Адиабатическая доступность

Адиабатическая доступность обозначает определенную связь между двумя состояниями равновесия термодинамической системы (или разных таких систем). Эта концепция была изобретена Константином Каратеодори в 1909 году («adiabatische Erreichbarkeit») и 90 лет спустя подхвачена Эллиоттом Либом и Дж. Ингвасон в своем аксиоматическом подходе к основам термодинамики. Его также использовал Р. Джайлс в своей монографии 1964 года.

• 1 Описание
• 2 Каратеодори
• 3 Либ и Ингвасон
• 4 Термодинамическая энтропия
• 5 Источники
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Система в состоянии Y называется адиабатически доступной из состояния X, если X может быть преобразован в Y без передачи энергии в системе в виде тепла или передачи материи. Однако X может быть преобразован в Y, выполняя работу над X. Например, система, состоящая из одного килограмма теплой воды, адиабатически доступна из системы, состоящей из одного килограмма холодной воды, поскольку холодная вода может быть механически перемешана для согрейте это. Однако холодная вода не является адиабатически доступной из теплой воды, поскольку для ее охлаждения нельзя выполнять никакие объемы или виды работ.

Первоначальное определение Каратеодори ограничивалось обратимым, квазистатическим процессом, описываемым кривой в многообразии состояний равновесия рассматриваемой системы. Он назвал такое изменение состояния адиабатическим, если бесконечно малая дифференциальная форма «тепла» $\delta \; Q\; =\; d\; U\; -\; \sum \; pid\; V\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; Q\; =\; dU-\; \backslash \; sum\; p\_\; \{i\}\; dV\_\; \{i\}\}$исчезает вдоль кривой. Другими словами, тепло ни в коем случае не попадает в систему и не покидает ее. Формулировка Каратеодори Второго закона термодинамики затем принимает форму: «В окрестности любого начального состояния есть состояния, к которым нельзя сколь угодно близко приблизиться посредством адиабатических изменений состояния». Из этого принципа он вывел существование энтропии как функции состояния $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, дифференциал которой $d\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; dS\}$пропорциональна форме дифференциала тепла $\delta \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; Q\}$, поэтому она остается постоянной при изменении адиабатического состояния (в смысле Каратеодори). Увеличение энтропии во время необратимых процессов не очевидно в этой формулировке без дополнительных предположений.

Определение, используемое Либом и Ингвасоном, сильно отличается, поскольку рассматриваемые изменения состояния могут быть результатом произвольно сложных, возможно, насильственных, необратимых процессов, и здесь не упоминается тепло 'или дифференциальные формы. В приведенном выше примере воды, если перемешивание выполняется медленно, переход от холодной воды к теплой воде будет квазистатическим. Однако система, содержащая взорвавшуюся петарду, адиабатически доступна из системы, содержащей неразорвавшуюся петарду (но не наоборот), и этот переход далек от квазистатического. Определение адиабатической доступности Либа и Ингвасона: Состояние $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$адиабатически доступно из состояния $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$в символах $Икс\; \prec \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; prec\; Y\}$(произносится как X 'предшествует' Y), если возможно преобразование $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$в $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$таким образом, что единственным чистым воздействием процесса на окружающую среду является то, что вес поднимается или опускается (или пружина растягивается / сжимается, или маховик приводится в движение).

Определение термодинамической энтропии может полностью основываться на определенных свойствах отношения $\prec \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prec\}$адиабатической доступности, которые являются взятые как аксиомы в подходе Либа-Ингвасона. В следующем списке свойств оператора $\prec \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prec\}$система представлена ​​заглавной буквой, например X, Y или Z. Система X, обширные параметры которой умножены на $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$, записывается как $\lambda \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; X\}$. (например, для простого газа это будет означать удвоенное количество газа в удвоенном объеме при том же давлении.) Система, состоящая из двух подсистем X и Y, обозначается (X, Y). Если $Икс\; \prec \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; prec\; Y\}$и $Y\; \prec \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \backslash \; prec\; X\}$истинны, то каждая система может доступ к другому, и преобразование одного в другое обратимо. Это отношение эквивалентности записывается как $X\; \sim \; A\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; underset\; \{\backslash \; mathrm\; \{A\}\}\; \{\}\}\; \{\backslash \; sim\}\}\; Y\}$. В противном случае это необратимо. Адиабатическая доступность имеет следующие свойства:

