Подмножество

редактировать
"Суперсет" перенаправляется сюда. Для использования в других целях, см Надмножество (значения). «⊃» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о логическом символе, см. Подкову (символ). Для использования в других целях, см подкова (значения). Эйлера схема, показывающая A является подмножеством B,   A ⊆ B, и наоборот В является подмножеством А.

В математике, А множество является подмножеством из множества B, если все элементы из A также являются элементами B ; В это тогда надмножество из A. Возможно, что A и B равны; если они не равны, то является собственное подмножество из B. Отношения одного набора быть подмножеством другого, называется включение (или иногда защитной оболочки). Представляет собой подмножество B также может быть выражено как B включает в себя (или содержит) или включен (или содержаться) в B.

Отношение подмножества определяет частичный порядок на множествах. Фактически, подмножества данного множества образуют булеву алгебру с отношением подмножества, в котором соединение и встреча задаются пересечением и объединением, а само отношение подмножества является отношением булевого включения.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Определения
  • 2 свойства
  • 3 символа ⊂ и ⊃
  • 4 Примеры подмножеств
  • 5 Другие свойства включения
  • 6 См. Также
  • 7 ссылки
  • 8 Библиография
  • 9 Внешние ссылки

Определения

Если и B являются множествами, и каждый элемент из A также является элементом B, то:

  • Является подмножеством из B, обозначается или, что эквивалентно А B , {\ displaystyle A \ substeq B,}
  • Б является подмножеством из А, обозначается B А . {\ Displaystyle B \ supseteq A.}

Если является подмножеством B, но не равна к B (т.е. существует, по меньшей мере, один элемент из В, который не является элементом А), то:

  • Является собственно (или строгое) подмножество из B, обозначается или, что эквивалентно, А B {\ Displaystyle A \ subsetneq B}
  • В это собственно (или строгое) надмножество из А, обозначим через. B А {\ Displaystyle B \ supsetneq A}
  • Пустое множество, написанные или является подмножеством любого множества X и собственное подмножество любого множества, кроме самой себя. { } {\ Displaystyle \ {\}} , {\ displaystyle \ varnothing,}

Для любого множества S, включение отношение является частичным порядком на множестве (The множество мощности из S -The множество всех подмножеств S), определенное. Мы также можем частично упорядочить включение обратного множества, определив {\ displaystyle \ substeq} п ( S ) {\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (S)} А B А B {\ Displaystyle A \ Leq B \ если и только если A \ substeq B} п ( S ) {\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (S)} А B  если и только если  B А . {\ displaystyle A \ leq B {\ text {тогда и только тогда, когда}} B \ substeq A.}

При количественной оценке представляется как А B {\ displaystyle A \ substeq B} Икс ( Икс А Икс B ) . {\ displaystyle \ forall x \ left (x \ in A \ подразумевает x \ in B \ right).}

Мы можем доказать утверждение, применив технику доказательства, известную как элементный аргумент: А B {\ displaystyle A \ substeq B}

Пусть даны множества A и B. Чтобы доказать, что А B , {\ displaystyle A \ substeq B,}

  1. предположим, что a - частный, но произвольно выбранный элемент из A,
  2. показывают, что является элементом B.

Справедливость этого метода можно рассматривать как следствие универсального обобщения : метод показывает для произвольно выбранного элемента c. Универсальное обобщение тогда подразумевает, что эквивалентно тому, что указано выше. c А c B {\ displaystyle c \ in A \ подразумевает c \ in B} Икс ( Икс А Икс B ) , {\ displaystyle \ forall x \ left (x \ in A \ подразумевает x \ in B \ right),} А B , {\ displaystyle A \ substeq B,}

Характеристики

Формально:
А B  если и только если  А B знак равно А . {\ displaystyle A \ substeq B {\ text {тогда и только тогда, когда}} A \ cap B = A.}
  • Набор является подмножеством из B, если и только если их объединение равно B.
Формально:
А B  если и только если  А B знак равно B . {\ displaystyle A \ substeq B {\ text {тогда и только тогда, когда}} A \ cup B = B.}
  • Конечное множество является подмножеством из B, тогда и только тогда, когда мощность их пересечения равна мощности А.
Формально:
А B  если и только если  | А B | знак равно | А | . {\ displaystyle A \ substeq B {\ text {тогда и только тогда, когда}} | A \ cap B | = | A |.}

Символы ⊂ и ⊃

Некоторые авторы используют символы и для обозначения подмножества и надмножества соответственно; то есть, с тем же значением и вместо символов, и Например, для этих авторов верно для каждого набора A, что {\ displaystyle \ subset} {\ displaystyle \ supset} {\ displaystyle \ substeq} . {\ displaystyle \ supseteq.} А А . {\ Displaystyle A \ подмножество A.}

