Термин A-группа, вероятно, впервые был использован в (Hall 1940, раздел 9), где внимание было ограничено растворимыми A-группами. Изложение Холла было довольно кратким без доказательств, но его замечания вскоре были дополнены доказательствами в (Taunt 1949 ). Теория представлений A-групп изучалась в (Itô 1952 ). Затем Картер опубликовал важную взаимосвязь между подгруппами Картера и работой Холла в (Carter 1962 ). Работы Холла, Таунта и Картера были представлены в виде учебника в (Huppert 1967 ). Фокус на разрешимых A-группах расширился с классификацией конечных простых A-групп в (Walter 1969 ), которая позволила обобщить работу Таунта на конечные группы в (Broshi 1971 ). Интерес к A-группам также расширился из-за важной связи с разновидностями групп, обсуждаемых в (Ольшанский 1969 ). Современный интерес к A-группам возродился, когда новые методы перечисления позволили установить точные асимптотические границы на количество различных классов изоморфизма A-групп в (Venkataraman 1997 ).
Каждая конечная абелева группа является A-группой.
Конечная нильпотентная группа является A-группой, если и только если она абелева.
Симметрическая группа на трех точках является A-группой, которая не является абелевой.
Каждая группа порядка без кубов является A-группа.
Производная длина A-группы может быть сколь угодно большой, но не больше, чем количество различных простых делителей порядка, указанного в (Hall 1940 ), и представлен в учебной форме как (Huppert 1967, Kap. VI, Satz 14.16).
У разрешимой A-группы есть единственная максимальная абелева нормальная подгруппа (Холл 1940 ).
Подгруппа Фиттингаразрешимой A -группа равна прямому произведению центров термины производного ряда , впервые указанные в (Hall 1940 ), затем подтвержденные в (Taunt 1949 ) и представленные в виде учебника в (Huppert 1967, Kap. VI, Satz 14.8).
Неабелева конечная простая группа является A-группой тогда и только тогда, когда она изоморфна первой группе Янко или PSL (2, q), где q>3 и либо q = 2, либо q 3,5 mod 8, как показано в (Walter 1969 ).
Все группы в разнообразии, порожденные конечная группа конечно аппроксимируема тогда и только тогда, когда эта группа является A-группой, как показано в (Ольшанский 1969 ).
Подобно Z-группам, чьи Силовские подгруппы циклические, A-группы легче изучать, чем общие конечные группы из-за ограничений на локальную структуру. Например, более точное перечисление разрешимых A-групп было найдено после перечисления разрешимых групп с фиксированными, но произвольными силовскими подгруппами (Venkataraman 1997 ). Более неторопливое изложение дается в (Blackburn, Neumann & Venkataraman 2007, Ch. 12).
Ссылки
Блэкберн, Саймон Р.; Нойман, Питер М.; Венкатараман, Гита (2007), Перечисление конечных групп, Кембридж Трактаты по математике № 173 (1-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88217-0, OCLC 154682311
Холл, Филип (1940), «Конструирование растворимых групп», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 182: 206–214, ISSN0075-4102, MR0002877
Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-03825-2, MR0224703, OCLC 527050 , особенно Кап. VI, §14, p751–760
Ольшанский, А.Ю. (1969), «Многообразия финитно аппроксимируемых групп», Известия Академии Наук СССР. Серия Математическая, 33: 915–927, ISSN0373-2436, MR0258927
Венкатараман, Гита (1997), «Перечисление конечных разрешимых групп с абелевыми силовскими подгруппами», The Quarterly Journal of Mathematics, Second Series, 48(189): 107 –125, doi : 10.1093 / qmath / 48.1.107, MR1439702
