Θ (теория множеств)

редактировать

В теории множеств, Θ (произносится как буква тета ) является наименьшим ненулевым порядкового α таким образом, что нет сюръекция из реала на а.

Если аксиома выбора (AC) верна (или даже если действительные числа можно упорядочить ), то then является просто кардинальным преемником мощности континуума. Однако, Θ часто изучается в контекстах, где аксиома выбора терпит неудачу, такие как модели в аксиомы детерминированности. ( 2 0 ) + {\ Displaystyle (2 ^ {\ алеф _ {0}}) ^ {+}}

Θ - также верхняя грань длин всех предварительных порядков действительных чисел.

Доказательство существования

Может быть неочевидно, что без использования AC можно доказать, что существует даже ненулевой ординал, на который нет сюръекции из вещественных чисел (если такой ординал существует, то должен быть хотя бы один, потому что ординалы в порядке). Однако предположим, что такого порядкового номера не было. Тогда каждому ординалу α можно было бы сопоставить множество всех предварительных порядков вещественных чисел длины α. Это дало бы инъекцию из класса всех ординалов в набор всех наборов упорядочения вещественных чисел (которые можно увидеть как набор посредством повторного применения аксиомы powerset ). Теперь аксиома замены показывает, что класс всех ординалов на самом деле является множеством. Но это невозможно, согласно парадоксу Бурали-Форти.

Последняя правка сделана 2024-01-10 08:27:31
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте