Ускорение (специальная теория относительности)

редактировать

Ускорения в специальной теории относительности (SR) следуют, как в Ньютоновская механика, посредством дифференцирования скорости относительно времени. Из-за преобразования Лоренца и замедления времени понятия времени и расстояния становятся более сложными, что также приводит к более сложным определениям «ускорения». СТО как теория плоского пространства-времени Минковского остается в силе при наличии ускорений, потому что общая теория относительности (ОТО) требуется только тогда, когда существует кривизна пространства-времени, вызванная тензором энергии-импульса (который в основном определяется массой ). Однако, поскольку кривизна пространства-времени не особенно велика на Земле или в ее окрестностях, СИ остается актуальным для практических целей, как эксперименты в ускорителях частиц.

. Можно вывести формулы преобразования для обычных в трех пространственных измерений. (трехкратное ускорение или координатное ускорение), измеренное во внешней инерциальной системе отсчета, а также для особого случая правильного ускорения, измеренного сопутствующим акселерометром . Другой полезный формализм - это четырехкратное ускорение, поскольку его компоненты могут быть связаны в различных инерциальных системах отсчета с помощью преобразования Лоренца. Также уравнения движения могут быть сформулированы, которые связывают ускорение и силу. Уравнения для нескольких форм ускорения тел и их искривленных мировых линий следуют из этих формул путем интегрирования. Хорошо известными частными случаями являются гиперболическое движение для постоянного продольного собственного ускорения или равномерное круговое движение. В конце концов, эти явления также можно описать в ускоренных системах в специальной теории относительности, см. Правильная система отсчета (плоское пространство-время). В таких кадрахальных эффектах имеют одинаковые однородные гравитационным полям, которые представляют собой формальное формальное сходство с ре, неоднородными гравитационными полями искривленного пространства-времени в общей теории относительности. В случае гиперболического движения можно использовать координаты Риндлера, в случае равномерного кругового движения можно использовать координаты Борна.

Что касается исторического развития, релятивистские уравнения, условия ускорения, уже можно найти в первые годы теории относительности, как это кратко описано в ранних учебниках Максом фон Лауэ (1911, 1921) или Вольфгангом Паули (1921). Например, уравнения движения и преобразования ускорения были разработаны в статьях Хендрика Антуна Лоренца (1899, 1904), Анри Пуанкаре (1905), Альберта Эйнштейна (1905), Макс Планк (1906) и четыре ускорения, собственное ускорение, гиперболическое движение, ускоряющие системы отсчета, жесткость Борна были проанализированы Эйнштейном (1907), Герман Минковский (1907 , 1908), Макс Борн (1909), Густав Херглотц (1909), Арнольд Зоммерфельд (1910), фон Лауэ (1911), Фридрих Коттлер (1912, 1914), см. раздел истории.

Содержание

1 Трехмерное ускорение
2 Четыре ускорения
3 Правильное ускорение
4 Ускорение и сила
5 Правильное ускорение и надлежащая сила
6 Изогнутые мировые линии
7 Ускоренные системы отсчета
8 История
9 Ссылки
10 Библиография
11 Исторический документы
12 Внешние ссылки

Трехмерное ускорение

В соответствии с обоими Ne втоновская механика и SR, трехскоростное или координатное ускорение $a = (ax, ay, az) {\ displaystyle \ mathbf {a} = \ left (a_ {x}, \ a_ {y}, \ a_ {z} \ right)}$ $\mathbf {a} =\left(a_{x},\ a_{y},\ a_{z}\right)$ - первая производная скорость $u = (ux, uy, uz) {\ displaystyle \ mathbf {u} = \ left (u_ {x}, \ u_ {y}, \ u_ {z} \ right)}$ $\mathbf {u} =\left(u_{x},\ u_{y},\ u_{z}\right)$ относительно координатного времени или второй производной от местоположения $r = (x, y, z) {\ displaystyle \ mathbf {r} = \ left (x, \ y, \ z \ right)}$ $\mathbf {r} =\left(x,\ y,\ z\right)$ относительно координатного времени:

a = dudt = d 2 rdt 2 {\ displaystyle \ mathb f {a} = {\ frac {d \ mathbf {u}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}}}

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}

Однако теории различаются по своим предсказаниям в терминах соотношения трех ускорений измеренных в разных инерциальных системах отсчета. В ньютоновской механике время является абсолютным согласно $t ′ = t {\ displaystyle t '= t}$ $t'=t$ в соответствии с преобразованием Галилея, следовательно, полученное из него трехкратное ускорение одинаково также во всех инерциальных кадрах:

a = a ′ {\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {a} '}

\mathbf {a} =\mathbf {a} '

Напротив, в обоих SR $r {\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\mathbf {r}$ и $t {\ displaystyle t}$ $t$ зависят от преобразования Лоренца, следовательно, и от трехускорения $a {\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\mathbf {a}$ и его компоненты различаются в разных инерциальных системах отсчета. Когда относительная скорость между кадрами направлена в направлении x на $v = vx {\ displaystyle v = v_ {x}}$ $v=v_{x}$ с $γ v = 1/1 - v 2 / c 2 {\ displaystyle \ gamma _ {v} = 1 / {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}$ $\gamma _{v}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ как фактор Лоренца преобразование Лоренца имеет вид

x ′ = γ v (x - vt) y ′ = yz ′ = zt ′ = γ v (t - vc 2 x) x = γ v (x ′ + vt ′) y знак равно y ′ z = z ′ t знак равно γ v (t ′ + vc 2 x ′) {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ begin {align} x '& = \ gamma _ {v} (x-vt) \\ y' & = y \\ z '& = z \\ t ^ {\ prime} & = \ gamma _ {v} \ left (t - {\ frac {v} {c ^ {2}}} x \ right) \ end {align}} & {\ begin {align} x & = \ gamma _ {v} (x '+ vt') \\ y & = y '\\ z & = z' \\ t & = \ gamma _ {v} \ left (t '+ {\ frac {v} {c ^ {2}}} x '\ right) \ end {align}} \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}x'&=\gamma _{v}(x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}x&=\gamma _{v}(x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'\right)\end{aligned}}\end{array}}

(1a)

или для произвольных скоростей $v = (vx, vy, vz) {\ displaystyle \ mathbf {v } = \ left (v_ {x}, \ v_ {y}, \ v_ {z} \ справа)}$ $\mathbf {v} =\left(v_{x},\ v_{y},\ v_{z}\right)$ из величины $| v | знак равно v {\ displaystyle | \ mathbf {v} | = v}$ $|\mathbf {v} |=v$ :

r ′ = r + v [(r ⋅ v) v 2 (γ v - 1) - t γ v] t ′ = γ v (t - р ⋅ vc 2) r знак равно r ′ + v [(r ′ ⋅ v) v 2 (γ v - 1) + t ′ γ v] t = γ v (t ′ + r ′ ⋅ vc 2) {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ begin {align} \ mathbf {r} '& = \ mathbf {r} + \ mathbf {v} \ left [{\ frac {\ left (\ mathbf {r \ cdot v} \ right)} { v ^ {2}}} \ left (\ gamma _ {v} -1 \ right) -t \ gamma _ {v} \ right] \\ t ^ {\ prime} & = \ gamma _ {v} \ left (t - {\ frac {\ mathbf {r \ cdot v}} {c ^ {2}}} \ right) \ end {align}} & {\ begin {align} \ mathbf {r} & = \ mathbf { r} '+ \ mathbf {v} \ left [{\ frac {\ left (\ mathbf {r' \ cdot v} \ right)} {v ^ {2}}} \ left (\ gamma _ {v} - 1 \ right) + t '\ gamma _ {v} \ right] \\ t & = \ gamma _ {v} \ left (t' + {\ frac {\ mathbf {r '\ cdot v}} {c ^ {2}}} \ right) \ end {align}} \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r\cdot v} \right)}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)-t\gamma _{v}\right]\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {\mathbf {r\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r'\cdot v} \right)}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)+t'\gamma _{v}\right]\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {\mathbf {r'\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{array}}

(1b)

Чтобы узнать преобразование трехскоростного ускорения, нужно различать пространственные координаты $r {\ displaystyle \ mathbf { r}}$ $\mathbf {r}$ и $r ′ {\ displaystyle \ mathbf {r} '}$ $\mathbf {r} '$ Преобразование Лоренца с в $t {\ displaystyle t}$ $t$ и $t ′ {\ displaystyle t '}$ $t'$ , из которых преобразование трехскоростног о (также называемого формула сложения скорости ) между $u {\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\mathbf {u}$ и $u ′ {\ displaystyle \ mathbf {u} '}$ $\mathbf {u} '$ следует, и, в конечном итоге, другим дифференцированием в отношении $t {\ displaystyle t}$ $t$ и $t ′ {\ displaystyle t '}$ $t'$ преобразование трех ускорений между $a {\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\mathbf {a}$ и $a ′ {\ displaystyle \ mathbf {a} '}$ $\mathbf {a} '$ следует. Начало с (1a), эта процедура дает преобразование, в котором ускорения параллельны (направление x) или перпендикулярны (направление y-, z) скорости:

ax ′ = ax γ v 3 (1 - uxvc 2) 3 ay ′ = Ay γ v 2 (1 - uxvc 2) 2 + axuyvc 2 γ v 2 (1 - uxvc 2) 3 az ′ = az γ v 2 (1 - uxvc 2) 2 + axuzvc 2 γ v 2 (1 - uxvc 2) 3 ax = ax ′ γ v 3 (1 + ux ′ vc 2) 3 ay = ay ′ γ v 2 (1 + ux ′ vc 2) 2 - ax ′ uy ′ vc 2 γ v 2 (1 + ux ′ vc 2) 3 az = az ′ γ v 2 (1 + ux ′ vc 2) 2 - ax ′ uz ′ vc 2 γ v 2 (1 + ux ′ vc 2) 3 {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ begin {align} a_ {x} ^ {\ prime} & = {\ frac {a_ {x}} {\ gamma _ {v} ^ {3} \ left (1- {\ frac {u_ { x} v} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} \\ a_ {y} ^ {\ prime} & = {\ frac {a_ {y}} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 - {\ frac {u_ {x} v} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2}}} + {\ frac {a_ {x} {\ frac {u_ {y} v} {c ^ {2}}}} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 - {\ frac {u_ {x} v} {c ^ {2}}} \ right ) ^ {3}}} \\ a_ {z} ^ {\ prime} & = {\ frac {a_ {z}} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 - {\ frac {u_ {x} v} {c ^ {2}}} \ ri ght) ^ {2}}} + {\ frac {a_ {x} {\ frac {u_ {z} v} {c ^ {2}}} } {\ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 - {\ frac {u_ {x} v} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} \ end {align}} & {\ begin {align} a_ {x} & = {\ гидроразрыв {a_ {x} ^ {\ prime}} {\ gamma _ {v} ^ {3} \ left (1 + {\ frac {u_ {x } ^ {\ prime} v} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} \\ a_ {y} & = {\ frac {a_ {y} ^ {\ prime}} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 + {\ frac {u_ {x} ^ {\ prime} v} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2}}} - {\ frac { a_ {x} ^ {\ prime} {\ frac {u_ { y} ^ {\ prime} v} {c ^ {2}}}} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 + {\ frac {u_ {x} ^ {\ prime} v} { c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} \\ a_ {z} & = {\ frac {a_ {z} ^ {\ prime}} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 + {\ frac {u_ {x} ^ {\ prime} v} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2}}} - {\ frac {a_ {x} ^ {\ prime} {\ frac {u_ {z} ^ {\ prime} v} {c ^ {2}}}} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 + {\ frac {u_ {x} ^ { \ prime} v} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} \ end {align}} \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}a_{x}^{\prime }&={\frac {a_{x}}{\gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}^{\prime }&={\frac {a_{y}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {a_{x}{\frac {u_{y}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}^{\prime }&={\frac {a_{z}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {a_{x}{\frac {u_{z}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&={\frac {a_{x}^{\prime }}{\gamma _{v}^{3}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}&={\frac {a_{y}^{\prime }}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{y}^{\prime }v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}&={\frac {a_{z}^{\prime }}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{z}^{\prime }v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}\end{array}}

(1c)

