A_∞-операция

редактировать

В теория операд в алгебре и алгебраической топологии, A∞-операда - это пространство параметров для карты умножения, которая является гомотопией связно ассоциативно. (Операда, которая описывает умножение, которое одновременно является гомотопически когерентно ассоциативным и гомотопически когерентно коммутативным, называется E∞-операдой.)

Содержание

1 Определение
2 A n -операции
3 A ∞ -операции и однопетлевые пространства
4 A ∞ -алгебры
5 Примеры
6 См. также
7 Ссылки

Определение

В (обычном) контексте операд с действием симметрической группы на топологические пространства операда A называется A ∞ -операдой, если все его пространств A (n) Σ n-эквивариантно гомотопически эквивалентны дискретным пространствам Σ n (симметрическая группа ) с его умножением действие (где n ∈ N ). В случае не-Σ-операд (также называемых несимметричными операдами, операдами без перестановки) операда A называется A ∞, если все ее пространства A (n) стягиваемы. В других категориях, кроме топологических пространств, понятия гомотопии и стягиваемости должны быть заменены подходящими аналогами, такими как гомологические эквивалентности в категории цепных комплексов.

An- operads

Буква A в терминологии означает «ассоциативный», а символы бесконечности говорят, что ассоциативность требуется до «всех» высших гомотопий. В более общем плане существует более слабое понятие An-операции (n ∈ N ), параметризующее умножения, которые ассоциативны только до определенного уровня гомотопий. В частности,

A1-пространства - это заостренные пространства;
A2-пространства - это H-пространства без условий ассоциативности; и
A3-пространства являются гомотопически ассоциативными H-пространствами.

A∞-операции и одинарные петлевые пространства

Пространство X - это петлевое пространство некоторого другого пространства, обозначенного BX, тогда и только тогда, когда X является алгеброй над $A ∞ {\ displaystyle A _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ -операдой и моноидом π 0 (X) его связных компонентов это группа. Алгебра над операцией $A ∞ {\ displaystyle A _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ называется $A ∞ {\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ infty}}$ - пробел . Есть три следствия такой характеристики пространств петель. Во-первых, пространство цикла - это $A ∞ {\ displaystyle A _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ -пространство. Во-вторых, связанное $A ∞ {\ displaystyle A _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ -пространство X является пространством цикла. В-третьих, групповое завершение возможно отключенного $A ∞ {\ displaystyle A _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ -пространство является пространством цикла.

Важность $A ∞ {\ displaystyle A _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ -операций в теории гомотопии проистекает из этой связи между алгебрами над $A ∞ {\ displaystyle A _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ -операции и пробелы цикла.

A∞-алгебры

Алгебра над $A ∞ {\ displaystyle A _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ -операцией называется $A ∞ {\ displaystyle A_ { \ infty}}$ ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ -алгебра. Примеры показывают категорию Фукая симплектического многообразия, когда она может быть определена (см. Также псевдоголоморфную кривую ).

Примеры

Наиболее очевидным, если не особо полезным, примером $A ∞ {\ displaystyle A _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ -операции является ассоциативный Операда a задана как $a (n) = Σ n {\ displaystyle a (n) = \ Sigma _ {n}}$ ${\ displaystyle a (n) = \ Sigma _ {n}}$ . Эта операда описывает строго ассоциативное умножение. По определению, любая другая $A ∞ {\ displaystyle A _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ -операда имеет отображение в a, которое является гомотопической эквивалентностью.

Геометрическим примером A ∞ -операды являются многогранники Сташефа или ассоциаэдры.

Менее комбинаторный пример - операция малых интервалов : Пространство $A (n) {\ displaystyle A (n)}$ $A (n)$ состоит из всех вложений n непересекающихся интервалов в единичный интервал.

См. Также

Ссылки

Сташев, Джим (июнь – июль 2004 г.). «Что такое... операда?» (PDF ). Уведомления Американского математического общества. 51(6): 630–631. Проверено 17 января 2008.
J. Питер Мэй (1972). Геометрия повторяющихся пространств петель. Springer-Verlag. Архивировано с оригинального 07.07.2015. Проверено 19 февраля 2008 г.
Мартин Маркл; Стив Шнидер ; Джим Сташефф (2002). Операды в алгебре, топологии и физике. Американское математическое общество.
Сташев, Джеймс (1963). «Гомотопическая ассоциативность H-пространств. I, II». Труды Американского математического общества. 108 (2): 275–292, 293–312. DOI : 10.2307 / 1993608. JSTOR 1993608.

A∞-операция