• Рефлексивность: $X\; \sim \; AX\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; underset\; \{\backslash \; mathrm\; \{A\}\}\; \{\}\}\; \{\backslash \; sim\}\}\; X\}$
• Транзитивность: Если $Икс\; \prec \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; prec\; Y\}$и $Y\; \prec \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \backslash \; prec\; Z\}$, то $X\; \prec \; Z\; \{\; \backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; prec\; Z\}$
• Согласованность: если $X\; \prec \; X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; prec\; X\; \text{'}\}$и $Y\; \prec \; Y\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \backslash \; prec\; Y\; \text{'}\}$тогда $(X,\; Y)\; \prec \; (X\text{'},\; Y\; \text{'})\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; Y)\; \backslash \; prec\; (X\text{'},\; Y\; \text{'})\}$
• Масштабирующая инвариантность: если $\lambda >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda>0\}$и $X\; \prec \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; Prec\; Y\}$, затем $\lambda \; X\; \prec \; \lambda \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; X\; \backslash \; Prec\; \backslash \; lambda\; Y\}$
• Расщепление и рекомбинация: $X\; \sim \; A\; ((1\; -\; \lambda )\; X,\; \lambda \; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; underset\; \{\backslash \; mathrm\; \{A\}\}\; \{\}\}\; \{\backslash \; sim\}\}\; ((1-\; \backslash \; lambda)\; X,\; \backslash \; lambda\; X)\}$fo r все
• Стабильность: если $lim\; ϵ\; \to \; 0\; [(X,\; ϵ\; Z\; 0)\; \prec \; (Y,\; ϵ\; Z\; 1)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; epsilon\; \backslash \; to\; 0\}\; [(X,\; \backslash \; эпсилон\; Z\_\; \{0\})\; \backslash \; prec\; (Y,\; \backslash \; epsilon\; Z\_\; \{1\})]\}$затем $X\; \prec \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; prec\; Y\}$

Энтропия обладает свойством $S\; (X)\; \le \; S\; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (X)\; \backslash \; leq\; S\; (Y)\}$тогда и только тогда, когда $X\; \prec \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; Prec\; Y\}$и $S\; (X)\; =\; S\; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (X)\; =\; S\; (Y)\}$тогда и только тогда, когда $X\; \sim \; AY\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; underset\; \{\backslash \; mathrm\; \{A\}\}\; \{\}\}\; \{\backslash \; sim\}\}\; Y\}$в соответствии со Вторым законом. Если мы выберем два состояния $X\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{0\}\}$и $X\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\}$так, чтобы $X\; 0\; \prec \; X\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{0\}\; \backslash \; prec\; X\_\; \{1\}\}$и присвоить им энтропии 0 и 1 соответственно, затем энтропию состояния X, где $X\; 0\; \prec \; X\; \prec \; Икс\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{0\}\; \backslash \; prec\; X\; \backslash \; prec\; X\_\; \{1\}\}$определяется как:

$S\; (X)\; =\; sup\; (\lambda :\; ((1\; -\; \lambda )\; X\; 0,\; \lambda \; Икс\; 1)\; \prec \; Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; (X)\; =\; \backslash \; sup\; (\backslash \; lambda:\; ((1-\; \backslash \; lambda)\; X\_\; \{0\},\; \backslash \; lambda\; X\_\; \{1\})\; \backslash \; Prec\; X)\}$

1. ^Константин Каратеодори: Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik, Math. Ann., 67: 355–386, 1909
2. ^Lieb, Elliott H.; Ингвасон, Якоб (1999). «Физико-математические аспекты второго начала термодинамики». Phys. Отчет 310 (1): 1–96. arXiv : cond-mat / 9708200. Полномочный код : 1999PhR... 310.... 1L. doi : 10.1016 / s0370-1573 (98) 00082-9.
3. ^ Lieb, Elliott H.; Ингвасон, Якоб (2003). «Математическая структура второго начала термодинамики». arXiv : math-ph / 0204007. Полномочный код : 1999PhR... 310.... 1L. doi : 10.1016 / S0370-1573 (98) 00082-9. Цитировать журнал требует | journal =()
4. ^Робин Giles: "Mathematical Foundations of Thermodynamics", Pergamon, Oxford 1964

Thess, André. The Entropy Principle - Thermodynamics for the Unsatisfied. Springer-Verlag. Проверено 10 ноября 2012 г. переведено с Андре Тесс: Das Entropieprinzip - Thermodynamik für Unzufriedene, Oldenbourg-Verlag 2007, ISBN 978-3-486-58428-8. математически интенсивное и более интуитивное изложение теории Либа и Ингвасона.

Lieb, Elliott H.; Yngvason, Jakob (2003). Greven, A.; Keller, G.; Warnecke, G. (eds.). Энтропия классической термодинамики (Принстонская серия в прикладной математике). Princeton University Press, стр. 147–193. Проверено 10 ноября 2012 г.

• А. Тесс: Был ist Entropie? (на немецком языке)