( B , N ) пара

редактировать

В математике, А ( В, Н ) пара является структурой на группы типа Ли, что позволяет дать единые доказательства многих результатов, вместо того, чтобы давать большое количество случая к случаю доказательств. Грубо говоря, это показывает, что все такие группы подобны общей линейной группе над полем. Они были введены математиком Жаком Титсом и иногда называются системами Титса.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Определение
  • 2 Примеры
  • 3 Свойства групп с BN парой
  • 4 Приложения
  • 5 ссылки

Определение

Пара A ( B, N ) - это пара подгрупп B и N группы G такая, что выполняются следующие аксиомы:

  • G порождается B и N.
  • Пересечения, Н, из B и N является нормальной подгруппой из N.
  • Группа W = N / H порождается множествами S элементов ш I порядка 2, для I в некотором непустом множестве I.
  • Если ж я есть элемент S и W является любой элемент из W, то W I Bw содержится в объединении Bw я Wb и BwB.
  • Нет генератор ж я не нормализует B.

Идея этого определения является то, что B является аналогом верхних треугольных матриц общей линейной группы GL п ( К ), Н является аналогом диагональных матриц, а N представляет собой аналог нормализатора из H.

Подгруппу B иногда называют подгруппой Бореля, H - подгруппой Картана, а W - группой Вейля. Пара ( W, S ) является системой Кокстера.

Количество образующих называется рангом.

Примеры

  • Предположим, что G - любая дважды транзитивная группа перестановок на множестве X с более чем двумя элементами. Пусть B - подгруппа группы G, фиксирующая точку x, и пусть N - подгруппа, фиксирующая или меняющая местами 2 точки x и y. Тогда подгруппа H представляет собой набор элементов, фиксирующих как x, так и y, а W имеет порядок 2, и его нетривиальный элемент представлен чем-либо, меняющим местами x и y.
  • И наоборот, если G имеет (B, N) пару ранга 1, то действие G на смежных классах B является дважды транзитивно. Таким образом, пары BN ранга 1 более или менее аналогичны дважды транзитивным действиям на множествах с более чем двумя элементами.
  • Предположим, что G является линейная группа GL п ( К ) над полем K. Мы берем B за верхние треугольные матрицы, H за диагональные матрицы и N за мономиальные матрицы, то есть матрицы с ровно одним ненулевым элементом в каждой строке и столбце. Существует n  - 1 образующих w i, представленных матрицами, полученными перестановкой двух соседних строк диагональной матрицы.
  • Вообще говоря, любая группа лиева типа имеет структуру BN-пары.
  • Редуктивная алгебраическая группа над локальным полем имеет BN-пару, где B - подгруппа Ивахори.

Свойства групп с BN парой

Отображение, переводящее w в BwB, является изоморфизмом множества элементов W в множество двойных смежных классов B ; это разложение Брюа   G  =  BWB.

Если Т является подмножеством S, то пусть W ( Т ) подгруппа W, порожденным Т : мы определим и G ( T ) = BW ( Т ) Б, чтобы быть стандартной параболической подгруппой для T. Подгруппы группы G, содержащие сопряженных с B, являются параболическими подгруппами ; сопряженные с B называются борелевскими подгруппами (или минимальными параболическими подгруппами). Это в точности стандартные параболические подгруппы.

Приложения

BN-пары можно использовать для доказательства того, что многие группы лиева типа просты по модулю своих центров. Точнее, если G имеет BN -пара такую, что B - разрешимая группа, пересечение всех сопряженных с B тривиально и множество образующих W не может быть разложено на два непустых коммутирующих множества, то G проста всякий раз, когда это идеальная группа. На практике все эти условия, за исключением идеального G, легко проверить. Проверка того, что G идеальна, требует некоторых немного беспорядочных вычислений (и на самом деле есть несколько небольших групп лиева типа, которые не идеальны). Но показать, что группа идеальна, обычно намного проще, чем просто показать.

Рекомендации

  • Бурбаки, Николас (2002). Группы Ли и алгебры Ли: главы 4–6. Элементы математики. Springer. ISBN   3-540-42650-7. Zbl   0983.17001. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ) Стандартный эталон для пар BN.
  • Серр, Жан-Пьер (2003). Деревья. Springer. ISBN   3-540-44237-5. Zbl   1013.20001. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
Последняя правка сделана 2023-08-10 03:58:05
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте