + c) {\ displaystyle a + (b + c)}$ $a + (b + c)$ и $(a + b) + c {\ displaystyle (a + b) + c}$ $(a + b) + c$ либо равны, либо оба не определены.
$a + b {\ displaystyle a + b}$ $a + b$ и $b + a {\ displaystyle b + a}$ $b + a$ либо равны, либо оба не определены.
$a ⋅ (b ⋅ c) {\ displaystyle a \ cdot (b \ cdot c)}$ $a \ cdot (b \ cdot c)$ и $(a ⋅ b) ⋅ c {\ displaystyle (a \ cdot b) \ cdot c}$ $( a \ cdot b) \ cdot c$ либо равны, либо оба не определены.
$a ⋅ b {\ displaystyle a \ cdot b}$ $a \ cdot b$ и $b ⋅ a {\ displaystyle b \ cdot a}$ $b \ cdot a$ либо равны, либо оба не определены
$a ⋅ (b + c) {\ displaystyle a \ cdot (b + c)}$ ${\ displaystyle a \ cdot (b + c)}$ и $(a ⋅ b) + (a ⋅ c) {\ displaystyle (a \ cdot b) + (a \ cdot c)}$ ${\ displaystyle (a \ cdot b) + (a \ cdot c)}$ равны, если оба определены.
Если $a ≤ b {\ displaystyle a \ leq b}$ $a \ leq b$ и если оба $a + c {\ displaystyle a + c}$ $a + c$ и $b + c {\ displaystyle b + c}$ $b + c$ определены, тогда $a + c ≤ b + c {\ displaystyle a + c \ leq b + c}$ $a + c \ leq b + c$ .
Если $а ≤ б {\ displaystyle a \ leq b}$ $a \ leq b$ и $c>0 {\ displaystyle c>0}$ $c>0$ и если оба $a ⋅ c {\ displaystyle a \ cdot c}$ ${\ displaystyle a \ cdot c}$ и $b ⋅ c {\ displaystyle b \ cdot c}$ ${\ displaystyle b \ cdot c}$ определены, тогда $a ⋅ c ≤ b ⋅ c {\ displaystyle a \ cdot c \ leq b \ cdot c}$ ${\ displaystyle a \ cdot c \ leq b \ cdot c}$ .

В общем, все законы арифметики действительны в $R ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ $\ overline \ mathbb {R}$ - если определены все встречающиеся выражения.

Разное

Несколько функций можно непрерывно расширить до $R ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}} }}$ $\ overline \ mathbb {R}$ , принимая ограничения. Например, можно определить экстремальные точки следующих функций следующим образом: $exp ⁡ (- ∞) = 0, ln ⁡ (0) = - ∞, tanh ⁡ (± ∞) = ± 1, arctan ⁡ ( ± ∞) знак равно ± π 2 {\ Displaystyle \ ехр (- \ infty) = 0, \ \ ln (0) = - \ infty, \ \ tanh (\ pm \ infty) = \ pm 1, \ \ arctan (\ pm \ infty) = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle \ exp (- \ infty) = 0, \ \ ln (0) = - \ infty, \ \ tanh (\ pm \ infty) = \ pm 1, \ \ arctan (\ pm \ infty) = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}$

Некоторые особенности могут быть дополнительно удалены. Например, функцию $1 / x 2 {\ displaystyle 1 / x ^ {2}}$ $1 / x ^ {2}$ можно непрерывно расширять до $R ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R }}}}$ $\ overline \ mathbb {R}$ (согласно некоторым определениям непрерывности), установив значение на $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ для $x = 0 {\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ и $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ для $x = + ∞ {\ displaystyle x = + \ infty}$ $x = + \ infty$ и $x = - ∞ {\ displaystyle x = - \ infty}$ $x = - \ infty$ . С другой стороны, функцию $1 / x {\ displaystyle 1 / x}$ $1 / x$ нельзя непрерывно расширять, потому что функция приближается к $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ поскольку $x {\ displaystyle x}$ $x$ приближается к $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ снизу, а $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ , когда $x {\ displaystyle x}$ $x$ приближается к $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ сверху.

Аналогичная, но другая система вещественных линий, проективно расширенная вещественная линия, не различает $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ и $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ (т. Е. Бесконечность беззнаковая). В результате функция может иметь предел $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ на проективно расширенной действительной прямой, тогда как в аффинно расширенной системе действительных чисел только абсолютное значение функции имеет предел, например в случае функции $1 / x {\ displaystyle 1 / x}$ $1 / x$ при $x = 0 {\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ . С другой стороны,

lim x → - ∞ f (x) {\ displaystyle \ lim _ {x \ to - \ infty} {f (x)}}

\ lim_ {x \ to - \ infty} {f (x)}

lim x → + ∞ е (x) {\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {f (x)}}

\ lim_ {x \ to + \ infty} {е (х)}

соответствуют на проективно расширенной вещественной прямой только пределу справа и одному пределу слева, соответственно, причем полный лимит существует только тогда, когда они равны. Таким образом, функции $ex {\ displaystyle e ^ {x}}$ $e ^ {x}$ и $arctan ⁡ (x) {\ displaystyle \ arctan (x)}$ $\ arctan ( х)$ не могут быть выполнены непрерывная в $x = ∞ {\ displaystyle x = \ infty}$ $x = \ infty$ на проективно расширенной действительной прямой.