или начиная с (1b) эта процедура дает результат для общего случая произвольных направлений скоростей и ускорений:

a ′ = a γ v 2 (1 - v ⋅ uc 2) 2 - (a ⋅ v) v (γ v - 1) v 2 γ v 3 (1 - v ⋅ uc 2) 3 + (a ⋅ v) uc 2 γ v 2 (1 - v ⋅ uc 2) 3 a = a ′ γ v 2 (1 + v ⋅ u ′ c 2) 2 - (a ′ ⋅ v) v (γ v - 1) v 2 γ v 3 (1 + v ⋅ u ′ c 2) 3 - (a ′ ⋅ v) u ′ c 2 γ v 2 (1 + v ⋅ u ′ c 2) 3 {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} '& = {\ frac {\ mathbf {a}} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 - {\ frac {\ mathbf {v \ cdot u}} {c ^ {2}}} \ справа) ^ {2}}} - {\ frac {\ mathbf {(a \ cdot v) v} \ left (\ gamma _ {v} -1 \ right)} {v ^ {2} \ gamma _ {v } ^ {3} \ left (1 - {\ frac {\ mathbf {v \ cdot u}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} + {\ frac {\ mathbf {(a \ cdot v) u}} {c ^ {2} \ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 - {\ frac {\ mathbf {v \ cdot u}} {c ^ {2}}} \ справа) ^ {3}}} \\\ mathbf {a} & = {\ frac {\ mathbf {a} '} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 + {\ frac {\ mathbf {v \ cdot u} '} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2}}} - {\ frac {\ mathbf {(a' \ cdot v) v} \ left (\ gamma _ {v } -1 \ right)} {v ^ {2} \ gamma _ {v} ^ {3} \ left (1 + {\ frac {\ mathbf {v \ cdot u} '} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} - {\ frac {\ mathbf {(a '\ cdot v) u}'} {c ^ {2} \ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 + { \ frac {\ mathbf {v \ cdot u} '} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {a} '&={\frac {\mathbf {a} }{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a\cdot v)v} \left(\gamma _{v}-1\right)}{v^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{3}}}+{\frac {\mathbf {(a\cdot v)u} }{c^{2}\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{3}}}\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {a} '}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)v} \left(\gamma _{v}-1\right)}{v^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)u} '}{c^{2}\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}

(1d)

Это означает, что если есть два инерциальных кадры $S {\ dis playstyle S}$ $S$ и $S ′ {\ displaystyle S '}$ $S'$ с относительной скоростью $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\mathbf {v}$ , затем в $S {\ displaystyle S}$ $S$ ускорение $a {\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\mathbf {a}$ объекта с мгновенной скоростью $u {\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\mathbf {u}$ измеряется, в то время как в $S ′ {\ displaystyle S '}$ $S'$ тот же объект ускоряется на $a ′ {\ displaystyle \ mathbf {a} '}$ $\mathbf {a} '$ и имеет мгновенную скорость $u ′ {\ displaystyle \ mathbf {u}'}$ $\mathbf {u} '$ . Как и в формулами сложения, эти преобразования ускорения также гарантируют, что результирующая скорость ускорения объекта никогда не достигнет или превзойти скорость света.

четырехкратное ускорение

Если четырех- образ используются вместо трех векторов, а именно $R {\ displaystyle \ mathbf {R}}$ $\mathbf {R}$ как четырехпозиционный и $U {\ displaystyle \ mathbf {U}}$ $\mathbf {U}$ как четырехскоростная, тогда четырехскоростная $A = (A t, A x, A y, A z) = (A t, A r) {\ displaystyle \ mathbf {A} = \ left (A_ {t}, \ A_ {x}, \ A_ {y}, \ A_ {z} \ right) = \ left (A_ {t}, \ \ mathbf {A} _ {r} \ right)}$ $\mathbf {A} =\left(A_{t},\ A_{x},\ A_{y},\ A_{z}\right)=\left(A_{t},\ \mathbf {A} _{r}\right)$ объект получается дифференцированием по собственному времени $τ {\ displaystyle \ mathbf {\ tau}}$ $\mathbf {\tau }$ вместо координатного времени:

A = d U d τ = d 2 р d τ 2 знак равно (cd 2 td τ 2, d 2 rd τ 2) = (γ 4 u ⋅ ac, γ 4 (a ⋅ u) uc 2 + γ 2 a) {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} & = {\ frac {d \ mathbf {U}} {d \ tau}} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {R}} {d \ tau ^ {2}}} = \ left (c {\ frac {d ^ {2 } t} {d \ tau ^ {2}}}, \ {\ frac {d ^ {2)} \ mathbf {r}} {d \ tau ^ {2}}} \ right) \\ & = \ left (\ gamma ^ {4} {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {a}} {c}}, \ \ gamma ^ {4} {\ frac {(\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} + \ gamma ^ {2} \ mathbf {a} \ right) \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {A} &={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}={\frac {d^{2}\mathbf {R} }{d\tau ^{2}}}=\left(c{\frac {d^{2}t}{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\tau ^{2}}}\right)\\&=\left(\gamma ^{4}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}},\ \gamma ^{4}{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}+\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)\end{aligned}}

(2)

где $a {\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\mathbf {a}$ - это трехступенчатый ускорение и $u {\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\mathbf {u}$ его мгновенная трехскорость величины $| u | = и {\ Displaystyle | \ mathbf {u} | = u}$ $|\mathbf {u} |=u$ с соответствующим агентом Лоренца $γ = 1/1 - u 2 / c 2 {\ displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1-u ^ {2} / c ^ { 2}}}}$ $\gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}$ . Если рассматривается только пространственная часть, и когда скорость направлена в направлении x на $u = ux {\ displaystyle u = u_ {x}}$ $u=u_{x}$ и только ускорения параллельны (направление x) или перпендикулярно (направления y, z) к скорости, выражение сводится к:

A r = a (γ 4, γ 2, γ 2) {\ displaystyle \ mathbf {A} _ {r} = \ mathbf {a} \ left (\ gamma ^ {4}, \ \ gamma ^ {2}, \ \ gamma ^ {2} \ right)}

\mathbf {A} _{r}=\mathbf {a} \left(\gamma ^{4},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)

В отличие от рассмотренного ранее трехкратного ускорения, это нет необходимости выводить новое преобразование для четырехмерного ускорения, потому что, как и для всех четырехвекторов, компоненты $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\mathbf {A}$ в двух инерциальных кадрах с относительной скоростью $v {\ displaystyle v}$ $v$ связаны преобразованием Лоренца. Таким образом, заменив $x, y, z, ct {\ displaystyle x, \ y, \ z, \ ct}$ $x,\ y,\ z,\ ct$ на $A x, A y, A z, A t { \ Displaystyle A_ {x}, \ A_ {y}, \ A_ {z}, \ A_ {t}}$ $A_{x},\ A_{y},\ A_{z},\ A_{t}$ в (1a) дает:

A x ′ = γ v (A x - vc A t) A y ′ = A y A z ′ = A z A t ′ = γ v (A t - vc A x) A x = γ v (A x ′ + vc A t ′) A y = A y ′ AZ знак равно A z ′ AT = γ v (A t ′ + vc A x ′) {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ begin {align} A_ {x} ^ {\ prime} & = \ gamma _ {v} \ left (A_ {x} - {\ frac {v} {c}} A_ {t} \ right) \\ A_ {y} ^ {\ prime} & = A_ {y} \\ A_ {z} ^ {\ prime} & = A_ {z} \\ A_ {t} ^ {\ prime} & = \ gamma _ {v} \ left (A_ {t} - {\ frac {v} {c}} A_ {x} \ right) \ end {align}} & {\ begin {align} A_ {x} & = \ gamma _ {v} \ left (A_ {x} ^ {\ prime} + {\ frac {v} {c}} A_ {t} ^ {\ prime} \ right) \\ A_ {y} & = A_ {y} ^ {\ prime} \\ A_ {z} & = A_ {z} ^ {\ prime} \\ A_ {t} & = \ gamma _ {v} \ left (A_ {t} ^ {\ prime} + { \ frac {v} {c}} A_ {x} ^ {\ prime} \ right) \ end {align}} \ end {array}}

{\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}A_{x}^{\prime }&=\gamma _{v}\left(A_{x}-{\frac {v}{c}}A_{t}\right)\\A_{y}^{\prime }&=A_{y}\\A_{z}^{\prime }&=A_{z}\\A_{t}^{\prime }&=\gamma _{v}\left(A_{t}-{\frac {v}{c}}A_{x}\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}A_{x}&=\gamma _{v}\left(A_{x}^{\prime }+{\frac {v}{c}}A_{t}^{\prime }\right)\\A_{y}&=A_{y}^{\prime }\\A_{z}&=A_{z}^{\prime }\\A_{t}&=\gamma _{v}\left(A_{t}^{\prime }+{\frac {v}{c}}A_{x}^{\prime }\right)\end{aligned}}\end{array}}

или замена $r, ct {\ displaystyle \ mathbf { r}, \ ct}$ $\mathbf {r} ,\ ct$ на $A r, A t {\ displaystyle \ mathbf {A} _ {r}, \ A_ {t}}$ $\mathbf {A} _{r},\ A_{t}$ в (1b) дает преобразование с произвольной относительной скоростью $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\mathbf {v}$ :

A r ′ = A r + vc [(A r ⋅ v) cv 2 (γ v - 1) - A t γ v] A t ′ = γ v (A t - A r ⋅ vc) A r = A r ′ + vc [(A r ′ ⋅ v) cv 2 (γ v - 1) + A t ′ γ v] A T знак равно γ v (A t ′ + A r ′ ⋅ vc) {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ begin {align} \ mathbf {A} {} _ {r} ^ {\ prime} & = \ mathbf {A} _ {r} + {\ frac {\ mathbf {v}} {c}} \ left [{\ frac {\ left (\ mathbf {A} _ {r}) \ cdot \ mathbf {v} \ right) c} {v ^ {2}}} \ left (\ gamma _ {v} - 1 \ right) -A_ {t} \ gamma _ {v} \ right] \\ A_ {t} ^ {\ prime} & = \ gamma _ {v} \ left (A_ {t} - {\ frac {\ mathbf {A} _ {r} \ cdot \ mathbf {v}} {c}} \ right) \ end {align}} & {\ begin {align} \ mathbf {A} _ {r} & = \ mathbf { A} {} _ {r} ^ {\ prime} + {\ frac {\ mathbf {v}} {c}} \ left [{\ frac {\ left (\ mathbf {A} {} _ {r} ^ {\ prime} \ cdot \ mathbf {v} \ right) c} {v ^ {2}}} \ left (\ gamma _ {v} -1 \ right) + A_ {t} ^ {\ prime} \ gamma _ {v} \ right] \\ A_ {t} & = \ gamma _ {v} \ left (A_ {t} ^ {\ prime} + {\ frac {\ mathbf {A} {} _ {r} ^ {\ prime} \ cdot \ mathbf {v}} {c}} \ right) \ конец {а ligned}} \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mathbf {A} {}_{r}^{\prime }&=\mathbf {A} _{r}+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\left[{\frac {\left(\mathbf {A} _{r}\cdot \mathbf {v} \right)c}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)-A_{t}\gamma _{v}\right]\\A_{t}^{\prime }&=\gamma _{v}\left(A_{t}-{\frac {\mathbf {A} _{r}\cdot \mathbf {v} }{c}}\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {A} _{r}&=\mathbf {A} {}_{r}^{\prime }+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\left[{\frac {\left(\mathbf {A} {}_{r}^{\prime }\cdot \mathbf {v} \right)c}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)+A_{t}^{\prime }\gamma _{v}\right]\\A_{t}&=\gamma _{v}\left(A_{t}^{\prime }+{\frac {\mathbf {A} {}_{r}^{\prime }\cdot \mathbf {v} }{c}}\right)\end{aligned}}\end{array}}

С другой стороны, внутренний продукт $A 2 = - A T 2 + A r 2 {\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {2} = - A_ {t} ^ {2} + \ mathbf {A} _ {r} ^ {2}}$ $\mathbf {A} ^{2}=-A_{t}^{2}+\mathbf {A} _{r}^{2}$ с метрической подписью (-, +, +, +) и, следовательно, его величина $| А | = A 2 {\ Displaystyle | \ mathbf {A} | = {\ sqrt {\ mathbf {A} ^ {2}}}}$ $|\mathbf {A} |={\sqrt {\mathbf {A} ^{2}}}$ инвариантно, поэтому:

| A ′ | = | А | знак равно γ 4 [a 2 + γ 2 (u ⋅ ac) 2] {\ displaystyle | \ mathbf {A} '| = | \ mathbf {A} | = {\ sqrt {\ gamma ^ {4} \ left [\ mathbf {a} ^ {2} + \ gamma ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {a}}) {c}} \ right) ^ {2} \ right]}}}

|\mathbf {A} '|=|\mathbf {A} |={\sqrt {\gamma ^{4}\left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right]}}

(3)