Другие авторы предпочитают использовать символы и для обозначения правильного (также называемого строгим) подмножества и надлежащего надмножества соответственно; то есть, с тем же значением и вместо символов, и это использование марки и аналогично к неравенству символов и Например, если тогда х может или не равно у, но если тогда х определенно не равна у, а это меньше, чем у. Аналогичным образом, с помощью конвенции, которая является подмножеством, если затем может быть или может не быть равным B, но если затем определенно не равно Б. {\ displaystyle \ subset} {\ displaystyle \ supset} {\ displaystyle \ subsetneq} . {\ Displaystyle \ supsetneq.} {\ displaystyle \ substeq} {\ displaystyle \ subset} {\ displaystyle \ leq} lt; . {\ displaystyle lt;.} Икс у , {\ displaystyle x \ leq y,} Икс lt; у , {\ Displaystyle х lt;у,} {\ displaystyle \ subset} А B , {\ displaystyle A \ substeq B,} А B , {\ Displaystyle A \ подмножество B,}

Примеры подмножеств

Правильные многоугольники образуют подмножество многоугольников
  • Множество A = {1, 2} является правильным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения и верны. А B {\ displaystyle A \ substeq B} А B {\ Displaystyle A \ subsetneq B}
  • Множество D = {1, 2, 3} является подмножеством (но не собственным подмножеством) E = {1, 2, 3}, поэтому истинно, а не истинно (ложно). D E {\ displaystyle D \ substeq E} D E {\ Displaystyle D \ subsetneq E}
  • Любой набор - это подмножество самого себя, но не собственное подмножество. ( верно и неверно для любого набора X.) Икс Икс {\ Displaystyle X \ substeq X} Икс Икс {\ Displaystyle X \ subsetneq X}
  • Набор { x: x - простое число больше 10} является правильным подмножеством { x: x - нечетное число больше 10}
  • Набор натуральных чисел - это собственное подмножество набора рациональных чисел ; аналогично, набор точек в линейном сегменте является надлежащим подмножеством набора точек в линии. Это два примера, в которых и подмножество, и все множество бесконечно, а подмножество имеет такую ​​же мощность (понятие, которое соответствует размеру, то есть количеству элементов конечного набора), как и все; такие случаи могут противоречить первоначальной интуиции.
  • Набор рациональных чисел - это собственное подмножество набора действительных чисел. В этом примере оба набора бесконечны, но последний набор имеет большую мощность (или мощность), чем первый набор.

Другой пример на диаграмме Эйлера :

  • A - собственное подмножество B

  • C является подмножеством, но не является собственным подмножеством B

Другие свойства включения

А B {\ displaystyle A \ substeq B}и подразумевает B C {\ Displaystyle B \ substeq C} А C . {\ displaystyle A \ substeq C.}

Включение канонического частичный порядок, в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество является изоморфно некоторой совокупностью множеств упорядоченных по включению. Эти порядковые номера представляют собой простой пример: если каждый порядковый п идентифицируются с множеством всех порядковых меньше или равно п, то тогда и только тогда, ( Икс , ) {\ Displaystyle (Х, \ prevq)} [ п ] {\ Displaystyle [п]} а б {\ displaystyle a \ leq b} [ а ] [ б ] . {\ displaystyle [a] \ substeq [b].}

Для набора мощности из множества S, включение частичный порядок- с точностью до изоморфизма порядка -The декартово произведение из ( мощность из S) копий частичного порядка на, для которых Это можно проиллюстрировать путем перечисления, и ассоциирование с каждым подмножество (т.е. каждый элемент) в K -кратного из которых я й координаты 1 тогда и только тогда, когда является членом T. п ( S ) {\ displaystyle \ wp {P} (S)} k знак равно | S | {\ Displaystyle к = | S |} { 0 , 1 } {\ displaystyle \ {0,1 \}} 0 lt; 1. {\ displaystyle 0 lt;1.} S знак равно { s 1 , s 2 , , s k } , {\ Displaystyle S = \ left \ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {k} \ right \},} Т S {\ displaystyle T \ substeq S} 2 S {\ displaystyle 2 ^ {S}} { 0 , 1 } k , {\ Displaystyle \ {0,1 \} ^ {к},} s я {\ displaystyle s_ {i}}

Смотрите также

использованная литература

Библиография

  • Jech, Томас (2002). Теория множеств. Springer-Verlag. ISBN   3-540-44085-2.

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-03-27 05:39:47
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте