Добавленная масса

редактировать

В гидромеханика, добавленная масса или виртуальная масса - это инерция, добавленная к системе, потому что ускоряющееся или замедляющееся тело должно перемещать (или отклонять) некоторый объем окружающей жидкости, когда он движется через него. Добавленная масса - обычная проблема, потому что объект и окружающая жидкость не могут одновременно занимать одно и то же физическое пространство. Для простоты это можно смоделировать как некоторый объем жидкости, движущийся вместе с объектом, хотя в действительности «вся» жидкость будет ускоряться в разной степени.

безразмерный коэффициент добавленной массы - это добавленная масса, деленная на массу вытесненной жидкости, то есть деленная на плотность жидкости, умноженную на объем тело. В общем, добавленная масса является тензором второго порядка, связывающим вектор ускорения жидкости с результирующим вектором силы на тело.

Содержание

1 Предпосылки
2 Виртуальная массовая сила
3 Приложения
- 3.1 Военно-морская архитектура
- 3.2 Аэронавтика
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Предпосылки

Фридрих Бессель предложил концепцию добавленной массы в 1828 году для описания движения маятника в жидкости. Период такого маятника увеличивался по сравнению с периодом его действия в вакууме (даже с учетом эффектов плавучести ), что указывает на то, что окружающая жидкость увеличивает эффективную массу системы.

Концепция добавленной массы, возможно, является первым примером перенормировки в физике. Эту концепцию также можно рассматривать как аналог классической физики квантово-механической концепции квазичастиц. Однако его не следует путать с релятивистским увеличением массы.

Часто ошибочно утверждают, что добавленная масса определяется количеством движения жидкости. То, что это не так, становится ясно при рассмотрении случая жидкости в большом ящике, где импульс жидкости точно равен нулю в каждый момент времени. Добавленная масса фактически определяется квазиимпульсом: добавленная масса, умноженная на ускорение тела, равна производной по времени квазиимпульса жидкости.

Виртуальная массовая сила

Нестационарные силы из-за к изменению относительной скорости тела, погруженного в жидкость, можно разделить на две части: эффект виртуальной массы и сила Бассета.

Источник силы состоит в том, что жидкость приобретает кинетическую энергию в за счет работы, выполняемой ускоряющимся погруженным телом.

Можно показать, что виртуальная массовая сила для сферической частицы, погруженной в невязкую несжимаемую жидкость, равна

F = ρ c V p 2 (D u D t - dvdt), {\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ left ({\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {u}) } {\ mathrm {D} t}} - {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} \ right),}

{\ mathbf {F}} = {\ frac {\ rho _ {{\ mathrm {c}}} V _ {{\ mathrm {p}}}} {2}} \ left ({\ frac {{\ mathrm {D}} {\ mathbf {u}}} {{\ mathrm {D}}) t}} - {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ mathbf {v}}} {{\ mathrm {d}} t}} \ right),

где жирные символы обозначают векторы, $u {\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ - это жидкость скорость потока, $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ - скорость сферической частицы, $ρ c {\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {c}}}$ $\ rho _ {{\ mathrm {c}}}$ - это массовая плотность жидкости ( непрерывная фаза), $V p {\ displaystyle V _ {\ mathrm {p}}}$ $V _ {{\ mathrm { p}}}$ - объем частицы, а D / Dt обозначает производную материала.

. Понятие «виртуальная масса» становится очевидным, если мы посмотрим на уравнение импульса для частицы.

mpdvdt = ∑ F + ρ c V p 2 (D u D t - dvdt), {\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum \ mathbf {F} + {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ left ({\ frac { \ mathrm {D} \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}} - {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} \ right),}

{\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum \ mathbf {F} + {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ left ({\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}} - {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} \ right),}

где $∑ F {\ displaystyle \ sum \ mathbf {F}}$ $\ sum {\ mathbf F}$ - сумма всех других силовых составляющих, действующих на частицу, например гравитация, градиент давления, сопротивление, подъем, сила Бассета и т. д.

Перемещение производной скорости частицы вправо В левой части уравнения получаем

(mp + ρ c V p 2) dvdt = ∑ F + ρ c V p 2 D u D t, {\ displaystyle \ left (m _ {\ mathrm {p}) } + {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum \ mathbf {F} + {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} {\ frac {\ mathrm {D } \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}},}

{\ displaystyle \ left (m _ {\ mathrm {p}} + {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum \ mathbf {F} + {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} {\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}},}

поэтому часть Ил ускоряется, как если бы он имел добавленную массу, равную половине вытесняемой им жидкости, и также есть дополнительный силовой вклад с правой стороны из-за ускорения жидкости.

Приложения

Добавленную массу можно включить в большинство физических уравнений, рассматривая эффективную массу как сумму массы и добавленной массы. Эта сумма широко известна как «виртуальная масса».

Простая формулировка добавленной массы для сферического тела позволяет записать классический второй закон Ньютона в форме

F = ma {\ displaystyle F = m \, a}

F = m \, a

становится

F = (добавлено m + m) a. {\ displaystyle F = (m + m _ {\ text {added}}) \, a.}

F = (m + m _ {{\ text {added}}}) \, a.

Можно показать, что добавленная масса для сферы (радиуса $r {\ displaystyle r}$ $r$ ) равно $2 3 π r 3 ρ жидкость {\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {\ text {fluid}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ rh о _ {\ текст {жидкость}}}$ , что составляет половину объема сферы, умноженную на плотность жидкости. Для обычного тела добавленная масса становится тензором (называемым тензором индуцированной массы) с компонентами, зависящими от направления движения тела. Не все элементы в тензоре добавленной массы будут иметь размерную массу, у некоторых будет масса × длина, а у некоторых - масса × длина.

Все тела, ускоряющиеся в жидкости, будут подвержены влиянию добавленной массы, но поскольку добавленная масса зависит от плотности жидкости, этим эффектом часто пренебрегают для плотных тел, падающих в гораздо менее плотные жидкости. В ситуациях, когда плотность жидкости сравнима с плотностью тела или превышает ее, добавленная масса часто может быть больше, чем масса тела, и ее пренебрежение может привести к значительным ошибкам в расчетах.

Например, сферический пузырь воздуха, поднимающийся в воде, имеет массу $4 3 π r 3 ρ air {\ displaystyle {\ tfrac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {\ text {air}}}$ ${\ tfrac {4} { 3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {{ \ text {air}}}$ , но добавленная масса $2 3 π r 3 ρ воды. {\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {\ text {water}}.}$ ${\ tfrac {2 } {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {{\ text {water}}}.$ Поскольку вода примерно в 800 раз плотнее воздуха (при RTP ), добавленная масса в этом случае примерно в 400 раз превышает массу пузыря.

Морская архитектура

Эти принципы также применимы к кораблям, подводным лодкам и морским платформам. В морской промышленности добавленную массу называют гидродинамической добавленной массой. В конструкции корабля энергия, необходимая для ускорения добавленной массы, должна быть принята во внимание при выполнении анализа мореходства. Для судов добавленная масса может легко достигать или массы корабля и, следовательно, представляет собой значительную инерцию в дополнение к фрикционным и волновым силам сопротивления.

Для некоторых геометрических форм свободно тонет через столб воды гидродинамическая добавленная масса, связанная с тонущим телом, может быть намного больше, чем масса объекта. Такая ситуация может возникнуть, например, когда тонущее тело имеет большую плоскую поверхность с направленным вектором нормали в направлении движения (вниз). Значительное количество кинетической энергии выделяется, когда такой объект резко замедляется (например, из-за удара о морское дно).

В оффшорной индустрии гидродинамическая добавленная масса различной геометрии является предметом значительных исследований. Эти исследования обычно требуются в качестве исходных данных для оценки риска падения подводного объекта (исследования, направленные на количественную оценку риска воздействия падающего объекта на подводную инфраструктуру). Поскольку гидродинамическая добавленная масса может составлять значительную часть общей массы тонущего объекта в момент удара, она существенно влияет на расчетное сопротивление, учитываемое для подводных защитных сооружений.

Близость к границе (или другому объекту) может влиять на количество гидродинамической добавленной массы. Это означает, что добавленная масса зависит как от геометрии объекта, так и от его близости к границе. Для плавучих тел (например, кораблей / судов) это означает, что реакция плавучего тела (т. Е. Из-за воздействия волн) изменяется на конечных глубинах воды (эффект практически отсутствует на большой глубине). Конкретная глубина (или близость к границе), на которой действует гидродинамическая добавленная масса, зависит от геометрии тела, а также от местоположения и формы границы (например, дока, дамбы, переборки или морского дна).

Гидродинамическая добавленная масса, связанная со свободно тонущим объектом вблизи границы, аналогична таковой у плавающего тела. В общем, гидродинамическая добавленная масса увеличивается по мере уменьшения расстояния между границей и телом. Эта характеристика важна при планировании подводных установок или прогнозировании движения плавающего тела в условиях мелководья.

Аэронавтика

В самолетах (кроме воздушных шаров легче воздуха и дирижаблей) добавленная масса обычно не учитывается, поскольку плотность воздуха очень мала.

См. Также

Сила Бассе для описания влияния истории относительного движения тела на вязкие силы в потоке Стокса
Бассет – Буссинеск– Уравнение Озеена для описания движения - и сил, действующих на - частицы, движущейся в нестационарном потоке при малых числах Рейнольдса
Дарвиновский дрейф для связи между добавленной массой и Дрейфовый объем Дарвина
Число Кеулегана – Карпентера для безразмерного параметра, дающего относительную важность силы сопротивления сопротивления по отношению к инерции в волновой нагрузке
уравнение Морисона для эмпирического модель силы при волновом нагружении, включая добавленную массу и перетаскивание
Оператор амплитуды отклика для использования добавленной массы в конструкции корабля

Ссылки

Внешние ссылки