Правильное ускорение

В бесконечно малых промежутках времени всегда есть одна инерциальная система отсчета, которая на мгновение имеет ту же скорость, что и ускоряемое тело, и в котором выполняется преобразование Лоренца. Соответствующее трехкратное ускорение $a 0 = (ax 0, ay 0, az 0) {\ displaystyle \ mathbf {a} ^ {0} = \ left (a_ {x} ^ {0}, \ a_ {y} ^ {0}, \ a_ {z} ^ {0} \ right)}$ $\mathbf {a} ^{0}=\left(a_{x}^{0},\ a_{y}^{0},\ a_{z}^{0}\right)$ в этих кадрах можно напрямую измерить акселерометр, и это называется надлежащим ускорением или ускорением покоя. Отношение $a 0 {\ displaystyle \ mathbf {a} ^ {0}}$ $\mathbf {a} ^{0}$ в мгновенной инерциальной системе отсчета $S '{\ displaystyle S'}$ $S'$ и $a {\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\mathbf {a}$ , измеренное во внешней инерциальной системе отсчета $S {\ displaystyle S}$ $S$ следует из (1c, 1d) с $a ′ = a 0 {\ displaystyle \ mathbf {a} '= \ mathbf {a} ^ {0}}$ $\mathbf {a} '=\mathbf {a} ^{0}$ , $u ′ = 0 {\ displaystyle \ mathbf {u}' = 0}$ $\mathbf {u} '=0$ , $u = v {\ displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {v}}$ $\mathbf {u} =\mathbf {v}$ и $γ = γ v {\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {v}}$ $\gamma =\gamma _{v}$ . Итак, в терминах (1c), когда скорость направлена в направлении x на $u = ux = v = vx {\ displaystyle u = u_ {x} = v = v_ {x}}$ $u=u_{x}=v=v_{x}$ и когда следует только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направление y, z) скорости, это следует:

ax 0 = ax (1 - u 2 c 2) 3/2 ay 0 = ay 1 - u 2 c 2 az 0 = az 1 - u 2 c 2 ax = ax 0 (1 - u 2 c 2) 3/2 ay = ay 0 (1 - u 2 c 2) az = az 0 (1 - u 2 с 2) или a 0 знак равно a (γ 3, γ 2, γ 2) a = a 0 (1 γ 3, 1 γ 2, 1 γ 2) {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c | cc} {\ begin {align} a_ {x} ^ {0} & = {\ frac {a_ {x}} {\ left (1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}) } \ right) ^ {3/2}}} \\ a_ {y} ^ {0} & = {\ frac {a_ {y}} {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ { 2}}}}} \\ a_ {z} ^ {0} & = {\ frac {a_ {z}} {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ end {align}} & {\ begin {align} a_ {x} & = a_ {x} ^ {0} \ left (1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}) \ right) ^ {3/2} \\ a_ {y} & = a_ {y} ^ {0} \ left (1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right ) \\ a_ {z} & = a_ {z} ^ {0} \ left (1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) \ конец {выровнено}} & {\ текст {или}} & {\ начало {выровнено} \ mathbf {a} ^ {0} & = \ mathbf {a} \ left (\ gamma ^ {3}, \ \ gamma ^ {2}, \ \ гамма ^ {2} \ right) \\\ mathbf {a} & = \ mathbf {\ mathbf {a}} ^ {0} \ left ({\ frac {1} {\ gamma ^ {3}}}, \ {\ frac {1} {\ gamma ^ {2}}}, \ {\ frac {1} {\ gamma ^ {2}}} \ right) \ end {выравнивается}} \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}a_{x}^{0}&={\frac {a_{x}}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}\\a_{y}^{0}&={\frac {a_{y}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\a_{z}^{0}&={\frac {a_{z}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&=a_{x}^{0}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}\\a_{y}&=a_{y}^{0}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)\\a_{z}&=a_{z}^{0}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)\\\mathbf {a} &=\mathbf {\mathbf {a} } ^{0}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma ^{2}}},\ {\frac {1}{\gamma ^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{array}}

(4a)

Обобщено с помощью (1d) для произвольных используемых $u {\ displaystyle \ math bf {u}}$ $\mathbf {u}$ size $| u | знак равно и {\ displaystyle | \ mathbf {u} | = u}$ $|\mathbf {u} |=u$ :

a 0 = γ 2 [a + (a ⋅ u) uu 2 (γ - 1)] a = 1 γ 2 [a 0 - (a 0 ⋅ u) uu 2 (1-1 γ) ] {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} ^ {0} & = \ gamma ^ {2} \ left [\ mathbf {a} + {\ гидроразрыв {(\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {u}} {u ^ {2}}} \ left (\ gamma -1 \ right) \ right] \\\ mathbf {a} & = {\ frac {1} {\ gamma ^ {2}}} \ left [\ mathbf {a} ^ {0} - {\ frac {(\ mathbf {a} ^ {0} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {u}} {u ^ { 2}}} \ left (1 - {\ frac {1} {\ gamma}} \ right) \ right] \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\gamma ^{2}\left[\mathbf {a} +{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(\gamma -1\right)\right]\\\mathbf {a} &={\frac {1}{\gamma ^{2}}}\left[\mathbf {a} ^{0}-{\frac {(\mathbf {a} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\right]\end{aligned}}

Есть также тесная связь с величиной четырехкратного ускорения: поскольку она инвариантна, она может быть определена в мгновенной инерциальной системе отсчета $S ′ {\ displaystyle S '}$ $S'$ , в которой $A r ′ = a 0 {\ displaystyle \ mathbf {A} _ {r} ^ {\ prime} = \ mathbf {a} ^ {0}}$ $\mathbf {A} _{r}^{\prime }=\mathbf {a} ^{0}$ и на $dt ′ / d τ = 1 {\ displaystyle dt '/ d \ tau = 1}$ $dt'/d\tau =1$ следует $d 2 t ′ / d τ 2 = A t ′ = 0 {\ displaystyle d ^ {2} t '/ d \ tau ^ {2} = A_ {t} ^ {\ p ri me} = 0}$ $d^{2}t'/d\tau ^{2}=A_{t}^{\prime }=0$ :

| A ′ | = 0 + a 0 2 = | а 0 | {\ displaystyle | \ mathbf {A} '| = {\ sqrt {0+ \ left. \ mathbf {a} ^ {0} \ right. ^ {2}}} = | \ mathbf {a} ^ {0} |}

|\mathbf {A} '|={\sqrt {0+\left.\mathbf {a} ^{0}\right.^{2}}}=|\mathbf {a} ^{0}|

(4b)

Таким образом, величина четырехкратного ускорения соответствует величине собственного ускорения. Объединив это с (3), альтернативный метод определения связи между $a 0 {\ displaystyle \ mathbf {a} ^ {0}}$ $\mathbf {a} ^{0}$ в $S 'дано {\ displaystyle S' }$ $S'$ и $a {\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\mathbf {a}$ в $S {\ displaystyle S}$ $S$ , а именно

| а 0 | = | А | знак равно γ 4 [a 2 + γ 2 (u ⋅ ac) 2] {\ displaystyle | \ mathbf {a} ^ {0} | = | \ mathbf {A} | = {\ sqrt {\ gamma ^ {4} \ left [\ mathbf {a} ^ {2} + \ gamma ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {a}}) ) {c}} \ right) ^ {2} \ right]}}}

|\mathbf {a} ^{0}|=|\mathbf {A} |={\sqrt {\gamma ^{4}\left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right]}}

, из которого (4a) снова следует, когда скорость направлена в направлении x на $u = ux {\ displaystyle u = u_ {x}}$ $u=u_{x}$ и учитываются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направление y, z) скорости.

Ускорение и сила

четыре силы $F {\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\mathbf {F}$ как функция трех- сила $е {\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\mathbf {f}$ определяется как $F = γ ((f ⋅ u) / c, f) {\ displaystyle \ mathbf {F} = \ гамма \ left (( \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}) / c, \ \ mathbf {f} \ right)}$ $\mathbf {F} =\gamma \left((\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )/c,\ \mathbf {f} \right)$ . Четыре силы и четыре ускорения (2) и инвариантная масса $m {\ displaystyle m}$ $m$ , кроме того, с помощью $F = m A {\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {A}}$ $\mathbf {F} =m\mathbf {A}$ , таким образом,

F = (γ f ⋅ uc, γ f) = m A = m (γ 4 (u ⋅ ac ), γ 4 (U ⋅ ac 2) U + γ 2 a) {\ displaystyle \ mathbf {F} = \ left (\ gamma {\ frac {\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}} {c} }, \ \ gamma \ mathbf {f} \ right) = m \ mathbf {A} = m \ left (\ gamma ^ {4} \ left ({\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {a}) }) {c}} \ right), \ \ gamma ^ {4} \ left ({\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {a}} {c ^ {2}}} \ right) \ mathbf {u} + \ gamma ^ {2} \ mathbf {a} \ right)}

\mathbf {F} =\left(\gamma {\frac {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }{c}},\ \gamma \mathbf {f} \right)=m\mathbf {A} =m\left(\gamma ^{4}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right),\ \gamma ^{4}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c^{2}}}\right)\mathbf {u} +\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)

Соотношение между трехсиловым и трехкомпонентным ускорением для произвольного использования скорости, таким образом,

f = m γ 3 ((a ⋅ u) uc 2) + м γ aa знак равно 1 м γ (е - (е ⋅ u) uc 2) {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {f} & = m \ gamma ^ {3} \ left ({ \ frac {(\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {u }) \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ right) + m \ gamma \ mathbf {a} \\\ mathbf {a} & = {\ frac {1} {m \ gamma}} \ left (\ mathbf {f} - {\ frac {(\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ right) \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {f} &=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} \\\mathbf {a} &={\frac {1}{m\gamma }}\left(\mathbf {f} -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}

(5a)

Когда скорость направлена в направлении x на $u = ux {\ displaystyle u = u_ {x}}$ $u=u_{x}$ и только ускорения параллельны (направление x) или перпендикулярно (y-, z- направления) скорости считаются

fx = max (1 - u 2 c 2) 3/2 fy = may 1 - u 2 c 2 fz = maz 1 - u 2 c 2 ax = fxm (1 - u 2 c 2) 3/2 ay = fym 1 - u 2 c 2 az = fzm 1 - u 2 c 2 или f = ma (γ 3, γ, γ) a = fm (1 γ 3, 1 γ, 1 γ) {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c | cc} {\ begin {align} f_ {x} & = {\ frac {ma_ {x}} {\ left (1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3/2}}} \\ f_ {y} & = {\ frac {ma_ {y}} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} }} \\ f_ {z} & = {\ frac {ma_ {z}} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} \ end {выравнивается }} & {\ begin {выравнивается} a_ {x} & = {\ frac {f_ {x}} {m}} \ left (1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}} } \ right) ^ {3/2} \\ a_ {y} & = {\ frac {f_ {y}} {m}} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \\ a_ {z} & = {\ frac {f_ {z}} {m}} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}) }}}} \ end {align}} & {\ text {или}} & {\ begin {align} \ mathbf {f} & = m \ mathbf {a} \ left (\ gamma ^ {3}, \ \ гамма, \ \ gamma \ right) \\\ mathbf {a} & = {\ frac {\ mathbf {f}} {m}} \ left ({\ frac {1} {\ gamma ^ {3}}}, \ {\ frac {1} {\ gamma}}, \ {\ frac {1} {\ gamma}} \ right) \ end {align}} \ end {array}}}

{\displaystyle{\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {ma_{x}}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}\\f_{y}&={\frac {ma_{y}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\\f_{z}&={\frac {ma_{z}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&={\frac {f_{x}}{m}}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}\\a_{y}&={\frac {f_{y}}{m}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\a_{z}&={\frac {f_{z}}{m}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {f} &=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}\end{array}}}

(5b)

Следовательно, ньютоновское определение массы как отношения трех сил и трех ускорений невыгодно в СТО, п. отому что такая масса будет зависеть как от скорости, так и от направления. Следовательно, следующие массовые определения, используемые в старых учебниках, больше не используются:

m ‖ = fxax = m γ 3 {\ displaystyle m _ {\ Vert} = {\ frac {f_ {x}} {a_ {x} }} = m \ gamma ^ {3}}

m_{\Vert }={\frac {f_{x}}{a_{x}}}=m\gamma ^{3}

как «продольная масса»,

m ⊥ = fyay = fzaz = m γ {\ displaystyle m _ {\ perp} = {\ frac {f_ {y}} {a_ {y}}} = {\ frac {f_ {z}} {a_ {z}}} = m \ gamma}

m_{\perp }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma

как «поперечная масса».

Отношение (5a) между трехскоростным ускорением и трехсиловым ускорением можно также получить из уравнения движения

f = dpdt = d (m γ u) dt = d (m γ) dtu + m γ dudt = m γ 3 ((a ⋅ u) uc 2) + m γ a {\ displaystyle \ mathbf {f} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = {\ frac {d (m \ gamma \ mathbf { u)})} {dt}} = {\ frac {d (m \ gamma)} {dt}} \ mathbf {u} + m \ gamma {\ frac {d \ mathbf {u}} {dt}} = m \ гамма ^ {3} \ left ({\ frac {(\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ right) + m \ gamma \ mathbf {a}}

\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}={\frac {d(m\gamma )}{dt}}\mathbf {u} +m\gamma {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a}

(5c)

где $p {\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\mathbf {p}$ - тройной импульс. Соответствующее преобразование трех сил между $f {\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\mathbf {f}$ в $S {\ displaystyle S}$ $S$ и $f ′ {\ displaystyle \ mathbf {f} '}$ $\mathbf {f} '$ в $S ′ {\ displaystyle S'}$ $S'$ (когда относительная скорость между кадрами направлена в направлении x на $v = vx { \ displaystyle v = v_ {x}}$ $v=v_{x}$ и учитываются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направление y, z) к скорости), после замены соответствующей формулы преобразования для $u {\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\mathbf {u}$ , $a {\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\mathbf {a}$ , $m γ {\ displaystyle m \ gamma}$ $m\gamma$ , $d (m γ) / dt {\ displaystyle d (m \ gamma) / dt}$ $d(m\gamma )/dt$ , или из преобразованных Лоренца компонентов четырехсилового механизма с результатом:

fx ′ = fx - vc 2 (f ⋅ u) 1 - uxvc 2 fy ′ = fy γ v (1 - uxvc 2 ) fz ′ = fz γ v (1 - uxvc 2) fx = fx ′ + vc 2 (f ′ ⋅ u ′) 1 + ux ′ vc 2 fy = fy ′ γ v (1 + ux ′ vc 2) fz = fz ′ Γ v (1 + ux ′ vc 2) {\ displaystyl е {\ begin {array} {c | c} {\ begin {align} f_ {x} ^ {\ prime} & = {\ frac {f_ {x} - {\ frac {v} {c ^ {2}}} (\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u})} {1 - {\ frac {u_ {x} v} {c ^ {2}}}}} \\ f_ {y} ^ {\ prime} & = {\ frac {f_ {y }} {\ gamma _ {v} \ left (1 - {\ frac {u_ {x} v} {c ^ {2}}} \ right)}} \\ f_ {z} ^ {\ prime} & = {\ frac {f_ {z}} {\ gamma _ {v} \ left (1 - {\ frac {u_ {x} v} {c ^ {2}}} \ right)}} \ end {выравнивается}} & {\ begin {выравнивается} f_ {x} & = {\ frac {f_ {x} ^ {\ prime} + {\ frac {v} {c ^ {2}}} (\ mathbf {f} ^ {\ prime} \ cdot \ mathbf {u} ^ {\ prime})} {1 + {\ frac {u_ {x} ^ {\ prime} v} {c ^ {2}}}}} \\ f_ {y} & = {\ frac {f_ {y} ^ {\ prime}} {\ gamma _ {v} \ left (1 + {\ frac {u_ {x} ^ {\ prime} v} {c ^ {2}} } \ right)}} \\ f_ {z} & = {\ frac {f_ {z} ^ {\ prime}} {\ gamma _ {v} \ left (1 + {\ frac {u_ {x} ^ { \ prime} v} {c ^ {2}}} \ right)}} \ end {align}} \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}f_{x}^{\prime }&={\frac {f_{x}-{\frac {v}{c^{2}}}(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )}{1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}}}\\f_{y}^{\prime }&={\frac {f_{y}}{\gamma _{v}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)}}\\f_{z}^{\prime }&={\frac {f_{z}}{\gamma _{v}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {f_{x}^{\prime }+{\frac {v}{c^{2}}}(\mathbf {f} ^{\prime }\cdot \mathbf {u} ^{\prime })}{1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}}}\\f_{y}&={\frac {f_{y}^{\prime }}{\gamma _{v}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)}}\\f_{z}&={\frac {f_{z}^{\prime }}{\gamma _{v}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)}}\end{aligned}}\end{array}}

(6a)

Или обобщено для произвольных ориентиров $u { \ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\mathbf {u}$ , а также $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\mathbf {v}$ с магнитудой $| v | знак равно v {\ displaystyle | \ mathbf {v} | = v}$ $|\mathbf {v} |=v$ :

f '= f γ v - {(f ⋅ u) v 2 c 2 - (f ⋅ v) (1 - 1 γ v)} vv 2 1 - v ⋅ uc 2 f = f ′ γ v + {(f ′ ⋅ u ′) v 2 c 2 + (f ′ ⋅ v) (1-1 γ v)} vv 2 1 + v ⋅ u ′ c 2 {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {f} '& = {\ frac {{\ frac {\ mathbf {f}} {\ gamma _ {v}}} - \ left \ {(\ mathbf {f \ cdot u}) {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} - (\ mathbf {f \ cdot v}) \ left (1 - {\ frac {1} {\ gamma _ {v}}} \ right) \ right \} {\ frac {\ mathbf {v}} {v ^ {2}}}} {1 - {\ frac {\ mathbf {v \ cdot u}} {c ^ {2}}}}} \\\ mathbf { f} & = {\ frac {{\ frac {\ mathbf {f} '} {\ gamma _ {v}}} + \ left \ {(\ mathbf {f' \ cdot u} ') {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} + (\ mathbf {f '\ cdot v}) \ left (1 - {\ frac {1} {\ гамма _ {v}}} \ right) \ right \} {\ frac {\ mathbf {v}} {v ^ {2}}}} {1 + {\ frac {\ mathbf {v \ cdot u '}} {c ^ {2}}}}} \ конец {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {f} '&={\frac {{\frac {\mathbf {f} }{\gamma _{v}}}-\left\{(\mathbf {f\cdot u} ){\frac {v^{2}}{c^{2}}}-(\mathbf {f\cdot v} )\left(1-{\frac {1}{\gamma _{v}}}\right)\right\}{\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}}{1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}}}\\\mathbf {f} &={\frac {{\frac {\mathbf {f} '}{\gamma _{v}}}+\left\{(\mathbf {f'\cdot u} '){\frac {v^{2}}{c^{2}}}+(\mathbf {f'\cdot v} )\left(1-{\frac {1}{\gamma _{v}}}\right)\right\}{\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}}{1+{\frac {\mathbf {v\cdot u'} }{c^{2}}}}}\end{aligned}}

(6b)

Правильное ускорение и надлежащая сила

Сила $f 0 {\ displaystyle \ mathbf {f} ^ {0}}$ $\mathbf {f} ^{0}$ в мгновение инерциальной системе отсчета, изме ряемой сопутствующими пружинными весами , можно назвать надлежащей силой. Это следует из (6a, 6b), задав $f ′ = f 0 {\ displaystyle \ mathbf {f} '= \ mathbf {f} ^ {0}}$ $\mathbf {f} '=\mathbf {f} ^{0}$ и $u ′ = 0 {\ displaystyle \ mathbf {u} '= 0}$ $\mathbf {u} '=0$ , а также $u = v {\ displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {v}}$ $\mathbf {u} =\mathbf {v}$ и $γ = γ v {\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {v}}$ $\gamma =\gamma _{v}$ . Таким образом, по (6a), где только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направление y, z) скорости $u = ux = v = vx {\ displaystyle u = u_ {x} = v = v_ {x}}$ $u=u_{x}=v=v_{x}$ считаются:

fx 0 = fxfy 0 = fy 1 - u 2 c 2 fz 0 = fz 1 - u 2 c 2 fx = fx 0 fy = fy 0 1 - u 2 c 2 fz = fz 0 1 - u 2 c 2 или f 0 = f (1, γ, γ) f = f 0 (1, 1 γ, 1 γ) {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c | cc} {\ begin {align} f_ {x} ^ {0} & = f_ {x} \\ f_ {y} ^ {0} & = {\ frac {f_ {y}} {\ sqrt {1 - { \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \\ f_ {z} ^ {0} & = {\ frac {f_ {z}} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} \ end {align}} & {\ begin {align} f_ {x} & = f_ {x} ^ {0} \ \ f_ {y } & = f_ {y} ^ {0} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \\ f_ {z} & = f_ {z} ^ {0} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ end {align}} & {\ text {или}} & {\ начало {выровнено} \ mathbf {f} ^ {0} & = \ mathbf {f} \ left (1, \ \ gamma, \ \ gamma \ right) \\\ mathbf {f} & = \ mathbf {f} ^ {0} \ left (1, \ {\ frac {1} {\ gamma}}, \ {\ frac {1} {\ gamma}} \ right) \ end {align}} \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}f_{x}^{0}&=f_{x}\\f_{y}^{0}&={\frac {f_{y}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\\f_{z}^{0}&={\frac {f_{z}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}f_{x}&=f_{x}^{0}\\f_{y}&=f_{y}^{0}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\f_{z}&=f_{z}^{0}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}\end{array}}

(7a )

Обобщено (6b) для произвольного направления значения $u {\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\mathbf {u}$ величина $| u | знак равно и {\ displaystyle | \ mathbf {u} | знак равно u}$ $|\mathbf {u} |=u$ :

f 0 знак равно f γ - (f ⋅ u) uu 2 (γ - 1) f = f 0 γ + (f 0 ⋅ u) uu 2 (1–1 γ) {\ Displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {f} ^ {0} & = \ mathbf {f} \ gamma - {\ frac {(\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u)}) \ mathbf {u}} {u ^ {2}}} (\ gamma -1) \\\ mathbf {f} & = {\ frac {\ mathbf {f} ^ {0}} {\ gamma}} + {\ frac {(\ mathbf {f} ^ {0} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {u}} {u ^ {2}}} \ left (1 - {\ frac {1} {\ gamma}} \ right) \ end {align} }}

{\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \gamma -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}(\gamma -1)\\\mathbf {f} &={\frac {\mathbf {f} ^{0}}{\gamma }}+{\frac {(\mathbf {f} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}

Временных инерциальных кадрах есть $γ = 1 {\ displaystyle \ gamma = 1}$ $\gamma=1$ , соотношение Ньютона $f 0 = ma 0 {\ displaystyle \ mathbf {f} ^ {0} = m \ mathbf {a} ^ {0}}$ $\mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}$ (что также следует из приведенного выше соотношения $F = m A {\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf { A}}$ $\mathbf {F} =m\mathbf {A}$ поскольку в кадре мгновенного покоя имеется $F = f 0 {\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {f} ^ {0}}$ $\mathbf {F} =\mathbf {f} ^{0}$ и $A = a 0 {\ displaystyle \ mathbf {A} = \ mathbf {a} ^ {0}}$ $\mathbf {A} =\mathbf {a} ^{0}$ ), поэтому (4a, 5b, 7a) можно резюмиро вать

f 0 = f (1, γ, γ) = ma 0 = ma (γ 3, γ 2, γ 2) f = f 0 (1, 1 γ, 1 γ) = ma 0 (1, 1 γ, 1 γ) знак равно ма (γ 3, γ, γ) {\ Displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {f} ^ {0} & = \ mathbf {f} \ left (1, \ \ gamma, \ \ gamma \ right) = m \ mathbf {a} ^ {0} = m \ mathbf {a} \ left (\ gamma ^ {3}, \ \ gamma ^ {2}, \ \ gamma ^ {2} \ right ) \\\ mathbf {f} & = \ mathbf {f} ^ {0} \ left (1, \ {\ frac {1} {\ gamma}}, \ {\ frac {1} {\ gamma}} \ right) = m \ mathbf {a} ^ {0} \ left (1, \ {\ frac {1} {\ gamma}}, \ {\ frac {1} {\ gamma}} \ right) = m \ mathbf {a} \ left (\ gamma ^ {3}, \ \ gamma, \ \ gamma \ right) \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=m\mathbf {a} ^{0}=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)\\\mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)=m\mathbf {a} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ,\ \gamma \right)\end{aligned}}

(7b)

Таким образом, очевидное противоречие в исторических определениях поперечной массы $м ⊥ {\ displaystyle m _ {\ perp}}$ $m_{\perp }$ можно объяснить. Эйнштейн (1905) описал связь между трехскоростным ускорением и собственной силой

m ⊥ E instein = fy 0 ay = fz 0 az = m γ 2 {\ displaystyle m _ {\ perp \ \ mathrm {Einstein}} = {\ гидроразрыв {f_ {y} ^ {0}} {a_ {y}}} = {\ frac {f_ {z} ^ {0}} {a_ {z}}} = m \ gamma ^ {2}}

m_{\perp \ \mathrm {Einstein} }={\frac {f_{y}^{0}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}^{0}}{a_{z}}}=m\gamma ^{2}

в то время как Лоренц (1899, 1904) и Планк (1906) описали связь между тремя ускорениями и тремя силами

m ⊥ L orentz = fyay = fzaz = m γ {\ displaystyle m _ {\ perp \ \ mathrm {Lorentz} } = {\ frac {f_ {y}} {a_ {y}}} = {\ frac {f_ {z}} {a_ {z}}} = m \ gamma}

m_{\perp \ \mathrm {Lorentz} }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma

Изогнутые мировые линии

Интегрированием уравнений движения можно получить искривленные мировые линии ускоренных тел, соответствующие последовательности мгновенных инерциальных систем отсчета (здесь выражение «изогнутые» относится к форме мировых линий на диаграммах Минковского, которые не должны быть путать с "искривленным" пространством-временем ОТО). В связи с этим должна быть рассмотрена так называемая гипотеза часов постулата часов: собственное время движущихся часов не зависит от ускорения, то есть замедления времени этих часов, как видно из внешнего инерциальная система отсчета зависит только от ее относительной скорости по отношению к этой системе отсчета. Два простых случая искривленных мировых линий теперь обеспечиваются интегрированием уравнения (4a) для надлежащего ускорения:

a) Гиперболическое движение : постоянное продольное собственное ускорение $α = ax 0 = ax γ 3 {\ displaystyle \ alpha = a_ {x} ^ {0} = a_ {x} \ gamma ^ {3}}$ $\alpha =a_{x}^{0}=a_{x}\gamma ^{3}$ by (4a) ведет к мировой линии

t (τ) = c α sh α τ c, x (τ) = c 2 α (ch ⁡ α τ c - 1), y = 0, z = 0, τ (t) = c α ln ⁡ (1 + (α tc) 2 + α tc), Икс (T) знак равно с 2 α (1 + (α TC) 2-1) {\ Displaystyle {\ begin {align} & t (\ tau) = {\ frac {c} {\ alpha}} \ sinh {\ frac {\ alpha \ tau} {c}}, \ quad x (\ tau) = {\ frac {c ^ {2}} {\ alpha}} \ left (\ cosh {\ frac {\ alpha \ tau} {c}} - 1 \ right), \ quad y = 0, \ quad z = 0, \\ & \ tau (t) = {\ frac {c} { \ alpha}} \ ln \ left ({\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ alpha t} {c}} \ right) ^ {2}}} + {\ frac {\ alpha t} {c }} \ right), \ quad x (t) = {\ frac {c ^ {2}} {\ alpha}} \ left ({\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ alpha t} {c }} \ right) ^ {2}}} - 1 \ right) \ end {align}}}

{\begin{aligned}&t(\tau )={\frac {c}{\alpha }}\sinh {\frac {\alpha \tau }{c}},\quad x(\tau )={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right),\quad y=0,\quad z=0,\\&\tau (t)={\frac {c}{\alpha }}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}+{\frac {\alpha t}{c}}\right),\quad x(t)={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}-1\right)\end{aligned}}

(8)

Мировая линия соответствует гиперболическому уравнению $c 4 / α 2 = (x + c 2 / α) 2 - c 2 t 2 {\ displaystyle c ^ {4} / \ alpha ^ {2 } = \ left (x + c ^ {2} / \ alpha \ right) ^ {2} -c ^ {2} t ^ {2}}$ $c^{4}/\alpha ^{2}=\left(x+c^{2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}t^{2}$ , от которого происходит название гиперболическое движение. Эти уравнения часто используются для расчета различных сценариев парадокса близнецов или парадокса космического корабля Белла, или в отношении космических путешествий с использованием постоянного ускорения.

б) постоянное поперечное собственное ускорение $ay 0 = ay γ 2 {\ displaystyle a_ {y} ^ {0} = a_ {y} \ gamma ^ {2}}$ $a_{y}^{0}=a_{y}\gamma ^{2}$ by (4a) можно рассматривать как центростремительное ускорение, ведущее к мировой линии тела, вращающегося равномерно

x = r cos ⁡ Ω 0 t = r cos ⁡ Ω τ y = r sin ⁡ Ω 0 t = r грех ⁡ Ω τ z знак равно zt = γ τ знак равно τ 1 - (r Ω 0 c) 2 знак равно τ 1 + (r Ω c) 2 {\ displaystyle {\ begin {align} x & = r \ cos \ Omega _ {0} t = r \ cos \ Omega \ tau \\ y & = r \ sin \ Omega _ {0} t = r \ sin \ Omega \ tau \\ z & = z \\ t & = \ gamma \ tau = {\ frac {\ tau} { \ sqrt {1- \ left ({\ frac {r \ Omega _ {0}} {c}} \ right) ^ {2}}}} = \ tau {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac { r \ Omega} {c}} \ right) ^ {2}}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}x&=r\cos \Omega _{0}t=r\cos \Omega \tau \\y&=r\sin \Omega _{0}t=r\sin \Omega \tau \\z&=z\\t&=\gamma \tau ={\frac {\tau }{\sqrt {1-\left({\frac {r\Omega _{0}}{c}}\right)^{2}}}}=\tau {\sqrt {1+\left({\frac {r\Omega }{c}}\right)^{2}}}\end{aligned}}

, гд е $v = r Ω 0 {\ displaystyle v = r \ Omega _ {0}}$ $v=r\Omega _{0}$ - тангенциальная скорость, $r {\ displaystyle r}$ $r$ - o rбитальный радиус, $Ω 0 {\ displaystyle \ Omega _ {0}}$ $\Omega _{0}$ - это угловая скорость как функция координатного времени, а $Ω = γ Ω 0 {\ displaystyle \ Omega = \ gamma \ Omega _ {0}}$ $\Omega =\gamma \Omega _{0}$ как правильная угловая скорость.

Классификация искривленных мировых линий может быть получена с помощью дифференциальной геометрии тройных кривых, которая может быть выражена формулами Френе-Серре пространства-времени. В частности, можно показать, что гиперболическое движение и равномерное круговое движение являются частными случаями движений, имеющими постоянные кривизны и скручивания, удовлетворяющие условию жесткости Борна. Тело называется жестким по Борну, пространственно-временным расстоянием между его бесконечно удаленными мировыми линиями или точками постоянным во время ускорения.

Ускоренные системы отсчета

Вместо инерциальных систем ускоренные движения и искривленные мировые линии могут также использовать использование ускоренных или криволинейных координат. Правильная система отсчета, установленная таким образом, связана с координатами Ферми. Например, координаты системы отсчета с гиперболическим ускорением иногда называются координатами Риндлера, координатами равномерно вращающейся системы отсчета называются вращающимися цилиндрическими координатами (или иногда координатами Борна ). С точки зрения принципа эквивалентности , наблюдающиеся в этих ускоренных системах отсчета, аналогичные эффекты в однородном фиктивном гравитационном поле. Таким образом, можно увидеть, что использование ускоряющих систем отсчета в СТО приводит к важным математическим соотношениям, которые (при дальнейшем развитии) играют фундаментальную роль в описании реальных, неоднородных гравитационных полей в терминах искривленного пространства-времени в общей теории относительности.

История

Для получения дополнительной информации см. Фон Лауэ, Паули, Миллера, Захара, Гургулхона и исторические источники в специальной теории относительности.

1899:

Хендрик Лоренц вывел правильные (с точностью до определенного коэффициента

ϵ {\ displaystyle \ epsilon }

\epsilon

) соотношения для ускорений, сил и масс между покоящимися электростатическими системами частиц

S 0 {\ displaystyle S_ {0}}

S_{{0}}

(в стационарном эфире ) и система

S {\ displaystyle S}

S

, вызывающая через него добавление перевода, с

k {\ displaystyle k}

k

в качестве фактора Лоренца:

1 ϵ 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {\ epsilon ^ {2}}}}

{\frac {1}{\epsilon ^{2}}}

1 к ϵ 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {k \ epsilon ^ {2}}}}

{\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}

1 к ϵ 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {k \ epsilon ^ {2}}}}

{\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}

для

f / f 0 {\ displaystyle \ mathbf {f} / \ mathbf {f} ^ {0}}

\mathbf {f} /\mathbf {f} ^{0}

на (7a);

1 к 3 ϵ {\ displaystyle {\ frac {1} {k ^ {3} \ epsilon}}}

{\frac {1}{k^{3}\epsilon }}

1 к 2 ϵ {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {к ^ {2} \ epsilo п} }}

{\frac {1}{k^{2}\epsilon }}

1 К 2 ϵ {\ displaystyle {\ frac {1} {k ^ {2} \ epsilon}}}

{\frac {1}{k^{2}\epsilon }}

для

а / а 0 {\ displaystyle \ mathbf {a } / \ mathbf {a} ^ {0}}

\mathbf {a} /\mathbf {a} ^{0}

по (4a);

k 3 ϵ {\ displaystyle {\ frac {k ^ {3}} {\ epsilon}}}

{\frac {k^{3}}{\epsilon }}

к ϵ {\ displaystyle {\ frac {k} {\ epsilon}}}

{\frac {k}{\epsilon }}

к ϵ {\ displaystyle {\ frac {k} {\ epsilon}}}

{\frac {k}{\epsilon }}

для

f / ( ma) {\ displaystyle \ mathbf {f} / (m \ mathbf {a})}

\mathbf {f} /(m\mathbf {a} )

, таким образом, продольная и поперечная масса (5b);

Лоренц объяснил, что у него нет для определения значений

ϵ {\ displaystyle \ эпсилон}

\epsilon

. Если бы он установил

ϵ = 1 {\ displaystyle \ epsilon = 1}

\epsilon=1

, его выражения приняли бы точную релятивистскую форму...

1904:

Лоренц получил предыдущее более детально, а именно относительно свойств частиц, находящихся в системе

Σ ′ {\ displaystyle \ Sigma '}

\Sigma '

и подвижной системе

Σ {\ displaystyle \ Sigma}

\Sigma

, с новой вспомогательной функцией

l {\ displaystyle l}

l

, равной

1 / ϵ {\ displaystyle 1 / \ epsilon}

1/\epsilon

по сравнению с 1899, таким образом:

F (Σ) = (l 2, l 2 k, l 2 k) F (Σ ′) {\ displaystyle {\ mathfrak {F}} (\ Sigma) = \ left (l ^ {2}, \ {\ frac {l ^ {2}} {k}}, \ {\ frac {l ^ {2}} {k}} \ right) {\ mathfrak { F}} (\ Sigma ')}

{\mathfrak {F}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right){\mathfrak {F}}(\Sigma ')

для

f {\ displaystyle \ mathbf {f}}

\mathbf {f}

как функция от

f 0 {\ displaystyle \ mathbf {f } ^ {0}}

\mathbf {f} ^{0}

на (7a);

mj (Σ) = (l 2, l 2 k, l 2 k) mj (Σ ′) {\ displaystyle m {\ mathfrak {j}} (\ Sigma) = \ left (l ^ {2}, \ {\ frac {l ^ {2}} {k}}, \ {\ frac {l ^ {2}} {k}} \ right) m { \ mathfrak {j}} (\ Sigma ')}

m{\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right)m{\mathfrak {j}}(\Sigma ')

для

ma {\ displaystyle m \ mathbf {a}}

m\mathbf {a}

к функция ак

ma 0 {\ displaystyle m \ mathbf {a} ^ {0}}

m\mathbf {a} ^{0}

на (7b);

j (Σ) = (lk 3, lk 2, lk 2) j (Σ ′) {\ Displaystyle {\ mathfrak {j}} (\ Sigma) = \ left ({\ frac {l} {k ^ {3}}}, \ {\ frac {l} {k ^ {2}}} , \ {\ frac {l} {k ^ {2}}} \ right) {\ mathfrak {j}} (\ Sigma ')}

{\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left({\frac {l}{k^{3}}},\ {\frac {l}{k^{2}}},\ {\frac {l}{k^{2}}}\right){\mathfrak {j}}(\Sigma ')

для

a {\ displaystyle \ mathbf {a }}

\mathbf {a}

как функция от

a 0 {\ displaystyle \ mathbf {a} ^ {0}}

\mathbf {a} ^{0}

на (4a);

m (Σ) знак равно (К 3 l , kl, kl) м (Σ ′) {\ displaystyle m (\ Sigma) = \ left (k ^ {3} l, \ kl, \ kl \ right) m (\ Sigma ')}

m(\Sigma )=\left(k^{3}l,\ kl,\ kl\right)m(\Sigma ')

для продольной и поперечной массы как функции покоя на (5b, 7b).

На этот раз Лоренц смог показать, что

l = 1 {\ displaystyle l = 1}

l=1

, благодаря чему его формулы принимают точный релятивистский вид. Он также сформулировал уравнение движения

F = d G dt {\ displaystyle {\ displaystyle {\ mathfrak {F}} = {\ frac {d {\ mathfrak {G}}} {dt}}}}

{\displaystyle {\mathfrak {F}}={\frac {d{\mathfrak {G}}}{dt}}}

г = е 2 6 π с 2 р klw {\ displaystyle {\ displaystyle {\ mathfrak {G}} = {\ frac {e ^ {2}} {6 \ pi c ^ {2} R }} kl {\ mathfrak {w}}}}

{\displaystyle {\mathfrak {G}}={\frac {e^{2}}{6\pi c^{2}R}}kl{\mathfrak {w}}}

, что соответствует (5c) с

f = dpdt = d (m γ u) dt {\ displaystyle \ mathbf {f} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = {\ frac {d (m \ gamma \ mathbf {u})} {dt}}}

\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}

, где

l = 1 {\ displaystyle l = 1}

l=1

F = f {\ displaystyle {\ mathfrak {F}} = \ mathbf {f}}

{\mathfrak {F}}=\mathbf {f}

G = p {\ displaystyle {\ mathfrak {G}} = \ mathbf {p} }

{\mathfrak {G}}=\mathbf {p}

w = u {\ displaystyle {\ mathfrak {w}} = \ mathbf {u}}

{\mathfrak {w}}=\mathbf {u}

k = γ {\ displaystyle k = \ gamma}

k=\gamma

e 2 / (6 π c 2 R) = m {\ displaystyle e ^ {2} / (6 \ pi c ^ {2} R) = m}

e^{2}/(6\pi c^{2}R)=m

как электромагнитная масса покоя. Кроме того, он утвержден, что движение Земли остается необнаружимым...

