Дуга (геометрия)

Замкнутый сегмент дифференцируемой кривой A круговой сектор закрашено зеленым. Его криволинейная граница длиной L представляет собой дугу окружности.

В евклидовой геометрии дуга (символ: ⌒ ) представляет собой соединенный подмножество дифференцируемой кривой. Дуги линий называются сегментами или лучами, в зависимости от того, ограничены они или нет. Распространенный пример изогнутой кривой - это дуга окружности, называемая дугой окружности . В сфере (или сфероида ) дуга большого круга (или большого эллипса ) называется большая дуга .

Каждая пара различных точек на окружности определяет две дуги. Если две точки не находятся прямо напротив друг друга, одна из этих дуг, вспомогательная дуга, будет соединить угол в центре окружности, который меньше π радианы (180 градусов), а другая дуга, большая дуга, будет составлять угол больше, чем π радиан.

Содержание

• 1 Дуги окружности
  • 1.1 Длина дуги окружности
  • 1.2 Площадь сектора дуги
  • 1.3 Площадь сегмента дуги
  • 1.4 Радиус дуги
• 2 Параболические дуги
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Дуги окружности

Длина дуги окружности

Длина (точнее, длина дуги ) дуги окружности радиусом r, соединяющей угол θ (измеренный в радианах) с центром окружности, т. Е. Центральный угол , составляет

$L\; =\; \theta \; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; theta\; r.\}$

Это потому, что

$L\; c\; i\; r\; c\; u\; m\; f\; e\; r\; e\; n\; c\; e\; =\; \theta \; 2\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{окружность\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}.\}$

Подставляем в окружность

$L\; 2\; \pi \; r\; =\; \theta \; 2\; \pi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{2\; \backslash \; pi\; r\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\},\}$

и, где α - тот же угол, измеренный в градусах, поскольку θ = α / 180π, длина дуги равна

$L\; =\; \alpha \; \pi \; r\; 180.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; pi\; r\}\; \{180\}\}.\}$

Практический способ определить длину дуги в окружности - построить две линии от ее концов до центра окружности, измерьте угол, под которым две прямые пересекаются с центром, затем решите для L, перемножив выражение:

мера угла в градусах / 360 ° = L / окружность.

Например, если угол составляет 60 градусов, а длина окружности - 24 дюйма, то

$60\; 360\; =\; L\; 24\; 360\; L\; =\; 1440\; L\; =\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{60\; \}\; \{360\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{24\}\}\; \backslash \backslash \; 360L\; =\; 1440\; \backslash \backslash \; L\; =\; 4.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Это так, потому что длина окружности и градусы круга, которых всегда 360, прямо пропорциональны.

Верхняя половина круга может быть параметризована как

$y\; =\; r\; 2\; -\; x\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{r\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Тогда длина дуги из $x\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\}$до $x\; =\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; b\}$равно

$L\; =\; r\; [arcsin\; \; (xr)]\; ab.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; r\; \{\backslash \; Big\; [\}\; \backslash \; arcsin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; Big]\}\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}.\}$

Площадь сектора дуги

Площадь сектора, образованного дугой и центром круга (ограниченного дугой и двумя радиусами, проведенными к ее конечным точкам), составляет

$A\; =\; r\; 2\; \theta \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\; \{2\}\}.\}$

Область A имеет ту же пропорцию к площади круга , что и угол θ до полного круг:

$A\; \pi \; r\; 2\; =\; \theta \; 2\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{\backslash \; pi\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}.\}$

Мы можем сократить π с обеих сторон:

$A\; г\; 2\; =\; \theta \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}.\}$

Умножая обе стороны на r, мы получаем окончательный результат:

$А\; =\; 1\; 2\; г\; 2\; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta.\}$

Используя преобразование, описанное выше, мы находим, что площадь сектора для центрального угла, измеренная в градусах, равна

$А\; =\; \alpha \; 360\; \pi \; r\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{360\}\}\; \backslash \; pi\; r\; ^\; \{2\}.\}$

Площадь сегмента дуги

Площадь фигуры, ограниченная дугой и прямой линией между двумя его конечными точками находится

$1\; 2\; r\; 2\; (\theta \; -\; sin\; \; \theta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; theta\; -\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; theta\}\; \backslash \; right).\}$

Чтобы получить площадь дугового сегмента , нам нужно вычесть площадь треугольника, определяемую центром круга и двумя конечными точками дуги, из площади $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Подробнее см. Круглый сегмент.

Радиус дуги

Произведение отрезков отрезков AP и PB равно произведению отрезков CP и PD. Если дуга имеет ширину AB и высоту CP, тогда диаметр круга $CD\; =\; AP\; \cdot \; PBCP\; +\; CP\; \{\backslash \; displaystyle\; CD\; =\; \{\backslash \; frac\; \{AP\; \backslash \; cdot\; PB\}\; \{CP\}\}\; +\; CP\}$

Использование теорема о пересечении хорд (также известная как степень точки или теорема о секущем касательном) позволяет вычислить радиус r окружности с учетом высоты H и ширины W arc:

Рассмотрим хорду с теми же конечными точками, что и дуга. Его серединный перпендикуляр - это еще одна хорда, которая равна диаметру окружности. Длина первой хорды равна W, и она делится биссектрисой на две равные половины, каждая длиной W / 2. Общая длина диаметра составляет 2r, и он делится на две части первой хордой. Длина одной части - это стрела дуги, H, а другая часть - это остаток диаметра, длиной 2r - H. Применение теоремы о пересечении хорд к этим двум хордам дает

$H\; (2\; r\; -\; H)\; =\; (W\; 2)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (2r-H)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{W\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\},\}$

откуда

$2\; r\; -\; H\; =\; W\; 2\; 4\; H,\; \{\backslash \; displaystyle\; 2r-H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{W\; ^\; \{2\}\}\; \{4H\}\},\}$

поэтому

$r\; =\; W\; 2\; 8\; H\; +\; H\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{W\; ^\; \{2\}\}\; \{8H\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{H\}\; \{2\}\}.\}$

Параболические дуги

См. также

• Biarc
• Круговой граф
• Меридианная дуга
• Окружность
• Периметр

Ссылки

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Круговыми дугами.

• Оглавление для страниц Math Open Reference Circle
• Math Open Reference page на дугах окружности С интерактивной анимацией
• Math Открыть справочную страницу по радиусу дуги окружности или сегмента С интерактивной анимацией
• Вайсштейн, Эрик У. «Арк». MathWorld.