Кратный интеграл

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая, Вейерштрасса, Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Серии Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Власть Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередующиеся серии Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разное Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Анализ
v т е

Интегральный как площадь между двумя кривыми. Двойной интеграл как объем под поверхностью z = 10 - х ² - у ²/8. Прямоугольная область в нижней части корпуса - это область интегрирования, а поверхность - это график функции двух переменных, которую необходимо интегрировать.

В математике (в частности, многомерном исчислении ) кратный интеграл - это определенный интеграл от функции нескольких действительных переменных, например, f ( x, y) или f ( x, y, z). Интегралы от функции двух переменных по области в ( плоскости действительных чисел ) называются двойными интегралами, а интегралы функции трех переменных по области в (трехмерном пространстве действительных чисел) называются тройными интегралами. Для множественных интегралов функции одной переменной см. Формулу Коши для повторного интегрирования. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Введение
• 2 Математическое определение
  • 2.1 Свойства
  • 2.2 Частные случаи
• 3 Способы интеграции
  • 3.1 Интегрирование постоянных функций
  • 3.2 Использование симметрии
  • 3.3 Нормальные домены на R ²
    • 3.3.1 ось x
    • 3.3.2 ось Y
    • 3.3.3 Нормальные домены на R ³
  • 3.4 Замена переменных
    • 3.4.1 Полярные координаты
    • 3.4.2 Цилиндрические координаты
    • 3.4.3 Сферические координаты
• 4 Примеры
  • 4.1 Двойной интеграл по прямоугольнику
  • 4.2 Двойной интеграл по нормальной области
  • 4.3 Расчет объема
• 5 Множественный несобственный интеграл
• 6 Кратные интегралы и повторные интегралы
• 7 Некоторые практические приложения
• 8 См. Также
• 9 ссылки
• 10 Дальнейшее чтение
• 11 Внешние ссылки

Вступление

Подобно тому, как определенный интеграл положительной функции одной переменной представляет собой площадь области между графиком функции и осью x, двойной интеграл положительной функции двух переменных представляет собой объем области между определенной поверхностью. функцией (на трехмерной декартовой плоскости, где z = f ( x, y)) и плоскостью, которая содержит ее область определения. Если есть больше переменных, кратный интеграл даст гиперобъемы многомерных функций.

Множественное интегрирование функции от n переменных: f ( x 1, x 2,..., x n) в области D чаще всего представляется вложенными знаками интеграла в обратном порядке выполнения (крайний левый знак интеграла вычисляется последним), за которым следует функция и аргументы интеграла в правильном порядке (интеграл по крайнему правому аргументу вычисляется последним). Область интегрирования либо представлена ​​символически для каждого аргумента над каждым знаком интеграла, либо сокращается с помощью переменной в крайнем правом знаке интеграла:

${\ displaystyle \ int \ cdots \ int _ {\ mathbf {D}} \, f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \, dx_ {1} \! \ cdots dx_ {n}}$

Поскольку понятие первообразной определяется только для функций одной действительной переменной, обычное определение неопределенного интеграла не распространяется сразу на кратный интеграл.

Математическое определение

Для п gt; 1, рассмотрим так называемый «полуоткрытый» п - мерный hyperrectangular домен T, определяемый как:

${\ displaystyle T = [a_ {1}, b_ {1}) \ times [a_ {2}, b_ {2}) \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Разделите каждый интервал [ a j, b j) на конечное семейство I j неперекрывающихся подинтервалов i j α, при этом каждый подынтервал будет закрыт на левом конце и открыт на правом конце.

Тогда конечное семейство подпрямоугольников C, заданное формулой

${\ displaystyle C = I_ {1} \ times I_ {2} \ times \ cdots \ times I_ {n}}$

является разбиение на Т ; то есть, прямоугольники С K не перекрываются и их объединение Т.

Пусть F  : T → R функция, определенная на Т. Рассмотрим разбиение C множества T, как определено выше, такое, что C является семейством из m подпрямоугольников C m и

${\ Displaystyle T = C_ {1} \ чашка C_ {2} \ чашка \ cdots \ чашка C_ {m}}$

Мы можем аппроксимировать общий ( n + 1) -й объем, ограниченный снизу n -мерным гипер прямоугольником T, а сверху n -мерным графиком f с помощью следующей суммы Римана :

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {m} f (P_ {k}) \, \ operatorname {m} (C_ {k})}$

где P k - точка в C k, а m ( C k) - произведение длин интервалов, декартово произведение которых равно C k, также известное как мера C k.

Диаметр из subrectangle C к является самым большим из длин интервалов, декартово произведение является С к. Диаметр данного разбиения T определяется как наибольший из диаметров подпрямоугольников в разбиении. Интуитивно понятно, что по мере того, как диаметр разбиения C ограничивается все меньше и меньше, количество подпрямоугольников m становится больше, а мера m ( C k) каждого подпрямоугольника становится меньше. Функция f называется интегрируемой по Риману, если предел

${\ displaystyle S = \ lim _ {\ delta \ to 0} \ sum _ {k = 1} ^ {m} f (P_ {k}) \, \ operatorname {m} (C_ {k})}$

существует, где предел берется по всем возможным разбиениям T диаметра не более δ.

Если f интегрируема по Риману, S называется интегралом Римана от f над T и обозначается

${\ displaystyle \ int \ cdots \ int _ {T} \, f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \, dx_ {1} \! \ cdots dx_ {n}}$

Часто это обозначение сокращается как

${\ displaystyle \ int _ {T} \! f (\ mathbf {x}) \, d ^ {n} \ mathbf {x}.}$

где x представляет собой n -набор ( x 1,…, x n), а d ⁿ x - разность n- мерного объема.

Интеграл Римана функции, определенной над произвольным ограниченным n- мерным множеством, может быть определен путем расширения этой функции до функции, определенной над полуоткрытым прямоугольником, значения которого равны нулю вне области определения исходной функции. Тогда интеграл исходной функции по исходной области определяется как интеграл от расширенной функции по ее прямоугольной области, если она существует.

В дальнейшем интеграл Римана в n измерениях будет называться кратным интегралом.

Характеристики

Кратные интегралы имеют много общих свойств с интегралами от функций одной переменной (линейность, коммутативность, монотонность и т. Д.). Одним из важных свойств кратных интегралов является то, что значение интеграла не зависит от порядка подынтегральных выражений при определенных условиях. Это свойство широко известно как теорема Фубини.

Частные случаи

В случае, интеграл ${\ Displaystyle Т \ substeq \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ Displaystyle л = \ iint _ {T} е (х, у) \, dx \, dy}$

- двойной интеграл от f на T, и если интеграл ${\ Displaystyle Т \ substeq \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle l = \ iiint _ {T} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz}$

это тройной интеграл от F на T.

Обратите внимание, что по соглашению двойной интеграл имеет два знака, а тройной - три; это условное обозначение, которое удобно при вычислении кратного интеграла как повторного интеграла, как показано далее в этой статье.

Способы интеграции

Решение проблем с множественными интегралами состоит, в большинстве случаев, в поиске способа сведения кратного интеграла к повторному интегралу, ряду интегралов одной переменной, каждый из которых является решаемым напрямую. Для непрерывных функций это подтверждается теоремой Фубини. Иногда можно получить результат интегрирования путем непосредственного изучения без каких-либо вычислений.

Ниже приведены несколько простых методов интеграции:

Интегрирование постоянных функций

Когда подынтегральное выражение является постоянной функцией c, интеграл равен произведению c и меры области интегрирования. Если c = 1 и домен является подобластью R ², интеграл дает площадь области, а если домен является подобластью R ³, интеграл дает объем области.

Пример. Пусть f ( x, y) = 2 и

${\ displaystyle D = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \: \ 2 \ leq x \ leq 4 \; \ 3 \ leq y \ leq 6 \ right \}}$

в таком случае

${\ displaystyle \ int _ {3} ^ {6} \ int _ {2} ^ {4} \ 2 \ dx \, dy = 2 \ int _ {3} ^ {6} \ int _ {2} ^ { 4} \ 1 \ dx \, dy = 2 \ cdot \ operatorname {area} (D) = 2 \ cdot (2 \ cdot 3) = 12,}$

поскольку по определению мы имеем:

${\ displaystyle \ int _ {3} ^ {6} \ int _ {2} ^ {4} \ 1 \ dx \, dy = \ operatorname {area} (D).}$

Использование симметрии

Когда область интегрирования симметрична относительно начала координат по крайней мере по одной из переменных интегрирования, а подынтегральное выражение нечетно по этой переменной, интеграл равен нулю, поскольку интегралы по двум половинам области имеют то же абсолютное значение, но противоположные знаки. Когда подынтегральная даже по отношению к этой переменной, то интеграл равен удвоенному интегралу по одной половине области, а интегралы по двум половинам домена равны.

Пример 1. Рассмотрим функцию f ( x, y) = 2 sin ( x) - 3 y ³ + 5, проинтегрированную по области

${\ displaystyle T = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \: \ x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 1 \ right \},}$

диск с радиусом  1 с центром в начале координат с включенной границей.

Используя свойство линейности, интеграл можно разложить на три части:

${\ Displaystyle \ iint _ {T} \ влево (2 \ sin x-3y ^ {3} +5 \ right) \, dx \, dy = \ iint _ {T} 2 \ sin x \, dx \, dy - \ iint _ {T} 3y ^ {3} \, dx \, dy + \ iint _ {T} 5 \, dx \, dy}$

Функция 2 sin ( x) является нечетной функцией по переменной x, а диск T симметричен относительно оси y, поэтому значение первого интеграла равно 0. Аналогично, функция 3 y ³ является нечетной функцией. из у и Т симметрично по отношению к х Оу, и так единственный вклад в конечный результат в том, что третьего интеграла. Следовательно, исходный интеграл равен площади диска, умноженной на 5, или 5 π.

Пример 2. Рассмотрим функцию f ( x, y, z) = x exp ( y ² + z ²) и в качестве области интегрирования шар радиусом 2 с центром в начале координат,

${\ displaystyle T = \ left \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \: \ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ leq 4 \Правильно\}.}$

«Шар» симметричен относительно всех трех осей, но его достаточно проинтегрировать по оси x, чтобы показать, что интеграл равен 0, потому что функция является нечетной функцией этой переменной.

Нормальные домены на R ²

См. Также: Порядок интегрирования (исчисление)

Этот метод применим к любому домену D, для которого:

• проекция из D на либо х оси х или у -Axis ограничена двумя значениями, и б
• любая линия, перпендикулярная этой оси, которая проходит между этими двумя значениями, пересекает область в интервале, конечные точки которого задаются графиками двух функций, α и β.

Такой домен мы будем называть здесь обычным доменом. В других местах в литературе нормальные домены иногда называют доменами типа I или типа II, в зависимости от того, на какой оси расслоен домен. Во всех случаях интегрируемая функция должна быть интегрируемой по Риману в области определения, что верно (например), если функция непрерывна.

x- ось

Если область D нормальна относительно оси x и f  : D → R - непрерывная функция ; то α ( х) и β ( х) (оба из которых определены на интервале [, Ь ]) являются две функции, которые определяют D. Тогда по теореме Фубини:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} е (х, y) \, dx \, dy = \ int _ {a} ^ {b} dx \ int _ {\ alpha (x)} ^ {\ beta (x) } f (x, y) \, dy.}$

y- ось

Если D нормальна относительно оси y и f  : D → R - непрерывная функция; то α ( у) и β ( у) (оба из которых определены на интервале [, Ь ]) являются две функции, которые определяют D. Опять же, по теореме Фубини:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} е (х, y) \, dx \, dy = \ int _ {a} ^ {b} dy \ int _ {\ alpha (y)} ^ {\ beta (y) } f (x, y) \, dx.}$

Нормальные домены на R ³

Если T - область, нормальная относительно плоскости xy и определяемая функциями α ( x, y) и β ( x, y), то

${\ Displaystyle \ iiint _ {T} е (х, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iint _ {D} \ int _ {\ alpha (x, y)} ^ {\ beta ( x, y)} f (x, y, z) \, dz \, dx \, dy}$

Это определение то же самое для других пяти случаев нормальности на R ³. Его можно прямо обобщить на области в R ⁿ.

Замена переменных

См. Также: Интегрирование путем подстановки § Подстановка нескольких переменных

Пределы интегрирования часто нелегко заменить (без нормальности или со сложными формулами для интегрирования). Делается замена переменных, чтобы переписать интеграл в более «удобной» области, которую можно описать более простыми формулами. Для этого функция должна быть адаптирована к новым координатам.

Пример 1а. Функция равна f ( x, y) = ( x - 1) ² + √ y ; если принять замену u = x - 1, v = y, следовательно, x = u + 1, y = v, получится новая функция f 2 ( u, v) = ( u) ² + √ v.

• Аналогично для домена, потому что он ограничен исходными переменными, которые были преобразованы ранее ( x и y в примере).
• дифференциалы dx и dy преобразуются через модуль определителя матрицы Якоби, содержащей частные производные преобразований относительно новой переменной (рассмотрим, например, дифференциальное преобразование в полярных координатах).

Существует три основных «вида» изменений переменной (один в R ², два в R ³); однако можно сделать более общие замены, используя тот же принцип.

Полярные координаты

См. Также: Полярная система координат Преобразование декартовых координат в полярные.

В R ^2, если область имеет круговую симметрию и функция имеет некоторые конкретные характеристики, можно применить преобразование к полярным координатам (см. Пример на рисунке), что означает, что общие точки P ( x, y) в декартовых координатах переключаются на их соответствующие точки в полярных координатах. Это позволяет изменить форму домена и упростить операции.

Фундаментальное отношение к преобразованию следующее:

${\ displaystyle f (x, y) \ rightarrow f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi).}$

Пример 2а. Функция f ( x, y) = x + y, и применяя преобразование, получаем

${\ Displaystyle е (\ rho, \ varphi) = \ rho \ cos \ varphi + \ rho \ sin \ varphi = \ rho (\ cos \ varphi + \ sin \ varphi).}$

Пример 2б. Функция f ( x, y) = x ² + y ², в этом случае:

${\ Displaystyle е (\ rho, \ varphi) = \ rho ^ {2} \ left (\ cos ^ {2} \ varphi + \ sin ^ {2} \ varphi \ right) = \ rho ^ {2}}$

с использованием тригонометрического тождества Пифагора (очень полезно для упрощения этой операции).

Преобразование области выполняется путем определения длины коронки радиуса и амплитуды описанного угла для определения интервалов ρ, φ, начиная с x, y.

Пример преобразования домена из декартовой в полярную.

Пример 2в. Область D = { x ² + y ² ≤ 4}, то есть окружность радиуса 2; очевидно, что закрытый угол - это угол круга, поэтому φ изменяется от 0 до 2 π, а радиус короны изменяется от 0 до 2 (корона с внутренним радиусом нуль - это просто круг).

Пример 2г. Область D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, y ≥ 0}, то есть круглая корона в положительной полуплоскости y (см. Рисунок в примере); φ описывает плоский угол, а ρ изменяется от 2 до 3. Таким образом, преобразованная область будет следующим прямоугольником :

${\ Displaystyle T = \ {2 \ leq \ rho \ leq 3, \ 0 \ leq \ varphi \ leq \ pi \}.}$

Якобиан этого преобразования состоит в следующем:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (\ rho, \ varphi)}} = {\ begin {vmatrix} \ cos \ varphi amp; - \ rho \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi amp; \ rho \ cos \ varphi \ end {vmatrix}} = \ rho}$

которое было получено вставкой частных производных x = ρ cos ( φ), y = ρ sin ( φ) в первый столбец по ρ и во втором столбце по φ, так что дифференциалы dx dy в этом преобразовании становятся ρ dρ dφ.

После преобразования функции и оценки области можно определить формулу для изменения переменных в полярных координатах:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} е (х, y) \, dx \, dy = \ iint _ {T} f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi.}$

φ действителен в интервале [0, 2π], в то время как ρ, которая является мерой длины, может иметь только положительные значения.

Пример 2д. Функция f ( x, y) = x, а область определения такая же, как в примере 2d. Из предыдущего анализа D мы знаем интервалы ρ (от 2 до 3) и φ (от 0 до π). Теперь меняем функцию:

${\ displaystyle f (x, y) = x \ longrightarrow f (\ rho, \ varphi) = \ rho \ cos \ varphi.}$

наконец, применим формулу интегрирования:

${\ displaystyle \ iint _ {D} x \, dx \, dy = \ iint _ {T} \ rho \ cos \ varphi \ rho \, d \ rho \, d \ varphi.}$

Как только интервалы известны, у вас есть

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ int _ {2} ^ {3} \ rho ^ {2} \ cos \ varphi \, d \ rho \, d \ varphi = \ int _ {0 } ^ {\ pi} \ cos \ varphi \ d \ varphi \ left [{\ frac {\ rho ^ {3}} {3}} \ right] _ {2} ^ {3} = {\ Big [} \ sin \ varphi {\ Big]} _ {0} ^ {\ pi} \ \ left (9 - {\ frac {8} {3}} \ right) = 0.}$

Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты.

В R ³ интегрирование по областям с круглым основанием может производиться переходом к цилиндрическим координатам ; преобразование функции осуществляется следующим соотношением:

${\ Displaystyle е (х, у, z) \ rightarrow f (\ ро \ соз \ varphi, \ ро \ грех \ varphi, z)}$

Преобразование домена может быть достигнуто графически, поскольку изменяется только форма основания, а высота соответствует форме начальной области.

Пример 3а. Область имеет вид D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5} (это «трубка», основание которой является круглой короной из примера 2d, а высота равна 5). ; если преобразование применяется, получается эта область:

${\ Displaystyle Т = \ {2 \ Leq \ Rho \ Leq 3, \ 0 \ Leq \ varphi \ Leq 2 \ pi, \ 0 \ Leq Z \ Leq 5 \}}$

(то есть параллелепипед, основание которого аналогично прямоугольнику в примере 2d, а высота 5).

Поскольку компонент z не меняется во время преобразования, дифференциалы dx dy dz меняются, как при переходе к полярным координатам: поэтому они становятся ρ dρ dφ dz.

Наконец, можно применить окончательную формулу к цилиндрическим координатам:

${\ Displaystyle \ iiint _ {D} е (х, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi, z) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz.}$

Этот метод удобен в случае цилиндрических или конических областей или в областях, где легко выделить интервал z и даже преобразовать круговое основание и функцию.

Пример 3б. Функция f ( x, y, z) = x ² + y ² + z, а в качестве области интегрирования этот цилиндр : D = { x ² + y ² ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5}. Преобразование D в цилиндрических координатах следующее:

${\ displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 3, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, \ -5 \ leq z \ leq 5 \}.}$

в то время как функция становится

${\ Displaystyle е (\ ро \ соз \ varphi, \ rho \ sin \ varphi, z) = \ rho ^ {2} + z}$

Наконец, можно применить формулу интегрирования:

${\ displaystyle \ iiint _ {D} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + z \ right) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} \ left (\ rho ^ {2} + z \ right) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz;}$

разработка формулы, которая у вас есть

${\ displaystyle \ int _ {- 5} ^ {5} dz \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi \ int _ {0} ^ {3} \ left (\ rho ^ {3} + \ rho z \ right) \, d \ rho = 2 \ pi \ int _ {- 5} ^ {5} \ left [{\ frac {\ rho ^ {4}} {4}} + {\ frac {\ rho ^ {2} z} {2}} \ right] _ {0} ^ {3} \, dz = 2 \ pi \ int _ {- 5} ^ {5} \ left ({\ frac {81} { 4}} + {\ frac {9} {2}} z \ right) \, dz = \ cdots = 405 \ pi.}$

Сферические координаты

Сферические координаты.

В R ³ некоторые области обладают сферической симметрией, поэтому можно указать координаты каждой точки области интегрирования двумя углами и одним расстоянием. Поэтому можно использовать переход к сферическим координатам ; функция преобразуется этим соотношением:

${\ Displaystyle е (х, у, z) \ longrightarrow е (\ ро \ соз \ тета \ грех \ варфи, \ ро \ грех \ тета \ грех \ варфи, \ ро \ соз \ варфи)}$

Точки на оси z не имеют точной характеристики в сферических координатах, поэтому θ может варьироваться от 0 до 2 π.

Лучшая область интеграции для этого отрывка - сфера.

Пример 4а. Область имеет вид D = x ² + y ² + z ² ≤ 16 (сфера с радиусом 4 и центром в начале координат); применяя преобразование, вы получаете регион

${\ displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 4, \ 0 \ leq \ varphi \ leq \ pi, \ 0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi \}.}$

Определитель Якоби этого преобразования следующий:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (\ rho, \ theta, \ varphi)}} = {\ begin {vmatrix} \ cos \ theta \ sin \ varphi amp; - \ rho \ sin \ theta \ sin \ varphi amp; \ rho \ cos \ theta \ cos \ varphi \\\ sin \ theta \ sin \ varphi amp; \ rho \ cos \ theta \ sin \ varphi amp; \ rho \ sin \ theta \ cos \ varphi \\\ cos \ varphi amp; 0 amp; - \ rho \ sin \ varphi \ end {vmatrix}} = \ rho ^ {2} \ sin \ varphi}$

Следовательно, дифференциалы dx dy dz преобразуются в ρ ² sin ( φ) dρ dθ dφ.

Это дает окончательную формулу интегрирования:

${\ Displaystyle \ iiint _ {D} е (х, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} f (\ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta, \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta, \ rho \ cos \ varphi) \ rho ^ {2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi.}$

Лучше использовать этот метод в случае сферических областей и в случае функций, которые могут быть легко упрощены первым фундаментальным соотношением тригонометрии, распространенным на R ³ (см. Пример 4b); в других случаях может быть лучше использовать цилиндрические координаты (см. Пример 4c).

${\ displaystyle \ iiint _ {T} f (a, b, c) \ rho ^ {2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi.}$

Дополнительные ρ ² и sin φ происходят из якобиана.

В следующих примерах роли φ и θ поменялись местами.

Пример 4б. D - та же область, что и в примере 4a, а f ( x, y, z) = x ² + y ² + z ² - функция, которую нужно интегрировать. Его трансформация очень проста:

${\ Displaystyle е (\ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta, \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta, \ rho \ cos \ varphi) = \ rho ^ {2},}$

в то время как мы знаем интервалы преобразованной области T из D:

${\ displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 4, \ 0 \ leq \ varphi \ leq \ pi, \ 0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi \}.}$

Поэтому мы применяем формулу интегрирования:

${\ displaystyle \ iiint _ {D} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ right) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} \ rho ^ {2} \, \ rho ^ {2} \ sin \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi,}$

и, развиваясь, получаем

${\ displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^ {4} \ sin \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ varphi \, d \ varphi \ int _ {0} ^ {4} \ rho ^ {4} d \ rho \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ varphi \ left [{\ frac {\ rho ^ {5}} {5}} \ right] _ {0} ^ {4} \, d \ varphi = 2 \ pi \ left [{ \ frac {\ rho ^ {5}} {5}} \ right] _ {0} ^ {4} {\ Big [} - \ cos \ varphi {\ Big]} _ {0} ^ {\ pi} = {\ frac {4096 \ pi} {5}}.}$

Пример 4в. Область D представляет собой шар с центром в начале координат и радиусом 3 a,

${\ displaystyle D = \ left \ {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ leq 9a ^ {2} \ right \}}$

и f ( x, y, z) = x ² + y ² - функция, которую нужно интегрировать.

Глядя на область, кажется удобным принять переход к сферическим координатам, на самом деле интервалы переменных, которые ограничивают новую область T, очевидно:

${\ displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 3a, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, \ 0 \ leq \ theta \ leq \ pi \}.}$

Однако применив преобразование, получим

${\ Displaystyle е (х, у, z) = х ^ {2} + y ^ {2} \ longrightarrow \ rho ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ cos ^ {2} \ varphi + \ rho ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ sin ^ {2} \ varphi = \ rho ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta.}$

Применяя формулу интегрирования, получаем:

${\ displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ rho ^ {2} \ sin \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = \ iiint _ {T} \ rho ^ {4} \ sin ^ {3} \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi}$

которое можно решить, превратив его в повторный интеграл.

${\ displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^ {4} \ sin ^ {3} \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = \ underbrace {\ int _ {0} ^ { 3a} \ rho ^ {4} d \ rho} _ {I} \, \ underbrace {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {3} \ theta \, d \ theta} _ {II} \, \ underbrace {\ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi} _ {III}}$.

${\ displaystyle I = \ left. \ int _ {0} ^ {3a} \ rho ^ {4} d \ rho = {\ frac {\ rho ^ {5}} {5}} \ right \ vert _ {0 } ^ {3a} = {\ frac {243} {5}} а ^ {5}}$,

${\ Displaystyle II = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {3} \ theta \, d \ theta = - \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {2} \ theta \, d (\ cos \ theta) = \ int _ {0} ^ {\ pi} (\ cos ^ {2} \ theta -1) \, d (\ cos \ theta) = \ left. {\ frac { \ cos ^ {3} \ theta} {3}} \ right | _ {0} ^ {\ pi} - \ left. \ cos \ theta \ right | _ {0} ^ {\ pi} = {\ frac { 4} {3}}}$,

${\ Displaystyle III = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi = 2 \ pi}$.

Собирая все детали,

${\ displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^ {4} \ sin ^ {3} \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = I \ cdot II \ cdot III = {\ frac {243} {5}} a ^ {5} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot 2 \ pi = {\ frac {648} {5}} \ pi a ^ {5}}$.

Как вариант, эту проблему можно решить, используя переход к цилиндрическим координатам. Новые интервалы T равны

${\ displaystyle T = \ left \ {0 \ leq \ rho \ leq 3a, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, \ - {\ sqrt {9a ^ {2} - \ rho ^ {2}}} \ leq z \ leq {\ sqrt {9a ^ {2} - \ rho ^ {2}}} \ right \};}$

г интервал был получен путем деления шар на две полусферы просто путем решения неравенства из формулы D (а затем непосредственно преобразование х ² + у ² в р ²). Новая функция - это просто ρ ². Применяя формулу интегрирования

${\ displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^ {2} \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz.}$

Тогда мы получим

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi \ int _ {0} ^ {3a} \ rho ^ {3} d \ rho \ int _ {- {\ sqrt {9a ^ {2} - \ rho ^ {2}}}} ^ {\ sqrt {9a ^ {2} - \ rho ^ {2}}} \, dz amp; = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {3a} 2 \ rho ^ {3} {\ sqrt {9a ^ {2} - \ rho ^ {2}}} \, d \ rho \\ amp; = - 2 \ pi \ int _ {9a ^ {2} } ^ {0} (9a ^ {2} -t) {\ sqrt {t}} \, dt amp;amp; t = 9a ^ {2} - \ rho ^ {2} \\ amp; = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {9a ^ {2}} \ left (9a ^ {2} {\ sqrt {t}} - t {\ sqrt {t}} \ right) \, dt \\ amp; = 2 \ pi \ left (\ int _ {0} ^ {9a ^ {2}} 9a ^ {2} {\ sqrt {t}} \, dt- \ int _ {0} ^ {9a ^ {2}} t {\ sqrt {t}} \, dt \ right) \\ amp; = 2 \ pi \ left [9a ^ {2} {\ frac {2} {3}} t ^ {\ frac {3} {2}} - {\ frac {2} {5}} t ^ {\ frac {5} {2}} \ right] _ {0} ^ {9a ^ {2}} \\ amp; = 2 \ cdot 27 \ pi a ^ {5} \ left (6 - {\ frac {18} {5}} \ right) \\ amp; = {\ frac {648 \ pi} {5}} a ^ {5}. \ end {align}}}$

Благодаря переходу к цилиндрическим координатам тройной интеграл удалось свести к более простому интегралу с одной переменной.

См. Также ввод дифференциального объема в набле в цилиндрических и сферических координатах.

Примеры

Двойной интеграл по прямоугольнику

Предположим, что мы хотим проинтегрировать функцию многих переменных f по области A:

${\ Displaystyle А = \ влево \ {(х, у) \ в \ mathbf {R} ^ {2} \: \ 11 \ leq x \ leq 14 \; \ 7 \ leq y \ leq 10 \ right \} { \ t_dv {и}} f (x, y) = x ^ {2} + 4y \,}$

Отсюда сформулируем повторный интеграл

${\ Displaystyle \ int _ {7} ^ {10} \ int _ {11} ^ {14} (х ^ {2} + 4y) \, dx \, dy}$

Сначала выполняется внутренний интеграл, интегрируя по x и принимая y как константу, поскольку это не переменная интегрирования. Результат этого интеграла, который является функцией, зависящей только от y, затем интегрируется по y.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {11} ^ {14} \ left (x ^ {2} + 4y \ right) \, dx amp; = \ left [{\ frac {1} {3}} x ^ {3} + 4yx \ right] _ {x = 11} ^ {x = 14} \\ amp; = {\ frac {1} {3}} (14) ^ {3} + 4y (14) - {\ гидроразрыв {1} {3}} (11) ^ {3} -4y (11) \\ amp; = 471 + 12y \ end {align}}}$

Затем мы проинтегрируем результат по y.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {7} ^ {10} (471 + 12y) \ dy amp; = {\ Big [} 471y + 6y ^ {2} {\ Big]} _ {y = 7} ^ {y = 10} \\ amp; = 471 (10) +6 (10) ^ {2} -471 (7) -6 (7) ^ {2} \\ amp; = 1719 \ end {align}}}$

В случаях, когда двойной интеграл от абсолютного значения функции конечен, порядок интегрирования является взаимозаменяемым, то есть сначала интегрирование по x и сначала интегрирование по y дает тот же результат. Это теорема Фубини. Например, выполнение предыдущего расчета с обратным порядком дает тот же результат:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {11} ^ {14} \ int _ {7} ^ {10} \, \ left (x ^ {2} + 4y \ right) \, dy \, dx amp; = \ int _ {11} ^ {14} {\ Big [} x ^ {2} y + 2y ^ {2} {\ Big]} _ {y = 7} ^ {y = 10} \, dx \\ amp; = \ int _ {11} ^ {14} \, (3x ^ {2} +102) \, dx \\ amp; = {\ Big [} x ^ {3} + 102x {\ Big]} _ {x = 11} ^ {x = 14} \\ amp; = 1719. \ end {align}}}$

Двойной интеграл по нормальной области

Пример: двойной интеграл по нормальной области D

Рассмотрим регион (см. Рисунок в примере):

${\ Displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbf {R} ^ {2} \: \ x \ geq 0, y \ leq 1, y \ geq x ^ {2} \}}$

Рассчитать

${\ displaystyle \ iint _ {D} (x + y) \, dx \, dy.}$

Эта область нормальна по отношению к осям x и y. Для применения формул требуется найти функции, определяющие D, и интервалы, на которых эти функции определены. В этом случае две функции:

${\ Displaystyle \ альфа (х) = х ^ {2} {\ текст {и}} \ бета (х) = 1}$

в то время как интервал задается пересечениями функций с x  = 0, поэтому интервал равен [ a,  b ] = [0, 1] (нормальность была выбрана по отношению к оси x для лучшего визуального понимания).

Теперь можно применить формулу:

${\ displaystyle \ iint _ {D} (x + y) \, dx \, dy = \ int _ {0} ^ {1} dx \ int _ {x ^ {2}} ^ {1} (x + y) \, dy = \ int _ {0} ^ {1} dx \ \ left [xy + {\ frac {y ^ {2}} {2}} \ right] _ {x ^ {2}} ^ {1} }$

(сначала вычисляется второй интеграл с учетом x как константы). Остальные операции состоят из применения основных техник интеграции:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ left [xy + {\ frac {y ^ {2}} {2}} \ right] _ {x ^ {2}} ^ {1} \, dx = \ int _ {0} ^ {1} \ left (x + {\ frac {1} {2}} - x ^ {3} - {\ frac {x ^ {4}} {2}} \ right) dx = \ cdots = {\ frac {13} {20}}.}$

Если мы выберем нормальность относительно оси y, мы сможем вычислить

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} dy \ int _ {0} ^ {\ sqrt {y}} (x + y) \, dx.}$

и получите такое же значение.

Пример области в R ³, нормальной относительно плоскости xy.

Расчет объема

Используя ранее описанные методы, можно рассчитать объемы некоторых обычных твердых веществ.

• Цилиндр : объем цилиндра высотой h и круглым основанием радиуса R может быть вычислен путем интегрирования постоянной функции h по круглому основанию с использованием полярных координат.

${\ displaystyle \ mathrm {Volume} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi \, \ int _ {0} ^ {R} h \ rho \, d \ rho = 2 \ pi h \ left [{\ frac {\ rho ^ {2}} {2}} \ right] _ {0} ^ {R} = \ pi R ^ {2} h}$

Это согласуется с формулой для объема призмы

${\ displaystyle \ mathrm {Volume} = {\ text {base area}} \ times {\ text {height}}.}$

• Сфера : Объем сферы с радиусом R может быть вычислен путем интегрирования постоянной функции 1 по сфере с использованием сферических координат.

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Volume}} amp; = \ iiint _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz \\ amp; = \ iiint _ {D } 1 \, dV \\ amp; = \ iiint _ {S} \ rho ^ {2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi \\ amp; = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \, d \ theta \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ varphi \, d \ varphi \ int _ {0} ^ {R} \ rho ^ {2} \, d \ rho \\ amp; = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ varphi \, d \ varphi \ int _ {0} ^ {R} \ rho ^ {2} \, d \ rho \\ amp; = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ varphi {\ frac {R ^ {3}} {3}} \, d \ varphi \\ amp; = {\ frac {2 } {3}} \ pi R ^ {3} {\ Big [} - \ cos \ varphi {\ Big]} _ {0} ^ {\ pi} = {\ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3}. \ End {выровнено}}}$

• Тетраэдр (треугольная пирамида или 3- симплекс ): Объем тетраэдра с его вершиной в начале координат и ребрами длины ℓ вдольосей x -, y - и z может быть вычислен путем интегрирования постоянной функции 1 по тетраэдру.

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Volume}} amp; = \ int _ {0} ^ {\ ell} dx \ int _ {0} ^ {\ ell -x} \, dy \ int _ { 0} ^ {\ ell -xy} \, dz \\ amp; = \ int _ {0} ^ {\ ell} dx \ int _ {0} ^ {\ ell -x} (\ ell -xy) \, dy \\ amp; = \ int _ {0} ^ {\ ell} \ left (l ^ {2} -2 \ ell x + x ^ {2} - {\ frac {(\ ell -x) ^ {2}} {2}} \ right) \, dx \\ amp; = \ ell ^ {3} - \ ell \ ell ^ {2} + {\ frac {\ ell ^ {3}} {3}} - \ left [{ \ frac {\ ell ^ {2} x} {2}} - {\ frac {\ ell x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {6}} \ right] _ {0} ^ {\ ell} \\ amp; = {\ frac {\ ell ^ {3}} {3}} - {\ frac {\ ell ^ {3}} {6}} = {\ frac {\ ell ^ {3}} {6}} \ end {выравнивается}}}$

Это согласуется с формулой для объема пирамиды.

${\ displaystyle \ mathrm {Volume} = {\ frac {1} {3}} \ times {\ text {base area}} \ times {\ text {height}} = {\ frac {1} {3}} \ times {\ frac {\ ell ^ {2}} {2}} \ times \ ell = {\ frac {\ ell ^ {3}} {6}}.}$

Пример неправильного домена.

Множественный несобственный интеграл

В случае неограниченных областей или функций, не ограниченных вблизи границы области, мы должны ввести двойной несобственный интеграл или тройной несобственный интеграл.

Кратные интегралы и повторные интегралы

См. Также: Порядок интегрирования (исчисление)

Теорема Фубини утверждает, что если

${\ displaystyle \ iint _ {A \ times B} \ left | f (x, y) \ right | \, d (x, y) lt;\ infty,}$

то есть, если интеграл абсолютно сходится, то кратный интеграл даст тот же результат, что и любой из двух повторных интегралов:

${\ Displaystyle \ iint _ {A \ раз B} е (х, у) \, d (х, у) = \ int _ {A} \ влево (\ int _ {B} е (х, у) \, dy \ right) \, dx = \ int _ {B} \ left (\ int _ {A} f (x, y) \, dx \ right) \, dy.}$

В частности, это произойдет, если | f ( x, y) | - ограниченная функция, а A и B - ограниченные множества.

Если интеграл не является абсолютно сходящимся, необходимо соблюдать осторожность, чтобы не путать понятия множественного интеграла и повторного интеграла, тем более что для обоих понятий часто используются одни и те же обозначения. Обозначение

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} f (x, y) \, dy \, dx}$

в некоторых случаях означает повторный интеграл, а не истинный двойной интеграл. В повторном интеграле внешний интеграл

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \, dx}$

представляет собой интеграл по x от следующей функции x:

${\ displaystyle g (x) = \ int _ {0} ^ {1} f (x, y) \, dy.}$

С другой стороны, двойной интеграл определяется относительно площади на плоскости xy. Если двойной интеграл существует, то он равен каждому из двух повторных интегралов (либо « dy dx », либо « dx dy »), и его часто вычисляют путем вычисления любого из повторяемых интегралов. Но иногда два повторных интеграла существуют, когда двойного интеграла нет, и в некоторых таких случаях два повторных интеграла являются разными числами, т. Е. Один имеет

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} f (x, y) \, dy \, dx \ neq \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} f (x, y) \, dx \, dy.}$

Это пример перестановки условно сходящегося интеграла.

С другой стороны, некоторые условия гарантируют, что два повторных интеграла равны, даже если нет необходимости в двойном интеграле. По теореме Фихтенхольца - Лихтенштейна, если f ограничено на [0, 1] × [0, 1] и существуют оба повторных интеграла, то они равны. Кроме того, наличие внутренних интегралов обеспечивает существование внешних интегралов. Двойной интеграл потребность не существует в этом случае даже как интеграл Лебега, согласно Серпинскому.

Обозначение

${\ Displaystyle \ int _ {[0,1] \ раз [0,1]} е (х, у) \, dx \, dy}$

может использоваться, если кто-то хочет выразить намерение иметь двойной интеграл, а не повторный интеграл.

Некоторые практические приложения

В общем, как и в случае с одной переменной, можно использовать кратный интеграл, чтобы найти среднее значение функции по заданному набору. Учитывая множество D ⊆ R ⁿ и интегрируемую функцию f над D, среднее значение f по его области определения определяется как

${\ displaystyle {\ bar {f}} = {\ frac {1} {m (D)}} \ int _ {D} f (x) \, dx,}$

где т ( Д) является мерой из D.

Кроме того, множественные интегралы используются во многих приложениях в физике. В приведенных ниже примерах также показаны некоторые варианты обозначений.

В механике, то момент инерции вычисляются как интеграл объема (тройной интеграл) от плотности взвешиваемого квадрату расстояния от оси:

${\ Displaystyle I_ {z} = \ iiint _ {V} \ rho r ^ {2} \, dV.}$

Гравитационный потенциал, связанный с распределением массы, заданной массовой мерой дм на трехмерном евклидовом пространстве R ³ является

${\ Displaystyle V (\ mathbf {x}) = - \ iiint _ {\ mathbf {R} ^ {3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {y} |}} \, dm (\ mathbf {y}).}$

Если существует непрерывная функция ρ ( x), представляющая плотность распределения в точке x, так что dm ( x) = ρ ( x) d ³ x, где d ³ x - элемент евклидова объема, то гравитационный потенциал равен

${\ Displaystyle V (\ mathbf {x}) = - \ iiint _ {\ mathbf {R} ^ {3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {y} |}} \, \ rho (\ mathbf {y}) \, d ^ {3} \ mathbf {y}.}$

В электромагнетизма, уравнения Максвелла можно записать с помощью многократных интегралов для расчета суммарных магнитных и электрических полей. В следующем примере электрическое поле, создаваемое распределением зарядов, заданным объемной плотностью заряда ρ ( r →), получается тройным интегралом векторной функции:

${\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ iiint {\ frac {{\ vec {r}} - {\ vec {r}} '} {\ left \ | {\ vec {r}} - {\ vec {r}}' \ right \ | ^ {3}}} \ rho ({\ vec {r}} ') \, d ^ { 3} r '.}$

Это также можно записать в виде интеграла по отношению к показателю со знаком, представляющему распределение заряда.

Смотрите также

• Основные теоремы анализа, связывающие множественные интегралы:
  • Теорема расходимости
  • Теорема Стокса
  • Теорема Грина

использованная литература

дальнейшее чтение

• Адамс, Роберт А. (2003). Исчисление: полный курс (5-е изд.). ISBN   0-201-79131-5.
• Джайн, РК; Айенгар, SRK (2009). Высшая инженерная математика (3-е изд.). Издательство Нароса. ISBN   978-81-7319-730-7.
• Герман, Эдвин «Джед» и Стрэнг, Гилберт (2016)  : Расчет: Том 3: OpenStax, Университет Райса, Хьюстон, Техас, США. ISBN   978-1-50669-805-2. ( PDF )

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик У. «Множественный интеграл». MathWorld.
• Л. Д. Кудрявцев (2001) [1994], "Кратный интеграл", Энциклопедия математики, EMS Press
• Помощник по математике в Интернете онлайн-оценка двойных интегралов в декартовых и полярных координатах (включает промежуточные этапы решения, на базе Maxima (программное обеспечение) )