1905:

Анри Пуанкаре введено преобразование трехсил (6a):

X 1 ′ = kl 3 ρ ρ ′ (X 1 + ϵ Σ X 1 ξ), Y 1 ′ = ρ ρ ′ Y 1 l 3, Z 1 ′ = ρ ρ ′ Z 1 l 3 {\ Displaystyle X_ {1} ^ {\ prime} = {\ frac {k} {l ^ {3}}} {\ frac {\ rho} {\ rho ^ {\ prime}}} \ left (X_ {1} + \ epsilon \ Sigma X_ {1} \ xi \ right), \ quad Y_ {1} ^ {\ prime} = {\ frac { \ rho} {\ rho ^ {\ prime}}} {\ frac {Y_ {1}} {l ^ {3}}}, \ quad Z_ {1} ^ {\ prime} = {\ frac {\ rho} {\ rho ^ {\ prime}}} {\ frac {Z_ {1}} {l ^ {3}}}}

X_{1}^{\prime }={\frac {k}{l^{3}}}{\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}\left(X_{1}+\epsilon \Sigma X_{1}\xi \right),\quad Y_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Y_{1}}{l^{3}}},\quad Z_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Z_{1}}{l^{3}}}

ρ ρ ′ = kl 3 (1 + ϵ ξ) {\ displaystyle {\ frac {\ rho} {\ rho ^ {\ prime}}} = {\ frac {k} {l ^ {3}}} (1+ \ epsilon \ xi)}

{\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}={\frac {k}{l^{3}}}(1+\epsilon \xi )

k {\ displaystyle k}

k

как фактор Лоренца,

ρ {\ displaystyle \ rho}

\rho

плотность заряда. Или в современной записи:

ϵ = v {\ displaystyle \ epsilon = v}

\epsilon =v

ξ = ux {\ displaystyle \ xi = u_ {x}}

\xi =u_{x}

(X 1, Y 1, Z 1) = е {\ displaystyle \ left (X_ {1}, \ Y_ {1}, \ Z_ {1} \ right) = \ mathbf {f}}

\left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f}

Σ X 1 ξ = f ⋅ U {\ Displaystyle \ Sigma X_ {1} \ xi = \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}

\Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}

. В качестве Лоренца он установил

l = 1 {\ displaystyle l = 1}

l=1

...

1905:

Альберт Эйнштейн вывел уравнения на основе своей специальной теории относительности, которые выделяют соотношение между одинаково действительными инерциальными системами отсчета без воздействия механического эфира. Эйнштейн пришел к выводу, что в мгновенной инерциальной системе отсчета

k {\ displaystyle k}

k

уравнения движения сохраняют свою ньютоновскую формулу:

μ d 2 ξ d τ 2 = ϵ X ′, μ d 2 η d τ 2 знак равно ϵ Y ', μ d 2 ζ d τ 2 знак равно ϵ Z' {\ displaystyle \ mu {\ frac {d ^ {2} \ xi} {d \ tau ^ {2}}} = \ эпсилон X ', \ quad \ mu {\ frac {d ^ {2} \ eta} {d \ tau ^ {2}}} = \ epsilon Y', \ quad \ mu {\ frac {d ^ {2 } \ zeta} {d \ tau ^ {2}}} = \ epsilon Z '}

\mu {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=\epsilon X',\quad \mu {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Y',\quad \mu {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Z'

Это соответствует

f 0 = ma 0 {\ displaystyle \ mathbf {f} ^ {0} = m \ mathbf { a} ^ {0}}

\mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}

, так как

μ = m {\ displaystyle \ mu = m}

\mu =m

(d 2 ξ d τ 2, d 2 η d τ 2, d 2 ζ d τ 2) знак равно a 0 {\ displaystyle \ left ({\ frac {d ^ {2} \ xi} {d \ tau ^ {2}}}, \ {\ frac { d ^ {2} \ eta} {d \ tau ^ {2}}}, \ {\ frac {d ^ {2} \ zeta} {d \ tau ^ {2}}} \ right) = \ mathbf {a } ^ {0}}

\left({\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}\right)=\mathbf {a} ^{0}

(ϵ X ', ϵ Y', ϵ Z ') = f 0 {\ displaystyle \ left (\ epsilon X', \ \ epsilon Y ', \ \ epsilon Z '\ right) = \ mathbf {f} ^ {0}}

\left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}

. Путем преобразование в относительно движущуюся систему

K {\ displaystyle K}

K

он получил уравнения для электрических и магнитных компонентов, наблюдаемых в этой системе отсчета:

d 2 xdt 2 = ϵ μ 1 β 3 Икс , d 2 ярд 2 знак равно ϵ μ 1 β (Y - v VN), d 2 zdt 2 = ϵ μ 1 β (Z + v VM) {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = {\ frac {\ epsilon} {\ mu}} {\ frac {1} {\ beta ^ {3}}} X, \ quad {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = {\ frac {\ epsilon} {\ mu}} {\ frac {1} {\ beta}} \ left (Y - {\ frac {v} {V}} N \ right), \ quad {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} = {\ frac {\ epsilon} {\ mu}} {\ frac {1} {\ beta}} \ left (Z + {\ frac {v} {V}} M \ right)}

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta ^{3}}}X,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Y-{\frac {v}{V}}N\righ t),\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)

Это соответствует (5b) с

a = fm (1 γ 3, 1 γ, 1 γ) {\ displaystyle \ mathbf {a } = {\ frac {\ mathbf {f}} {m}} \ left ({\ frac {1} {\ gamma ^ {3}}}, \ {\ frac {1} {\ gamma}}, \ { \ frac {1} {\ gamma}} \ right)}

\mathbf {a} ={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)

, потому что

μ = m {\ displaystyle \ mu = m}

\mu =m

(d 2 xdt 2, d 2 ярд 2, d 2 z dt 2) = a {\ displaystyle \ left ({\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}}, \ {\ frac {d ^ {2}) y} {dt ^ {2} }}, \ {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} \ right) = \ mathbf {a}}

\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)=\mathbf {a}

[ϵ X, ϵ (Y - v VN), ϵ (Z + v VM)] = е {\ displaystyle \ left [\ epsilon X, \ \ epsilon \ left (Y - {\ frac {v} {V}} N \ right), \ \ эпсилон \ влево (Z + {\ гидроразрыва {v} {V}} M \ right) \ right] = \ mathbf {f}}

\left[\epsilon X,\ \epsilon \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\ \epsilon \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)\right]=\mathbf {f}

β = γ {\ displaystyle \ beta = \ гамма}

\beta =\gamma

. Следовательно, Эйнштейн определил продольную и поперечную массу, хотя он связал ее с силой

(ϵ X ′, ϵ Y ′, ϵ Z ′) = f 0 {\ displaystyle \ left (\ epsilon X ', \ \ epsilon Y' , \ \ epsilon Z '\ right) = \ mathbf {f} ^ {0}}

\left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}

в кадре мгновенного покоя, измеренном с помощью движущихся пружинных весов, и для трех ускорений

a {\ displaystyle \ mathbf {a}}

\mathbf {a}

в системе

K {\ displaystyle K}

K

μ β 3 d 2 xdt 2 = ϵ X = ϵ X ′ μ β 2 d 2 ydt 2 = ϵ β ( Y - v VN) = ϵ Y ′ μ β 2 d 2 zdt 2 = ϵ β (Z + v VM) = ϵ Z ′ μ (1 - (v V) 2) 3 продольная масса μ 1 - (v V) 2 поперечная масса {\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ begin {align} \ mu \ beta ^ {3} {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} & = \ epsilon X = \ epsilon X '\\\ mu \ бета ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} & = \ epsilon \ beta \ left (Y - {\ frac {v} {V}} N \ right) = \ epsilon Y '\\\ mu \ beta ^ {2} {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} & = \ epsilon \ beta \ left (Z + {\ frac {v} {V}} M \ right) = \ epsilon Z '\ end {align}} & {\ begin {align} {\ frac {\ mu} {\ left ({\ sqrt {1- \ left ({\ frac { v} {V}} \ right) ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} & \ {\ text {продольная масса}} \\\\ {\ frac {\ mu} {1- \ left ({\ frac {v} {V}} \ right) ^ {2}}} & \ {\ text {поперечная масса}} \ end {align}} \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mu \beta ^{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=\epsilon X=\epsilon X'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right)=\epsilon Y'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)=\epsilon Z'\end{aligned}}&{\begin{aligned}{\frac {\mu }{\left({\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}\right)^{3}}}&\ {\text{longitudinal mass}}\\\\{\frac {\mu }{1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}&\ {\text{transverse mass}}\end{aligned}}\end{array}}

Это соответствует (7b) с

ма (γ 3, γ 2, γ 2) = f (1, γ, γ) = f 0 {\ displaystyle m \ mathbf {a} \ left (\ gamma ^ {3}, \ \ gamma ^ {2}, \ \ gamma ^ {2} \ right) = \ mathbf {f} \ left (1, \ \ gamma, \ \ gamma \ right) = \ mathbf {f} ^ {0}}

m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=\mathbf {f} ^{0}

...

1905:

Пуанкаре ввод преобразование трех ускорений (1c):

d ξ ′ dt ′ = d ξ dt 1 k 3 μ 3, d η ′ Dt ′ знак равно d η dt 1 k 2 μ 2 - d ξ dt η ϵ k 2 μ 3, d ζ ′ dt ′ = d ζ dt 1 k 2 μ 2 - d ξ dt ζ ϵ К 2 μ 3 {\ displaystyle {\ frac {d \ xi ^ {\ prime}} {dt ^ {\ prime}}} = {\ frac {d \ xi} {dt}} {\ frac {1} {k ^ {3} \ mu ^ {3}}}, \ quad {\ frac {d \ eta ^ {\ prime}} {dt ^ {\ prime}}} = {\ frac {d \ eta } {dt}} {\ frac {1} {k ^ {2} \ mu ^ {2}}} - {\ frac {d \ xi} {dt}} {\ frac {\ eta \ epsilon} {k ^ {2} \ mu ^ {3}}}, \ quad {\ frac {d \ zeta ^ {\ prime}} {dt ^ {\ prime}}} = {\ frac {d \ zeta} {dt}} { \ frac {1} {k ^ {2} \ м u ^ {2}}} - {\ frac {d \ xi} {dt}} {\ frac {\ zeta \ epsilon} {k ^ {2} \ mu ^ {3}}}}

{\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\xi }{dt}}{\frac {1}{k^{3}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\eta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\eta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\zeta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\zeta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\zeta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}}

где

(ξ, η, ζ) = U {\ displaystyle \ left (\ xi, \ \ eta, \ \ zeta \ right) = \ mathbf {u}}

\left(\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right)=\mathbf {u}

, а также

k = γ {\ displaystyle k = \ gamma}

k=\gamma

ϵ = v {\ displaystyle \ epsilon = v}

\epsilon =v

μ = 1 + ξ ϵ = 1 + uxv {\ displaystyle \ mu = 1 + \ xi \ epsilon = 1 + u_ {x} v}

\mu =1+\xi \epsilon =1+u_{x}v

Кроме того, он ввел четыре силы в форме:

К 0 Икс 1, К 0 Y 1, К 0 Z 1, К 0 T 1 {\ displaystyle k_ {0} X_ {1}, \ quad k_ {0} Y_ {1}, \ quad k_ {0} Z_ {1}, \ quad k_ {0} T_ {1}}

k_{0}X_{1},\quad k_{0}Y_{1},\quad k_{0}Z_{1},\quad k_{0}T_{1}

где

k 0 = γ 0 {\ displaystyle k_ {0} = \ gamma _ {0}}

k_{0}=\gamma _{0}

(Икс 1, Y 1, Z 1) = е {\ displaystyle \ left (X_ {1}, \ Y_ {1}, \ Z_ {1} \ right) = \ mathbf {f}}

\left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f}

T 1 знак равно Σ Икс 1 ξ = е ⋅ U {\ Displaystyle T_ {1} = \ Sigma X_ {1} \ xi = \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}

T_{1}=\Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}

...

1906:

Макс Планк вывел уравнение движения

mx ¨ 1 - q 2 c 2 = e E x - ex ˙ c 2 (x ˙ E x + y ˙ E y + z ˙ E z) + ec (y ˙ H z - z ˙ H пока что c. {\ displaystyle {\ frac {m {\ ddot {x}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {q ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = e {\ mathfrak {E }} _ {x} - {\ frac {e {\ dot {x}}} {c ^ {2}}} \ left ({\ dot {x}} {\ mathfrak {E}} _ {x} + {\ dot {y}} {\ mathfrak {E}} _ {y} + {\ dot {z}} {\ mathfrak {E}} _ {z} \ right) + {\ frac {e} {c} } \ left ({\ dot {y}} {\ mathfrak {H}} _ {z} - {\ dot {z}} {\ mathfrak {H}} _ {y} \ right) \ {\ text {и т. д.}}}

{\frac {m{\ddot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}=e{\mathfrak {E}}_{x}-{\frac {e{\dot {x}}}{c^{2}}}\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)\ {\text{etc.}}

e (x ˙ E x + y ˙ E y + z ˙ E z) = m (x ˙ x ¨ + y ˙ y ¨ + z ˙ z ¨) (1 - q 2 c 2) 3/2 {\ displaystyle e \ left ({\ dot {x}} {\ mathfrak {E}} _ {x} + {\ dot {y}} {\ mathfrak {E}} _ { y} + {\ dot {z}} {\ mathfrak {E}} _ {z} \ right) = {\ frac {m \ left ({\ dot {x}} {\ ddot {x}} + {\ точка {y}} {\ ddot {y}} + {\ dot {z}} {\ ddot {z}} \ right)} {\ left (1 - {\ frac {q ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3/2}}}}

e\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)={\frac {m\left({\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}\right)}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}

e E x + ec (y ˙ H z - z ˙ H y) = X и т. Д. {\ displaystyle е {\ mathfrak {E}} _ {x} + {\ frac {e} {c}} \ left ({\ dot {y}} {\ mathfrak {H}} _ {z} - {\ точка {z}} {\ mathfrak {H}} _ {y} \ right) = X \ {\ text {и т. д.}}}

e{\mathfrak {E}}_{x}+{\frac {e}{c}}\left( {\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)=X\ {\text{etc.}}

ddt {mx ˙ 1 - q 2 c 2} = X и т. д.. {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left \ {{\ frac {m {\ do) t {x}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {q ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} \ right \} = X \ {\ text {и т. д.}}}

{\frac {d}{dt}}\left\{{\frac {m{\dot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}\right\}=X\ {\text{etc.}}

Уравнения соответствуют (5c) с

f = dpdt = d (m γ u) dt = m γ 3 ((a ⋅ u) uc 2) + m γ a {\ displaystyle \ mathbf {f} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = {\ frac {d (m \ gamma \ mathbf {u})} {dt}} = m \ gamma ^ {3} \ left ({\ frac {(\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ right) + m \ gamma \ mathbf {a}}

\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a}

, с

X = fx {\ displaystyle X = f_ {x}}

X=f_{x}

q = v {\ displaystyle q = v}

q=v

x ˙ Икс ¨ + Y ˙ Y ¨ + Z ˙ Z ¨ знак равно U ⋅ a {\ displaystyle {\ dot {x}} {\ ddot {x}} + {\ dot {y}} {\ ddot { y}} + {\ dot {z}} {\ ddot {z}} = \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {a}}

{\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {a}

, в соответствии с данными Лоренца (1904 г.)...

1907:

Эйнштейн проанализировал равномерно ускоренную систему отсчета и получил формулы для координатно-зависимого замедления времени и скорости света, аналогичные приведенным Коттлер-Мёллер- координаты Риндлера...

1907:

Герман Минковский определил отношение между четырьмя силами (которые он назвал движущей силой) и четырьмя ускорениями

mdd τ dxd τ = R x, mdd τ dyd τ = R y, mdd τ dzd τ = R z, mdd τ dtd τ Знак равно R t {\ displaystyle m {\ frac {d} {d \ tau}} {\ frac {dx} {d \ tau}} = R_ {x}, \ quad m {\ frac {d} {d \ tau }} {\ frac {dy} {d \ tau}} = R_ {y}, \ quad m {\ frac {d} {d \ tau}} {\ frac {dz} {d \ tau}} = R_ { z}, \ quad m {\ frac {d} {d \ tau}} {\ frac {dt} {d \ tau}} = R_ {t}}

m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dx}{d\tau }}=R_{x},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dy}{d\tau }}=R_{y},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dz}{d\tau }}=R_{z},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dt}{d\tau }}=R_{t}

, что соответствует

m A = F { \ displaystyle m \ mathbf {A} = \ mathbf {F}}

m\mathbf {A} =\mathbf {F}

...

1908:

Минковский обозначает вторую производную

x, y, z, t {\ displaystyle x, y, z, t }

x,y,z,t

относительно собственного времени как «ускорения» (четырехкрат ное ускорение). Он показал, что его величина в произвольной точке

$P$ мировой линии равна $c 2 / ϱ {\ displaystyle c ^ {2} / \ varrho} <365.>$ $c^{2}/\varrho$ , где $ϱ {\ displaystyle \ varrho}$ $\varrho$ - величина вектора, направленного из центра присутствия «гиперболы кривизны» (немецкий : Krümmungshyperbel) по $P {\ displaystyle P}$ $P$ ...

1909:

Макс Борн обозначает движение с величиной движения ускорения Минковского как «гиперболическое движение» (немецкий : Hyperbelbewegung), в ходе изучения жестко ускоренного движения. Он установил

p = dx / d τ {\ displaystyle p = dx / d \ tau}

{\displaysty le p=dx/d\tau }

(теперь называется правильная скорость ) и

q = - dt / d. τ = 1 + p 2 / c 2 {\ displaystyle q = -dt / d \ tau = {\ sqrt {1 + p ^ {2} / c ^ {2}}}}

q=-dt/d\tau ={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}

как фактор Лоренца и

τ {\ displaystyle \ tau}

\tau

в качестве времени с уравнениями преобразования

x = - q ξ, y = η, z = ζ, t = pc 2 ξ {\ displaystyle x = -q \ xi, \ quad y = \ eta, \ quad z = \ zeta, \ quad t = {\ frac {p} {c ^ {2}}} \ xi}

x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi

, что соответствует (8) с

ξ = c 2 / α {\ displaystyle \ xi = c ^ {2} / \ alpha}

\xi =c^{2}/\alpha

p = c sinh ⁡ (α τ / c) {\ Стиль отображения р = с \ зп (\ альфа \ тау / с)}

p=c\sinh(\alpha \tau /c)

. Исключив

p {\ displaystyle p}

p

Борн вывел гиперболическое уравнение

x 2 - c 2 t 2 = ξ 2 {\ displaystyle x ^ {2} -c ^ {2} t ^ { 2} = \ xi ^ {2}}

x^{2}-c^{2}t^{2}=\xi ^{2}

и определил ускорение как

b = c 2 / ξ {\ displaystyle b = c ^ {2} / \ xi}

b=c^{2}/\xi

. Он также заметил, что его преобразование можно использовать для преобразования в «гиперболически ускоренную систему отсчета» (немецкий : hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem)...

1909:

Густав Херглотц расширяет расследование Борна на все возможные случаи жестко ускоренного движения, включая равномерное вращение...

1910:

Арнольд Зоммерфельд привел времени Борна для гиперболического движения в более сжатой форме:

l = ict {\ displaystyle l = ict}

l=ict

как переменная мнимого и

φ {\ displaystyle \ varphi}

\varphi

как мнимый угол:

x = r cos ⁡ φ, y = y ′, z = z ′, l = r sin ⁡ φ {\ displaystyle x = r \ соз \ varphi, \ quad y = y ', \ quad z = z', \ quad l = r \ sin \ varphi}

x=r\cos \varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi

Он отметил, что когда

r, y, z {\ displaystyle r, y, z}

r,y,z

являются переменными, а

φ {\ displaystyle \ varphi}

\varphi

- постоянными, они описывают мировую линию заряженного тела в гиперболическом движении. Но если

r, y, z {\ displaystyle r, y, z}

r,y,z

постоянны, а

φ {\ displaystyle \ varphi}

\varphi

- переменные, они обозначают преобразование в систему покоя.

1911:

Зоммерфельд явно использовал выражение «правильное ускорение» (немецкий : Eigenbeschleunigung) для величины

v ˙ 0 {\ displaystyle {\ dot {v} } _ {0}}

{\dot {v}}_{0}

v ˙ = v ˙ 0 (1 - β 2) 3/2 {\ displaystyle {\ dot {v}} = {\ dot {v}} _ {0} \ left (1- \ beta ^ {2} \ right) ^ {3/2}}

{\dot {v}}={\dot {v}}_{0}\left(1-\beta ^{2}\right)^{3/2}

, что соответствует (4a), как ускорение в мгновенной инерциальной системе отсчета...

1911:

Герглотц явно использовал выражение «ускорение покоя» (немецкий : Ruhbeschleunigung) вместо правильного ускорения. Он написал это в форме

γ l 0 = β 3 γ l {\ displaystyle \ gamma _ {l} ^ {0} = \ beta ^ {3} \ gamma _ {l}}

\gamma _{l}^{0}=\beta ^{3}\gamma _{l}

γ t 0 = β 2 γ t {\ displaystyle \ gamma _ {t} ^ {0} = \ beta ^ {2} \ gamma _ {t}}

\gamma _{t}^{0}=\beta ^{2}\gamma _{t}

, что соответствует (4a), где

β {\ displaystyle \ beta}

\beta

- коэффициент Лоренца, а

γ l 0 {\ displaystyle \ gamma _ {l} ^ {0}}

\gamma _{l}^{0}

или

γ t 0 {\ displaystyle \ gamma _ {t} ^ {0}}

\gamma _{t}^{0}

- продольная и поперечная составляющие ускорения покоя...

1911:

Макс фон Лауэ вывел в первом издании своей монографии "Das Relativitätsprinzip" преобразование для трех ускорений путем дифференцирования сложения скоростей

q ˙ x = (cc 2 - v 2 c 2 + vqx ′ ) 3 q ˙ x ′, Q ˙ Y знак равно (cc 2 - v 2 c 2 + vqx ′) 2 (q ˙ x ′ - vqy ′ q ˙ x ′ c 2 + vqx ′), {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathfrak {\ dot {q}}} _ {x} & = \ left ({\ frac {c {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} {c ^ { 2} + v {\ mathfrak {q}} _ {x} ^ {\ prime}}} \ right) ^ {3} {\ mathfrak {\ dot {q}}} _ {x} ^ {\ prime}, & {\ ma thfrak {\ dot {q}}} _ {y} & = \ left ({\ frac {c {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} {c ^ {2 } + v {\ mathfrak {q}} _ {x} ^ {\ prime}}} \ right) ^ {2} \ left ({\ mathfrak {\ dot {q}}} _ {x} ^ {\ prime } - {\ frac {v {\ mathfrak {q}} _ {y} ^ {\ prime} {\ mathfrak {\ dot {q}}} _ {x} ^ {\ prime}} {c ^ {2} + v {\ mathfrak {q}} _ {x} ^ {\ prime}}} \ right), \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right)^{3}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime },&{\mathfrak {\dot {q}}}_{y}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right)^{2}\left({\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime }-{\frac {v{\mathfrak {q}}_{y}^{\prime }{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime }}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right),\end{aligned}}

эквивалентно (1c), а также Пуанкаре (1905/6). Из этого он вывел преобразование ускорения покоя (эквивалент 4a) и, в конечном итоге, формулы для гиперболического движения, которое соответствует (8):

± qx = ± dxdt = cbtc 2 + b 2 t 2, ± (Икс - Икс 0) = CBC 2 + B 2 T 2, {\ Displaystyle \ pm {\ mathfrak {q}} _ {x} = \ pm {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {cbt } {\ sqrt {c ^ {2} + b ^ {2} t ^ {2}}}}, \ quad \ pm \ left (x-x_ {0} \ right) = {\ frac {c} {b }} {\ sqrt {c ^ {2} + b ^ {2} t ^ {2}}},}

\pm {\mathfrak {q}}_{x}=\pm {\frac {dx}{dt}}={\frac {cbt}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}}},\quad \pm \left(x-x_{0}\right)={\frac {c}{b}}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}},

таким образом

x 2 - c 2 t 2 = x 2 - u 2 = c 4 / б 2, y = η, z = ζ {\ displaystyle x ^ {2} -c ^ {2} t ^ {2} = x ^ {2} -u ^ {2} = c ^ {4} / b ^ {2}, \ quad y = \ eta, \ quad z = \ zeta}

x^{2}-c^{2}t^{2}=x^{2}-u^{2}=c^{4}/b^{2},\quad y=\eta ,\quad z=\zeta

и преобразование в гиперболическую систему отсчета с мнимым углом

φ {\ displaystyle \ varphi}

\varphi

X = R cos ⁡ φ L знак равно р грех ⁡ φ R 2 знак равно Икс 2 + L 2 загар ⁡ φ = LX {\ Displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ begin {align} X & = R \ cos \ varphi \\ L & = R \ sin \ varphi \ end {align}} & {\ begin {align} R ^ {2} & = X ^ {2 } + L ^ {2} \\\ tan \ varphi & = {\ frac {L} {X}} \ end {align}} \ end {array}}}

{\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}X&=R\cos \varphi \\L&=R\sin \varphi \end{aligned}}&{\begin{aligned}R^{2}&=X^{2}+L^{2}\\\tan \varphi &={\frac {L}{X}}\end{aligned}}\end{array}}

Он также написал преобразование ree-force as

K x = K x ′ + vc 2 (q ′ K ′) 1 + vqx ′ c 2, K y = K y ′ 1 - β 2 1 + vqx ′ c 2, K z = K z ′ 1 - β. 2 1 + vqx ′ c 2, {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathfrak {K}} _ {x} & = {\ frac {{\ mathfrak {K}} _ {x} ^ {\ prime} + {\ frac {v} {c ^ {2}}} ({\ mathfrak {q'K '}})} {1 + {\ frac {v {\ mathfrak {q}} _ {x} ^ {\ prime}} {c ^ {2}}}}}, & {\ mathfrak {K}} _ {y} & = {\ mathfrak {K}} _ {y} ^ {\ prime} {\ frac {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} {1 + {\ frac {v {\ mathfrak {q}} _ {x} ^ {\ prime}} {c ^ {2}}}}}, & {\ mathfrak {K}} _ {z} & = {\ mathfrak {K}} _ {z} ^ {\ prime} {\ frac {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} {1 + {\ frac {v {\ mathfrak {q}} _ {x} ^ {\ prime}} {c ^ {2}}}}}, \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\mathfrak {K}}_{x}&={\frac {{\mathfrak {K}}_{x}^{\prime }+{\frac {v}{c^{2}}}({\mathfrak {q'K'}})}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{y}&={\mathfrak {K}}_{y}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{z}&={\mathfrak {K}}_{z}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},\end{aligned}}

эквивалентно (6a), а также Пуанкаре (1905).

1912–1914:

Фридрих Коттлер получил общую ковариацию уравнений Максвелла и использовал четырехмерные формулы Френе-Серре для анализа жестких движений Борна, данные Херглотцем (1909). Он также получил подходящие системы отсчета для равномерного кругового движения...

1913:

фон Лауэ заменил во втором издании своей книги преобразование трехускорения в систему Минковского. вектор ускорения, для которого он придумал название «четырехкратное ускорение» (немецкий : Viererbeschleunigung), определяемый как

Y ˙ = d Y d τ {\ displaystyle {\ dot {Y}} = {\ гидроразрыв {dY} {d \ tau}}}

{\dot {Y}}={\frac {dY}{d\tau }}

Y {\ displaystyle Y}

Y

в качестве четырехскоростной. Он показал, что величина четырехкратного ускорения соответствует ускорению покоя

q ˙ 0 {\ displaystyle {\ dot {\ mathfrak {q}}} ^ {0}}

{\dot {\mathfrak {q}}}^{0}

на

| Y | ˙ = 1 c | q ˙ 0 | {\ displaystyle | {\ dot {Y |}} = {\ frac {1} {c}} | {\ dot {\ mathfrak {q}}} ^ {0} |}

|{\dot {Y|}}={\frac {1}{c}}|{\dot {\mathfrak {q}}}^{0}|

, что соответствует (4b). Впоследствии он вывел те же формулы, что и в 1911 году, для преобразования ускорения покоя и гиперболического движения, а также гиперболической системы отсчета.

Ссылки

^Misner & Thorne & Wheeler (1973), p. 163: «Ускоренное движение и ускоренные наблюдатели могут быть проанализированы с помощью специальной теории относительности».
^ фон Лауэ (1921)
^ Паули (1921)
^Sexl & Schmidt (1979), стр. 116
^Мёллер (1955), стр. 41
^Толмен (1917), стр. 48
^Французский (1968), стр. 148
^Захар (1989), стр. 232
^Фройнд (2008), стр. 96
^Копейкин, Ефроимский, Каплан (2011), с. 141
^Рахаман (2014), стр. 77
^ Паули (1921), стр. 627
^ Фройнд (2008), стр. 267-268
^Аштекар и Петков (2014), стр. 53
^Sexl & Schmidt (1979), стр. 198, Решение примера 16.1
^ Ferraro (2007), стр. 178
^Sexl & Schmidt (1979), стр. 121
^ Копейкин, Ефроимский, Каплан (2011), с. 137
^ Риндлер (1977), стр. 49-50
^ фон Лауэ (1921), стр. 88-89
^Ребхан (1999), стр. 775
^Николич (2000), ур. 10
^Риндлер (1977), стр. 67
^ Sexl & Schmidt (1979), решение примера 16.2, стр. 198
^ Фройнд (2008), стр. 276
^ Мёллер (1955), стр. 74-75
^ Риндлер (1977), стр. 89-90
^ фон Лауэ (1921), стр. 210
^Паули (1921), стр. 635
^ Толмен (1917), стр. 73-74
^фон Лауэ (1921), стр. 113
^Мёллер (1955), стр. 73
^Копейкин, Ефроимский и Каплан (2011), с. 173
^ Shadowitz (1968), стр. 101
^ Пфеффер и Нир (2012), стр. 115, «В особом случае, когда частица на мгновение находится в состоянии покоя относительно наблюдателя S, сила, которую он измеряет, будет правильной силой».
^ Мёллер (1955), стр. 74
^Ребхан (1999), стр. 818
^см. Уравнения Лоренца 1904 года и уравнения Эйнштейна 1905 года в разделе по истории
^ Mathpages (см. Внешние ссылки), «Поперечная масса в электродинамике Эйнштейна», ур. 2,3
^Риндлер (1977), стр. 43
^Koks (2006), раздел 7.1
^Fraundorf (2012), раздел IV-B
^PhysicsFAQ (2016), см. Внешние ссылки.
^Паури и Валлиснери (2000), ур. 13
^Бини, Лусанна и Машхун (2005), ур. 28,29
^Synge (1966)
^Pauri & Vallisneri (2000), Приложение A
^Misner & Thorne & Wheeler (1973), Раздел 6
^ Gourgoulhon (2013), вся книга
^Miller (1981)
^Захар (1989)

Библиография

Аштекар, А.; Петков, В. (2014). Справочник Спрингера по пространству-времени. Springer. ISBN 978-3642419928.
Bini, D.; Lusanna, L.; Машхун, Б. (2005). «Ограничения радиолокационных координат». Международный журнал современной физики D. 14(8): 1413–1429. arXiv : gr-qc / 0409052. Bibcode : 2005IJMPD..14.1413B. DOI : 10.1142 / S0218271805006961. S2CID 17909223.
Ферраро, Р. (2007). Пространство-время Эйнштейна: Введение в специальную и общую теорию относительности. Спектрум. ISBN 978-0387699462.
Фраундорф П. (2012). «Введение в кинематику, ориентированное на путешественников». IV-B. arXiv : 1206.2877 [Physics.pop-ph ].
French, A.P. (1968). Специальная теория относительности. CRC Press. ISBN 1420074814.
Фройнд, Дж. (2008). Специальная теория относительности для начинающих: Учебник для студентов. World Scientific. ISBN 978-9812771599.
Гургулхон, Э. (2013). Специальная теория относительности в общих рамках: от частиц до астрофизики. Springer. ISBN 978-3642372766.
фон Лауэ, М. (1921). Die Relativitätstheorie, Band 1 (четвертое издание "Das Relativitätsprinzip" изд.). Vieweg. ; Первое издание 1911 г., второе расширенное издание 1913 г., третье расширенное издание 1919 г.
Кокс Д. (2006). Исследования по математической физике. Springer. ISBN 0387309438.
Копейкин, С.; Ефроимский, М.; Каплан, Г. (2011). Релятивистская небесная механика Солнечной системы. Джон Вили и сыновья. ISBN 978-3527408566.
Миллер, Артур И. (1981). Специальная теория относительности Альберта Эйнштейна. Возникновение (1905 г.) и ранняя интерпретация (1905–1911 гг.). Чтение: Эддисон – Уэсли. ISBN 0-201-04679-2.
Misner, C.W.; Thorne, K. S.; Уиллер, Дж. А. (1973). Гравитация. Фримен. ISBN 0716703440.
Мёллер, К. (1955) [1952]. Теория относительности. Oxford Clarendon Press.
Николич, Х. (2000). «Релятивистское сжатие и связанные с ним эффекты в неинерциальных системах отсчета». Physical Review A. 61(3): 032109. arXiv : gr-qc / 9904078. Bibcode : 2000PhRvA..61c2109N. doi : 10.1103 / PhysRevA.61.032109. S2CID 5783649.
Паули, Вольфганг (1921), «Die Relativitätstheorie», Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften, 5(2) : 539–776

На английском языке: Паули, В. (1981) [1921]. Теория относительности. Фундаментальные теории физики. 165. Dover Publications. ISBN 0-486-64152-X.

Pauri, M.; Валлиснери, М. (2000). «Координаты Мерцке-Уиллера для ускоренных наблюдателей в специальной теории относительности». Основы физики. 13(5): 401–425. arXiv : gr-qc / 0006095. Bibcode : 2000gr.qc..... 6095P. DOI : 10.1023 / A: 1007861914639. S2CID 15097773.
Пфеффер, Дж.; Нир, С. (2012). Современная физика: Вводный текст. World Scientific. ISBN 978-1908979575.
Shadowitz, A. (1988). Специальная теория относительности (Перепечатка изд. 1968 г.). Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65743-4.
Рахаман, Ф. (2014). Специальная теория относительности: математический подход. Springer. ISBN 978-8132220800.
Ребхан, Э. (1999). Теоретическая физика I. Гейдельберг · Берлин: Spektrum. ISBN 3-8274-0246-8.
Риндлер, В. (1977). Существенная теория относительности. Springer. ISBN 354007970X.
Synge, J. L. (1966). «Времениподобные спирали в плоском пространстве-времени». Труды Королевской ирландской академии, Раздел A. 65: 27–42. JSTOR 20488646.
Толман, Р.С. (1917). Теория относительности движения. Калифорнийский университет Press. OCLC 13129939.
Захар, Э. (1989). Революция Эйнштейна: исследование в эвристике. Издательская компания «Открытый суд». ISBN 0-8126-9067-2.

Исторические статьи

^ Лоренц, Хендрик Антон (1899). «Упрощенная теория электрических и оптических явлений в движущихся системах». Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук. 1: 427–442. Bibcode : 1898KNAB.... 1..427L.
^ Лоренц, Хендрик Антон (1904). «Электромагнитные явления в системе, движущейся со скоростью меньше скорости света». Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук. 6: 809–831. Bibcode : 1903KNAB.... 6..809L.
^ Пуанкаре, Анри (1905). «Sur la Dynamique de l'électron» [Перевод Wikisource: On the Dynamics of the Electron ]. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. 140: 1504–1508.
^ Пуанкаре, Анри (1906) [1905]. "Sur la Dynamique de l'électron" [Перевод Wikisource: On the Dynamics of the Electron ]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 21: 129–176. Bibcode : 1906RCMP... 21..129P. doi : 10.1007 / BF03013466. HDL : 2027 / uiug.30112063899089. S2CID 120211823.
^ Эйнштейн, Альберт (1905). "Zur Elektrodynamik bewegter Körper". Annalen der Physik. 322(10): 891–921. Bibcode : 1905AnP... 322..891E. doi : 10.1002 / andp.19053221004.; См. Также: английский перевод.
^ Planck, Max (1906). "Принципы относительности и Grundgleichungen der Mechanik" [Перевод википедии: Принцип относительности и основные уравнения механики ]. Verhandlungen Deutsche Physikalische Gesellschaft. 8: 136–141.
^ Эйнштейн, Альберт (1908) [1907], «Uber das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen» (PDF), Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik, 4: 411–462, Bibcode : 1908JRE..... 4..411E ; Английский перевод О принципе относительности и выводах, сделанных из него в бумажном проекте Эйнштейна.
^ Минковский, Герман (1909) [1908]. «Raum und Zeit. Vortrag, gehalten auf der 80. Naturforscher-Versammlung zu Köln am 21 сентября 1908 года» [перевод Wikisource: Пространство и время ]. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Лейпциг.
^ Минковский, Герман (1908) [1907], «Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern» [Перевод Wikisource: Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах>], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse: 53–111
^ Родился, Макс (1909). «Теория звездных электронов в кинематике относительности» [перевод википедии: Теория жесткого электрона в кинематике принципа относительности ]. Annalen der Physik. 335(11): 1–56. Bibcode : 1909AnP... 335.... 1B. doi : 10.1002 / andp.19093351102.
^ Herglotz, G (1910) [1909]. "Uber den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [перевод Wikisource: О телах, которые должны быть обозначены как "жесткие" с точки зрения принципа относительности ]. Annalen der Physik. 336(2): 393–415. Bibcode : 1910AnP... 336..393H. doi : 10.1002 / andp.19103360208.
^ Herglotz, G. (1911). "Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie". Annalen der Physik. 341(13): 493–533. Bibcode :1911AnP...341..493H. doi :10.1002/andp.19113411303.
^ Sommerfeld, Arnold (1910). "Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis" [Wikisource translation: On the Theory of Relativity II: Four-dimensional Vector Analysis ]. Annalen der Physik. 338(14): 649–689. Bibcode :1910AnP...338..649S. doi :10.1002/andp.19103381402.
^ Sommerfeld, Arnold (1911). "Über die Struktur der gamma-Strahlen". Sitzungsberichte der Mathematematisch-physikalischen Klasse der K. B. Akademie der Wissenschaften zu München (1): 1–60.
^ Laue, Max von (1911). Das Relativitätsprinzip. Braunschweig: Vieweg.
^ Laue, Max von (1913). Das Relativitätsprinzip (2. Ausgabe ed.). Braunschweig: Vieweg.
^ Kottler, Friedrich (1912). "Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt" [Wikisource translation: On the spacetime lines of a Minkowski world ]. Wiener Sitzungsberichte 2a. 121: 1659–1759. hdl :2027/mdp.39015051107277.Kottler, Friedrich (1914a). "Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung". Annalen der Physik. 349(13): 701–748. Bibcode :1914AnP...349..701K. doi :10.1002/andp.19143491303.Kottler, Friedrich (1914b). "Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips". Annalen der Physik. 350(20): 481–516. Bibcode :1914AnP...350..481K. doi :10.1002/andp.19143502003.

Ускорение (специальная теория относительности)

Содержание

Трехмерное ускорение

четырехкратное ускорение

Правильное ускорение

Ускорение и сила

Правильное ускорение и надлежащая сила

Изогнутые мировые линии

Ускоренные системы отсчета

История

Ссылки

Библиография

Исторические статьи

External links